Trắc nghiệm Toán học 10 kết nối bài tập cuối chương 3: Hệ thức lượng trong tam giác

1. Cho tam giác ABC có cạnh a = 6, b = 8 và góc C = 60 độ. Tính độ dài cạnh c.

A. $c = \sqrt{6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cos 60^0} = \sqrt{36 + 64 - 96 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{100 - 48} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

B. $c = \sqrt{6^2 + 8^2 + 2 \cdot 6 \cdot 8 \cos 60^0} = \sqrt{36 + 64 + 96 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{100 + 48} = \sqrt{148} = 2\sqrt{37}$

C. $c = \sqrt{6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \sin 60^0} = \sqrt{36 + 64 - 96 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{100 - 48\sqrt{3}}$

D. $c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$

2. Trong tam giác ABC, nếu biết độ dài ba cạnh là a = 7, b = 8, c = 9. Tính cosin của góc A.

A. $\cos A = \frac{7^2 + 8^2 - 9^2}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{49 + 64 - 81}{112} = \frac{32}{112} = \frac{2}{7}$

B. $\cos A = \frac{8^2 + 9^2 - 7^2}{2 \cdot 8 \cdot 9} = \frac{64 + 81 - 49}{144} = \frac{96}{144} = \frac{2}{3}$

C. $\cos A = \frac{7^2 + 9^2 - 8^2}{2 \cdot 7 \cdot 9} = \frac{49 + 81 - 64}{126} = \frac{66}{126} = \frac{11}{21}$

D. $\cos A = \frac{7^2 + 8^2 - 9^2}{2 \cdot 8 \cdot 9} = \frac{49 + 64 - 81}{144} = \frac{32}{144} = \frac{2}{9}$

3. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh lần lượt là a = 5, b = 6, c = 7. Tính diện tích của tam giác bằng công thức Heron.

A. p = 9, $S = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}$

B. p = 9, $S = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216} = 3\sqrt{24}$

C. p = 9, $S = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216} = 12\sqrt{1.5}$

D. p = 9, $S = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216} = 18$

4. Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp R = 5. Nếu cạnh a = 6 và góc A = 30 độ, tính cạnh b.

A. Theo định lý sin: $\frac{a}{\sin A} = 2R \Rightarrow \frac{6}{\sin 30^0} = 2(5) \Rightarrow \frac{6}{0.5} = 10 \Rightarrow 12 = 10$ (vô lý).

B. