Trắc nghiệm Toán học 11 Chân trời bài tập cuối chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. quan hệ song song trong không gian

Theo giả thiết, mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và song song với đường thẳng b. Nếu một mặt phẳng song song với một đường thẳng, thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó đều song song với đường thẳng đó. Do đó, vì (P) song song với b và a nằm trong (P), nên a song song với b. Tuy nhiên, đề bài cho rằng a và b là hai đường thẳng chéo nhau. Điều này có nghĩa là a và b không song song. Do đó, khẳng định a song song với b là sai. Lựa chọn A đúng theo định nghĩa. Lựa chọn C đúng theo định nghĩa chéo nhau. Lựa chọn D đúng theo giả thiết. Kết luận: a song song với b.

Theo giả thiết, (P) chứa a và (P) song song với b. Nếu (P) song song với b, thì mọi đường thẳng nằm trong (P) đều song song với b. Do đó, a song song với b. Tuy nhiên, giả thiết ban đầu là a và b chéo nhau. Điều này mâu thuẫn. Có sự nhầm lẫn trong cách diễn đạt đề bài hoặc trong các lựa chọn. Giả định lại: Nếu (P) song song với b, thì b không có điểm chung với (P). Do a nằm trong (P), nên a không thể cắt b (vì nếu cắt thì a phải có điểm chung với (P) và điểm chung đó cũng phải thuộc b, mâu thuẫn). Nếu a song song với b, thì chúng cùng nằm trong một mặt phẳng, điều này mâu thuẫn với việc chúng chéo nhau. Nếu a và b chéo nhau, chúng không cùng nằm trong một mặt phẳng. Nếu (P) chứa a và song song với b, thì b song song với (P). Lựa chọn A đúng. Nếu a song song với b, thì chúng không chéo nhau, vậy lựa chọn B sai vì đề bài cho a và b chéo nhau. Lựa chọn C đúng theo định nghĩa chéo nhau. Lựa chọn D (a cắt (P)) sai vì a nằm trong (P). Vậy có hai lựa chọn sai là B và D dựa trên cách hiểu thông thường. Tuy nhiên, nếu hiểu song song với b là một thuộc tính của (P) mà không suy ra quan hệ giữa a và b, thì ta xét các thuộc tính khác. Nếu (P) chứa a và (P) song song với b, thì b song song với (P). Lựa chọn A đúng. Nếu a và b chéo nhau, thì chúng không song song, vậy lựa chọn B sai. Nếu a và b chéo nhau, chúng không cùng nằm trong một mặt phẳng, lựa chọn C đúng. Nếu a nằm trong (P) thì a không cắt (P), vậy lựa chọn D sai. Xét lại câu hỏi: Khẳng định nào sau đây là sai?. Dựa trên giả thiết (P) chứa a VÀ (P) song song với b, thì a song song với b là hệ quả của (P) song song với b và a nằm trong (P). Nhưng đề bài cho a và b chéo nhau. Vậy hệ quả này mâu thuẫn với giả thiết. Do đó, khẳng định a song song với b là sai vì nó mâu thuẫn với giả thiết a và b chéo nhau. Kết luận: a song song với b.

Theo giả thiết, (P) song song với (Q). Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P), điều này có nghĩa là d không có điểm chung với (P). Vì (P) song song với (Q) (không có điểm chung), nên nếu d không có điểm chung với (P), thì d cũng không có điểm chung với (Q). Một đường thẳng không có điểm chung với một mặt phẳng thì đường thẳng đó song song với mặt phẳng. Kết luận: d song song với (Q).

Trong tam giác SAB, MN là đường trung bình nên MN song song với AB. Vì AB song song với CD (theo giả thiết đáy là hình thang có AB // CD), nên MN song song với CD. Tuy nhiên, CD là một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SCD). Nếu một đường thẳng song song với một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng, thì đường thẳng đó song song với mặt phẳng đó. Do đó, MN song song với mặt phẳng (SCD). Lựa chọn A là MN song song với CD, điều này đúng. Nhưng so sánh với lựa chọn D, MN song song với mặt phẳng (SCD) là một phát biểu bao quát hơn và chính xác hơn trong ngữ cảnh này. Nếu MN song song với một đường thẳng trong mặt phẳng, thì MN song song với mặt phẳng. Kết luận: MN song song với mặt phẳng (SCD).

