Trắc nghiệm Toán học 11 Chân trời bài 3 Hàm số liên tục

Ta kiểm tra tính liên tục của $f(x)=|x|$ tại $x=0$. 1. $f(0) = |0| = 0$. 2. Tính giới hạn hai bên: $\lim_{x \to 0^-} |x| = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$. $\lim_{x \to 0^+} |x| = \lim_{x \to 0^+} x = 0$. Vì giới hạn trái bằng giới hạn phải, nên $\lim_{x \to 0} |x| = 0$. 3. Ta có $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ vì $0=0$. Do đó, hàm số $f(x)=|x|$ liên tục tại $x=0$. Kết luận Có, vì $f(0)=0$ và giới hạn hai bên bằng 0.

Ta kiểm tra tính liên tục tại $x=0$. 1. $f(0) = 0+1 = 1$. 2. Tính giới hạn hai bên: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x+1) = 0+1 = 1$. $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2+1) = 0^2+1 = 1$. Vì giới hạn trái bằng giới hạn phải, nên $\lim_{x \to 0} f(x) = 1$. 3. Ta có $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ vì $1=1$. Do đó, hàm số liên tục tại $x=0$. Kết luận Có, vì $f(0)=1$ và hai giới hạn bằng 1.

Tập xác định của hàm số $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ là $\mathbb{R} \setminus \{3\}$. Hàm số này có dạng phân thức hữu tỉ. Điểm gián đoạn tiềm năng là nơi mẫu số bằng 0, tức là $x - 3 = 0$, hay $x = 3$. Tại $x=3$, ta có dạng vô định $\frac{0}{0}$. Ta có thể rút gọn hàm số: $f(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3$ với $x \ne 3$. Hàm số $g(x) = x+3$ là hàm đa thức và liên tục trên $\mathbb{R}$. Tuy nhiên, hàm $f(x)$ không xác định tại $x=3$, do đó có một điểm gián đoạn (gián đoạn bỏ được) tại $x=3$. Kết luận Tại $x = 3$.

Hàm số $f(x) = x^3$ là một hàm đa thức. Mọi hàm đa thức đều liên tục trên tập xác định của nó, là toàn bộ tập số thực $\mathbb{R}$. Do đó, hàm số $f(x) = x^3$ liên tục trên khoảng $(-\infty, \infty)$. Kết luận $(-\infty, \infty)$.

Định lý về giá trị trung gian (Intermediate Value Theorem) phát biểu rằng nếu hàm số $f$ liên tục trên đoạn $[a, b]$ và $k$ là một số bất kỳ nằm giữa $f(a)$ và $f(b)$ (tức là $f(a) < k < f(b)$ hoặc $f(b) < k < f(a)$), thì tồn tại ít nhất một số $c$ trong khoảng mở $(a, b)$ sao cho $f(c) = k$. Lựa chọn 1 nói duy nhất là sai, có thể có nhiều hơn một giá trị $c$. Lựa chọn 3 và 4 là nội dung của các định lý khác (Định lý Lagrange, Định lý Weierstrass). Kết luận Tồn tại ít nhất một số $c \in (a, b)$ sao cho $f(c) = k$.

Hàm số mũ $f(x) = e^x$ có tập xác định là toàn bộ tập số thực $\mathbb{R}$. Hàm số mũ $e^x$ được biết đến là một hàm liên tục trên toàn bộ tập xác định của nó. Do đó, tập xác định mà hàm số liên tục là $\mathbb{R}$, hay viết dưới dạng khoảng là $(-\infty, \infty)$. Kết luận $(-\infty, \infty)$.

Hàm số $\sin(x)$ là một hàm cơ bản và nó liên tục trên toàn bộ tập số thực $\mathbb{R}$. Tập xác định của hàm $\sin(x)$ là $\mathbb{R}$. Hàm số lượng giác $\sin(x)$ không có điểm gián đoạn nào. Kết luận $\mathbb{R}$ hay $(-\infty, \infty)$.

Theo định nghĩa, một hàm số $f$ được gọi là liên tục tại điểm $a$ nếu thỏa mãn ba điều kiện: 1) $f(a)$ tồn tại. 2) $\lim_{x \to a} f(x)$ tồn tại. 3) $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Nếu một trong ba điều kiện này không được thỏa mãn, hàm số sẽ không liên tục tại $a$. Điều này có nghĩa là $f(a)$ không tồn tại, hoặc $\lim_{x \to a} f(x)$ không tồn tại, hoặc $\lim_{x \to a} f(x) \ne f(a)$. Tuy nhiên, câu hỏi yêu cầu điều có nghĩa là không liên tục. Điều kiện phủ định của liên tục là: ($f(a)$ không tồn tại) HOẶC ($\lim_{x \to a} f(x)$ không tồn tại) HOẶC ($\lim_{x \to a} f(x) \ne f(a)$). Lựa chọn 2 bao hàm tất cả các trường hợp này. Lựa chọn 1 chỉ là một trường hợp con. Lựa chọn 3 và 4 chỉ là các trường hợp con cụ thể. Lựa chọn 2 là định nghĩa đầy đủ nhất cho sự không liên tục. Kết luận $f(a)$ không tồn tại hoặc giới hạn của $f(x)$ khi $x$ tiến đến $a$ không tồn tại, hoặc cả hai.

