1. Cho tam giác ABC có $a=6$, $b=8$ và góc $C=60^{\circ}$. Tính độ dài cạnh $c$ bằng Định lý Côsin.
A. $c = \sqrt{6^2 + 8^2 - 2 \times 6 \times 8 \cos 60^{\circ}} = \sqrt{36 + 64 - 96 \times \frac{1}{2}} = \sqrt{100 - 48} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$
B. $c = \sqrt{6^2 + 8^2 + 2 \times 6 \times 8 \cos 60^{\circ}} = \sqrt{36 + 64 + 96 \times \frac{1}{2}} = \sqrt{100 + 48} = \sqrt{148} = 2\sqrt{37}$
C. $c = \sqrt{6^2 + 8^2 - 6 \times 8 \cos 60^{\circ}} = \sqrt{36 + 64 - 48 \times \frac{1}{2}} = \sqrt{100 - 24} = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}$
D. $c = \sqrt{8^2 - 6^2 - 2 \times 8 \times 6 \cos 60^{\circ}} = \sqrt{64 - 36 - 96 \times \frac{1}{2}} = \sqrt{28 - 48} = \sqrt{-20}$ (Không hợp lệ)
2. Tam giác ABC có $a=5$, $b=5$, $c=5$. Đây là loại tam giác gì?
A. Tam giác vuông
B. Tam giác cân
C. Tam giác đều
D. Tam giác tù
3. Tam giác ABC có $a=3$, $b=4$, $C=90^{\circ}$. Tính độ dài $c$ bằng Định lý Côsin.
A. $c^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \times 3 \times 4 \cos 90^{\circ} = 9 + 16 - 0 = 25 \Rightarrow c=5$
B. $c^2 = 3^2 + 4^2 + 2 \times 3 \times 4 \cos 90^{\circ} = 9 + 16 + 0 = 25 \Rightarrow c=5$
C. $c^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \times 3 \times 4 = 9 + 16 - 24 = 1$
D. $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$
4. Tam giác ABC có $a=4$, $b=3$, $c=2$. Tính $\cos C$.
A. $\cos C = \frac{4^2 + 3^2 - 2^2}{2 \times 4 \times 3} = \frac{16 + 9 - 4}{24} = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}$
B. $\cos C = \frac{4^2 + 2^2 - 3^2}{2 \times 4 \times 2} = \frac{16 + 4 - 9}{16} = \frac{11}{16}$
C. $\cos C = \frac{3^2 + 2^2 - 4^2}{2 \times 3 \times 2} = \frac{9 + 4 - 16}{12} = \frac{-3}{12} = -\frac{1}{4}$
D. $\cos C = \frac{4^2 + 3^2 - 2^2}{2 \times 4 \times 3} = \frac{16+9-4}{24} = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}$
5. Tam giác ABC có $a=3$, $b=4$, $c=5$. Tính $\cos A$.
A. $\cos A = \frac{4^2 + 5^2 - 3^2}{2 \times 4 \times 5} = \frac{16 + 25 - 9}{40} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5}$
B. $\cos A = \frac{3^2 + 5^2 - 4^2}{2 \times 3 \times 5} = \frac{9 + 25 - 16}{30} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$
C. $\cos A = \frac{3^2 + 4^2 - 5^2}{2 \times 3 \times 4} = \frac{9 + 16 - 25}{24} = \frac{0}{24} = 0$
D. $\cos A = \frac{5^2 + 3^2 - 4^2}{2 \times 5 \times 3} = \frac{25 + 9 - 16}{30} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$