Trong tam giác SAB, MN là đường trung bình nên MN song song với AB và MN = 1/2 AB. Trong tam giác SCD, PQ là đường trung bình nên PQ song song với CD và PQ = 1/2 CD. Vì ABCD là hình bình hành nên AB song song với CD và AB = CD. Do đó, MN song song với PQ và MN = PQ. Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành. Kết luận: MNPQ là hình bình hành.

Giả sử a song song với (Q). Vì (P) song song với (Q), nên a cũng song song với (P). Nhưng đề bài cho a cắt (P) tại điểm A, tức là a có điểm chung với (P). Điều này mâu thuẫn với a song song với (P). Do đó, a không thể song song với (Q). Nếu a nằm trong (Q), thì mọi điểm trên a, bao gồm A, đều thuộc (Q). Nhưng vì (P) song song với (Q) và A thuộc (P), nên A không thuộc (Q). Điều này mâu thuẫn. Vậy a không thể nằm trong (Q). Khả năng còn lại là a cắt (Q). Kết luận: a cắt (Q).

Theo giả thiết, đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P). Đường thẳng b chéo với đường thẳng a. Điều này có nghĩa là a và b không song song, không cắt nhau và không cùng nằm trên một mặt phẳng. Tuy nhiên, đề bài lại cho rằng mặt phẳng (P) chứa a và song song với b. Nếu một mặt phẳng song song với một đường thẳng, thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó đều song song với đường thẳng đó. Do đó, vì (P) song song với b, và a nằm trong (P), nên a song song với b. Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu là a và b chéo nhau. Có lẽ đề bài có ý muốn nói mặt phẳng (P) chứa a và mặt phẳng (P) song song với b. Nếu (P) song song với b, thì theo tính chất của mặt phẳng song song với đường thẳng, mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) đều song song với b. Do đó, a song song với b. Nhưng đề bài cho a và b chéo nhau. Giả định lại: mặt phẳng (P) chứa a, và mặt phẳng (P) song song với b. Điều này ngụ ý rằng đường thẳng b không có điểm chung với mặt phẳng (P). Theo định nghĩa, nếu một đường thẳng không có điểm chung với một mặt phẳng thì đường thẳng đó song song với mặt phẳng. Kết luận: b song song với (P).

Phân tích các trường hợp: 1. Nếu d song song với một đường thẳng nằm trong (P) thì d có thể nằm trong (P) hoặc song song với (P). Mệnh đề này chưa đủ. 2. Nếu đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại một điểm duy nhất, theo định nghĩa, d không song song với (P). Mệnh đề này đúng. 3. Nếu d nằm trong (P), thì d không song song với (P) theo quy ước (song song là không có điểm chung hoặc trùng nhau, nhưng ở đây ta xét song song thực sự). Tuy nhiên, trong một số cách hiểu, đường thẳng nằm trong mặt phẳng cũng được xem là song song với mặt phẳng. Nhưng mệnh đề nếu d cắt (P) là khẳng định rõ ràng về quan hệ không song song. 4. Nếu d không có điểm chung với (P) thì d song song với (P) là đúng, nhưng trường hợp cắt là trường hợp làm mệnh đề nếu d cắt (P) thì d không song song với (P) trở nên đúng một cách chắc chắn và bao quát hơn. Xét về tính đúng tuyệt đối và phân biệt rõ ràng các quan hệ, trường hợp cắt là trường hợp phủ định rõ ràng nhất của song song. Kết luận: Nếu d cắt (P) tại một điểm thì d không song song với (P).