Hàm đa thức (lựa chọn 1) và hàm lượng giác cơ bản (lựa chọn 2) luôn liên tục trên $\mathbb{R}$. Hàm phân thức hữu tỉ có thể có điểm gián đoạn tại nơi mẫu số bằng 0 (lựa chọn 3, mẫu $x^2+2$ luôn dương nên không có điểm gián đoạn). Hàm căn bậc hai $f(x) = \sqrt{x}$ có tập xác định là $[0, \infty)$. Hàm này liên tục trên tập xác định của nó. Tuy nhiên, câu hỏi hỏi hàm số có thể có điểm gián đoạn. Điều này có thể hiểu là hàm số có thể không liên tục tại một điểm nào đó trong miền xác định của nó hoặc có điểm gián đoạn tại biên. Trong các lựa chọn, hàm $f(x) = \sqrt{x}$ chỉ xác định với $x \ge 0$. Nếu xét trên một khoảng mở chứa $x=0$, nó sẽ không liên tục. Tuy nhiên, nếu xét trên tập xác định $[0, \infty)$, nó liên tục. Có lẽ câu hỏi muốn hỏi về hàm có thể có điểm gián đoạn loại 1 hoặc loại 2. Xem lại các lựa chọn. Cả 1, 2, 3 đều liên tục trên $\mathbb{R}$. Lựa chọn 4, $\sqrt{x}$, liên tục trên $[0, \infty)$. Nếu ta xem xét trên $\mathbb{R}$, nó có miền xác định là $[0, \infty)$ và không xác định trên $(-\infty, 0)$. Tuy nhiên, một hàm được coi là liên tục trên tập xác định của nó nếu nó liên tục tại mọi điểm trong tập xác định đó. Có lẽ câu hỏi có ý là hàm có thể bị gián đoạn trong tập xác định hoặc tại biên của nó. Nếu xét hàm $f(x)=\sqrt{x}$ trên $\mathbb{R}$, thì nó không xác định trên $(-\infty, 0)$, nên ta không thể nói nó liên tục ở đó. Tuy nhiên, trong các hàm được cho, chỉ có hàm căn bậc hai là có biên của tập xác định. Tôi sẽ xem xét lại ý định của câu hỏi. Có thể câu hỏi đang ám chỉ loại gián đoạn. Các hàm 1, 2, 3 là liên tục trên $\mathbb{R}$. Hàm 4 là liên tục trên $[0, \infty)$. Nếu xét trên $\mathbb{R}$, thì nó không xác định trên $(-\infty, 0)$. Câu hỏi có thể hiểu sai. Nếu hàm số $f(x)$ không được định nghĩa tại một điểm trong miền xác định, thì nó gián đoạn tại điểm đó. Hàm $\sqrt{x}$ không được định nghĩa cho $x<0$. Tuy nhiên, theo định nghĩa, ta chỉ xét tính liên tục trên tập xác định. Tôi sẽ giả định rằng câu hỏi muốn hỏi về hàm có thể có điểm gián đoạn bỏ được hoặc nhảy. Trong các lựa chọn này, chỉ có hàm phân thức có khả năng có điểm gián đoạn bỏ được. Tuy nhiên, $x^2+2$ không có nghiệm. Hàm căn bậc hai có tập xác định $[0, \infty)$. Nếu ta xem xét tính liên tục trên $\mathbb{R}$, thì nó không xác định trên $(-\infty, 0)$. Tuy nhiên, thông thường ta chỉ xét tính liên tục trên tập xác định. Tôi sẽ xem lại các hàm đã cho. Hàm 1, 2, 3 liên tục trên $\mathbb{R}$. Hàm 4 liên tục trên $[0, \infty)$. Có lẽ câu hỏi muốn hỏi hàm nào có thể gặp vấn đề về tính liên tục tại một điểm nào đó. Nếu xét hàm $f(x) = \sqrt{x}$ trên $\mathbb{R}$, thì nó không xác định trên $(-\infty, 0)$. Có thể đó là ý của câu hỏi. Tuy nhiên, câu hỏi hơi mơ hồ. Tôi sẽ giả định rằng câu hỏi muốn hỏi hàm nào có thể có điểm gián đoạn thực sự (không phải do tập xác định). Trong các hàm này, không có hàm nào có điểm gián đoạn thực sự. Tôi sẽ giả định có lỗi trong câu hỏi hoặc các lựa chọn. Tuy nhiên, nếu phải chọn, thì hàm $\sqrt{x}$ có tập xác định giới hạn, mà có thể dẫn đến hiểu lầm về tính liên tục. Tôi sẽ chọn đáp án 4 dựa trên giả định rằng câu hỏi muốn đề cập đến việc hàm số không xác định ở một phần của trục số thực. Tuy nhiên, tôi không hài lòng với câu hỏi này. Tôi sẽ thử một cách diễn đạt khác. Nếu câu hỏi là Hàm số nào sau đây KHÔNG liên tục trên $\mathbb{R}$?, thì đáp án sẽ là $\sqrt{x}$. Với cách hỏi hiện tại, có vẻ hơi sai. Tôi sẽ giả định rằng câu hỏi muốn hỏi hàm nào có thể có điểm gián đoạn trong tập xác định hoặc tại biên của tập xác định. Hàm $\sqrt{x}$ có tập xác định $[0, \infty)$. Nó liên tục trên khoảng này. Nhưng nếu xét trên $\mathbb{R}$, thì nó không xác định trên $(-\infty, 0)$. Tôi sẽ giả định ý của câu hỏi là hàm nào có thể không liên tục trên $\mathbb{R}$. Trong trường hợp đó, $\sqrt{x}$ là đáp án duy nhất. Kết luận $f(x) = \sqrt{x}$.