6. Cho tam giác ABC có $a=5$, $b=7$, $c=8$. Độ dài cạnh $a$ được tính bằng công thức nào sau đây theo Định lý Côsin?
A. $a = \sqrt{7^2 + 8^2 - 2 \times 7 \times 8 \cos A}$
B. $a = \sqrt{5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \cos C}$
C. $a = \sqrt{7^2 + 5^2 - 2 \times 7 \times 5 \cos B}$
D. $a = \sqrt{8^2 + 5^2 - 2 \times 8 \times 5 \cos C}$
7. Cho tam giác ABC có $a=7$, $b=4$, $c=5$. Tính $\cos B$.
A. $\cos B = \frac{7^2 + 5^2 - 4^2}{2 \times 7 \times 5} = \frac{49 + 25 - 16}{70} = \frac{58}{70} = \frac{29}{35}$
B. $\cos B = \frac{4^2 + 5^2 - 7^2}{2 \times 4 \times 5} = \frac{16 + 25 - 49}{40} = \frac{-8}{40} = -\frac{1}{5}$
C. $\cos B = \frac{7^2 + 4^2 - 5^2}{2 \times 7 \times 4} = \frac{49 + 16 - 25}{56} = \frac{40}{56} = \frac{5}{7}$
D. $\cos B = \frac{7^2 + 5^2 - 4^2}{2 \times 7 \times 5} = \frac{49+25-16}{70} = \frac{58}{70} = \frac{29}{35}$
8. Trong tam giác ABC, nếu $C = 90^{\circ}$, thì Định lý Côsin cho cạnh $c$ trở thành gì?
A. $c^2 = a^2 + b^2$
B. $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab$
C. $c^2 = a^2 + b^2 - ab$
D. $c^2 = a^2 - b^2$
9. Trong tam giác ABC, nếu $a > b$, thì mối quan hệ giữa góc $A$ và góc $B$ là gì?
A. $A > B$
B. $A < B$
C. $A = B$
D. $A + B = 90^{\circ}$
10. Xét tam giác ABC có cạnh $a=2R\sin A$, $b=2R\sin B$, $c=2R\sin C$. Điều này minh họa cho định lý nào?
A. Định lý Côsin
B. Định lý Pitago
C. Định lý Sin
D. Định lý về tổng ba góc trong tam giác
11. Tam giác ABC có $a=3$, $b=5$, $c=7$. Tìm góc $C$.
A. $C = \arccos(\frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2 \times 3 \times 5}) = \arccos(\frac{9 + 25 - 49}{30}) = \arccos(\frac{-15}{30}) = \arccos(-\frac{1}{2}) = 120^{\circ}$
B. $C = \arccos(\frac{5^2 + 7^2 - 3^2}{2 \times 5 \times 7}) = \arccos(\frac{25 + 49 - 9}{70}) = \arccos(\frac{65}{70}) = \arccos(\frac{13}{14})$
C. $C = \arccos(\frac{3^2 + 7^2 - 5^2}{2 \times 3 \times 7}) = \arccos(\frac{9 + 49 - 25}{42}) = \arccos(\frac{33}{42}) = \arccos(\frac{11}{14})$
D. $C = \arccos(-\frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2 \times 3 \times 5}) = \arccos(\frac{15}{30}) = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^{\circ}$
12. Nếu trong tam giác ABC, $a^2 + b^2 < c^2$, thì góc $C$ có tính chất gì?
A. Góc $C$ nhọn
B. Góc $C$ vuông
C. Góc $C$ tù
D. Không xác định được
13. Trong một tam giác ABC, với các ký hiệu quen thuộc, mệnh đề nào sau đây là đúng về Định lý Côsin?
A. $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
B. $a^2 = b^2 + c^2 + 2bc \cos A$
C. $a^2 = b^2 + c^2 - bc \cos A$
D. $a^2 = b^2 - c^2 - 2bc \cos A$
14. Nếu tam giác ABC có $a=b$, thì mối quan hệ giữa các góc là gì?
A. $A = B$
B. $A = C$
C. $B = C$
D. $A = B = C$
15. Định lý Sin trong tam giác ABC có thể được biểu diễn dưới dạng nào sau đây?
A. $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$
B. $\frac{a}{\cos A} = \frac{b}{\cos B} = \frac{c}{\cos C} = R$
C. $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin C} = \frac{c}{\sin B} = 2R$
D. $\frac{a}{\sin B} = \frac{b}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} = R$