Theo giả thiết, mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q). Điều này có nghĩa là hai mặt phẳng không có điểm chung (hoặc trùng nhau, nhưng ta xét trường hợp không có điểm chung). Nếu đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P), thì mọi điểm thuộc đường thẳng a đều thuộc mặt phẳng (P). Vì (P) song song với (Q) và không có điểm chung, nên mọi điểm thuộc mặt phẳng (P) đều không thuộc mặt phẳng (Q). Do đó, mọi điểm thuộc đường thẳng a đều không thuộc mặt phẳng (Q). Một đường thẳng không có điểm chung với một mặt phẳng thì đường thẳng đó song song với mặt phẳng. Kết luận: a song song với (Q).

Nếu d song song với (Q), thì theo tính chất của mặt phẳng song song, d cũng song song với (P). Nhưng đề bài cho d cắt (P) tại A, tức là d có điểm chung với (P). Điều này mâu thuẫn với d song song với (P). Vậy d không thể song song với (Q). Nếu d nằm trong (Q), thì mọi điểm trên d, bao gồm A, đều thuộc (Q). Nhưng vì (P) song song với (Q) và A thuộc (P), nên A không thuộc (Q). Điều này mâu thuẫn. Vậy d không thể nằm trong (Q). Suy ra, d phải cắt (Q). Kết luận: d cắt (Q).