Hàm đa thức luôn liên tục trên tập xác định của nó, là $\mathbb{R}$. Các hàm còn lại có điểm gián đoạn: $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$ gián đoạn tại $x=1$; $f(x) = \tan(x)$ gián đoạn tại $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ với $k \in \mathbb{Z}$; $f(x) = \frac{1}{x}$ gián đoạn tại $x=0$. Kết luận $f(x) = x^3 - 2x + 1$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Để hàm số liên tục tại $x=0$, ta cần kiểm tra $f(0)$ và $\lim_{x \to 0} f(x)$. Theo định nghĩa, $f(0) = 1$. Ta tính giới hạn: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$. Đây là một giới hạn cơ bản đã biết có giá trị bằng 1. Vì $\lim_{x \to 0} f(x) = 1$ và $f(0) = 1$, nên $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$. Do đó, hàm số liên tục tại $x=0$. Kết luận Liên tục vì $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ và $f(0)=1$.

Ta kiểm tra tính liên tục tại $x=0$. 1. $f(0) = \frac{1}{0^2+1} = \frac{1}{1} = 1$. 2. Tính giới hạn: $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2+1} = \frac{1}{0^2+1} = 1$. 3. Ta có $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ vì $1=1$. Ngoài ra, mẫu số $x^2+1$ luôn dương và không bao giờ bằng 0, nên hàm số này là hàm phân thức hữu tỉ xác định trên toàn $\mathbb{R}$. Do đó, hàm số liên tục tại $x=0$. Kết luận Liên tục vì $x^2+1 > 0$ với mọi $x$.

Để kiểm tra tính liên tục tại $x=1$, ta cần kiểm tra ba điều kiện: 1. $f(1)$ tồn tại. $f(1) = 1^2 + 1 = 2$. 2. $\lim_{x \to 1} f(x)$ tồn tại. Ta tính giới hạn bên trái và bên phải: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} 2x = 2(1) = 2$. $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2 + 1) = 1^2 + 1 = 2$. Vì giới hạn trái bằng giới hạn phải, nên $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$. 3. $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$. Ta có $2 = 2$. Do cả ba điều kiện đều thỏa mãn, hàm số liên tục tại $x=1$. Kết luận Hàm số liên tục.

Để hàm số liên tục tại $x=2$, ta cần $f(2) = \lim_{x \to 2} f(x)$. Ta tính giới hạn: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 2+2 = 4$. Vậy, để hàm số liên tục tại $x=2$, ta cần bổ sung $f(2) = 4$. Kết luận $f(2) = 4$.

Ta kiểm tra tính liên tục của $f(x) = \lfloor x \rfloor$ tại $x=2$. 1. $f(2) = \lfloor 2 \rfloor = 2$. 2. Tính giới hạn hai bên: $\lim_{x \to 2^-} \lfloor x \rfloor = \lim_{x \to 2^-} (1) = 1$ (vì với $x$ rất gần 2 nhưng nhỏ hơn 2, ví dụ $x=1.999$, thì $\lfloor x \rfloor = 1$). $\lim_{x \to 2^+} \lfloor x \rfloor = \lim_{x \to 2^+} (2) = 2$ (vì với $x$ rất gần 2 nhưng lớn hơn 2, ví dụ $x=2.001$, thì $\lfloor x \rfloor = 2$). Vì giới hạn bên trái (1) không bằng giới hạn bên phải (2), giới hạn tại $x=2$ không tồn tại. Do đó, hàm số không liên tục tại $x=2$. Kết luận Không, vì giới hạn bên trái của $f(x)$ tại $x=2$ là 1 và giới hạn bên phải là 2.