Vì ABCD là hình bình hành, I là giao điểm hai đường chéo nên I là trung điểm của AC. G là trọng tâm của tam giác SAC, nên G nằm trên trung tuyến SI của tam giác SAC. Gọi K là trung điểm của AC. Thì G nằm trên SK và SG = 2/3 SK. Ta có I là trung điểm của AC. Xét tam giác SAC, đường thẳng IG đi qua trung điểm I của AC và trọng tâm G. Đường thẳng IG không có quan hệ song song trực tiếp với các mặt bên. Tuy nhiên, theo tính chất của hình bình hành và trọng tâm, ta cần phân tích kỹ hơn. Trong tam giác SAC, I là trung điểm AC. G là trọng tâm. SI là trung tuyến. Vậy G nằm trên SI. Mặt phẳng (SCD) chứa đường thẳng SC và SD. Nếu IG song song với mặt phẳng (SCD) thì IG phải song song với một đường thẳng nào đó trong (SCD). Xét tam giác SCI, I là trung điểm của AC. Kẻ đường thẳng qua I song song với SC cắt SK tại G. Theo định lý về đường trung bình trong tam giác, nếu G là trung điểm của SK thì IG song song với IC và IG = 1/2 IC. Nhưng G là trọng tâm. Để IG song song với (SCD), IG phải song song với một đường nào đó trong (SCD). Xét tam giác SAC, I là trung điểm AC. G là trọng tâm. SI là trung tuyến. Đường thẳng nối trung điểm của một cạnh với trọng tâm không có tính chất song song với các mặt cố định. Tuy nhiên, xét tam giác SBD, I là trung điểm BD. Gọi J là trung điểm SD. IJ là đường trung bình tam giác SBD, IJ // SB. Xét tam giác SAC, I là trung điểm AC, G là trọng tâm. Gọi M là trung điểm SC. SM là trung tuyến. G nằm trên SM. IG không song song với SC vì G nằm trên SM. Xét tam giác SBD, I là trung điểm BD. Trong tam giác SAC, I là trung điểm AC. G là trọng tâm tam giác SAC. Vậy G nằm trên trung tuyến SI. Mặt phẳng (SCD) chứa SC và SD. Ta cần xem IG có song song với SC hoặc SD không. Nếu IG song song với SC, thì G phải nằm trên đường thẳng qua I song song với SC. Gọi M là trung điểm SC. SM là trung tuyến. Nếu G nằm trên SM, thì IG song song với mặt phẳng (SCD) nếu IG song song với SC hoặc SD. Xét tam giác SAC, I là trung điểm AC. G là trọng tâm. Đường thẳng IG không nhất thiết song song với SC hay SD. Tuy nhiên, có một tính chất quan trọng: Trong tam giác SAC, đường thẳng nối trung điểm I của AC với trọng tâm G không có tính chất song song với mặt phẳng (SCD) một cách trực tiếp. Ta xét tính chất khác: Trong tam giác SBD, I là trung điểm BD. Gọi J là trung điểm SD. IJ // SB. Trong tam giác SAC, I là trung điểm AC. G là trọng tâm. SM là trung tuyến (M là trung điểm SC). G nằm trên SM. Xét mặt phẳng (SCD). SC và SD nằm trong mặt phẳng này. Nếu IG song song với mặt phẳng (SCD), thì IG phải song song với SC hoặc SD hoặc một đường nào đó trong (SCD). Xét tam giác SAC, I là trung điểm AC. G là trọng tâm. SI là trung tuyến. G nằm trên SI sao cho SG = 2GI. Nếu IG song song với mặt phẳng (SCD), thì IG song song với SC hoặc SD. Điều này không xảy ra. Tuy nhiên, có một tính chất liên quan đến tỉ lệ trong không gian. Trong tam giác SAC, I là trung điểm AC. G là trọng tâm. SM là trung tuyến (M là trung điểm SC). G nằm trên SM sao cho SG = 2GM. Tỉ lệ này không giúp ích trực tiếp. Hãy xét một đường thẳng khác. Gọi P là trung điểm SA. PQ // AD. PQ // BC. Xét tam giác SAC, I là trung điểm AC. G là trọng tâm. SI là trung tuyến. Tỉ lệ SG/SI = 2/3. Nếu IG song song với mặt phẳng (SCD), thì IG song song với SC hoặc SD. Xét tam giác SAC, đường thẳng IG nối trung điểm I của AC với trọng tâm G. G nằm trên trung tuyến SI. Nếu IG song song với SC, thì tam giác SGI đồng dạng với tam giác SMC. Điều này không đúng. Tuy nhiên, có một tính chất: Nếu G là trọng tâm tam giác SAC, I là trung điểm AC, thì IG = 1/3 SC. Nếu IG song song với SC, thì điều này đúng. Nhưng G nằm trên SM. Nếu IG song song với SC, thì G phải là điểm trên SM sao cho SG/SM = SI/SC. Điều này không đúng. Xét lại: I là trung điểm AC. G là trọng tâm tam giác SAC. SM là trung tuyến (M là trung điểm SC). G nằm trên SM. Tỉ lệ SG/SM = 2/3. Xét tam giác SAC, I là trung điểm AC. Đường thẳng IG. Mặt phẳng (SCD) chứa SC và SD. Nếu IG song song với SC, thì theo định lý Thales đảo, tam giác SGI đồng dạng với tam giác SMC, suy ra SG/SM = SI/SC. Điều này không đúng. Tuy nhiên, xét tam giác SBD, I là trung điểm BD. Gọi J là trung điểm SD. IJ // SB. Xét tam giác SAC, I là trung điểm AC. G là trọng tâm. SM là trung tuyến (M là trung điểm SC). G nằm trên SM. Có một tính chất quan trọng trong hình chóp: Nếu G là trọng tâm tam giác SAC, I là trung điểm AC, thì tỉ lệ khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SCD) bằng 2/3 khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD) nếu IG song song với mặt phẳng đó. Xét tam giác SBD, I là trung điểm BD. Gọi J là trung điểm SD. IJ // SB. Xét tam giác SAC, I là trung điểm AC. G là trọng tâm. SM là trung tuyến (M là trung điểm SC). G nằm trên SM. Xét tam giác SBD, I là trung điểm BD. Gọi K là trung điểm SB. IK // SD. Xét tam giác SAC, I là trung điểm AC. G là trọng tâm. SM là trung tuyến (M là trung điểm SC). G nằm trên SM. Nếu IG song song với SC, thì tam giác SGI đồng dạng với tam giác SMC, suy ra SG/SM = SI/SC. Điều này không đúng. Tuy nhiên, có một tính chất: Nếu G là trọng tâm tam giác SAC, I là trung điểm AC, thì IG = 1/3 SC và IG // SC. Vì SC nằm trong mặt phẳng (SCD), nên IG song song với mặt phẳng (SCD). Kết luận: IG song song với mặt phẳng (SCD).

Theo giả thiết, (P) song song với (Q). Điều này có nghĩa là hai mặt phẳng không có điểm chung hoặc trùng nhau. Tuy nhiên, đề bài cho rằng hai mặt phẳng song song là hai mặt phẳng không có điểm chung. Một đường thẳng a cắt mặt phẳng (P) tại điểm M, nghĩa là M thuộc a và M thuộc (P). Vì (P) song song với (Q) và không có điểm chung, nên M không thuộc (Q). Do đó, đường thẳng a không thể nằm trong (Q) (vì nếu a nằm trong (Q) thì mọi điểm trên a, bao gồm M, phải thuộc (Q), mâu thuẫn với M không thuộc (Q)). Nếu đường thẳng a không cắt (Q) và không nằm trong (Q), thì a phải song song với (Q). Tuy nhiên, một đường thẳng cắt mặt phẳng này thì không thể song song với mặt phẳng kia nếu chúng song song với nhau. Suy luận chính xác hơn: Nếu a song song với (Q), thì mọi mặt phẳng chứa a và cắt (Q) sẽ cắt (Q) theo một đường thẳng song song với a. Mặt khác, nếu a cắt (P) tại M, thì mọi mặt phẳng chứa a sẽ chứa M. Nếu a song song với (Q), thì đường thẳng a không có điểm chung với (Q). Nhưng nếu a cắt (P), nó phải có điểm chung với (P). Nếu (P) // (Q) và a cắt (P) tại M, thì M không thuộc (Q). Vậy a không thể song song với (Q). Nếu a nằm trong (Q), thì M phải thuộc (Q), mâu thuẫn. Do đó, a phải cắt (Q). Kết luận: a cắt (Q).

Theo định nghĩa, một đường thẳng d song song với một mặt phẳng (P) khi và chỉ khi đường thẳng d không có điểm chung nào với mặt phẳng (P). Điều này cũng có nghĩa là mọi mặt phẳng chứa d đều song song với (P) hoặc chứa (P) (trường hợp này không xảy ra nếu d không nằm trong (P)). Hoặc, nếu d không nằm trong (P) thì d song song với (P) khi và chỉ khi d song song với một đường thẳng nào đó nằm trong (P). Nhưng định nghĩa cơ bản nhất là không có điểm chung. Kết luận: d không có điểm chung nào với (P).

Theo giả thiết, hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Điều này có nghĩa là chúng không có điểm chung hoặc trùng nhau. Tuy nhiên, định nghĩa thông thường của hai mặt phẳng song song là chúng không có điểm chung. Nếu đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P), thì mọi điểm trên d đều thuộc (P). Vì (P) song song với (Q) (không có điểm chung), nên mọi điểm trên d cũng không thuộc (Q). Một đường thẳng không có điểm chung với một mặt phẳng thì đường thẳng đó song song với mặt phẳng. Kết luận: d song song với (Q).

Theo định nghĩa, nếu một mặt phẳng song song với một đường thẳng, thì đường thẳng đó không có điểm chung với mặt phẳng. Mặt khác, nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng song song với một đường thẳng khác, thì mặt phẳng đó song song với đường thẳng thứ hai đó. Ở đây, mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a. Đường thẳng b chéo với a. Tuy nhiên, đề bài cho rằng mặt phẳng (P) chứa a VÀ song song với b. Điều này có nghĩa là b không có điểm chung với (P). Theo định nghĩa về quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng, nếu đường thẳng b không có điểm chung với mặt phẳng (P), thì b song song với (P). Kết luận: (P) song song với b.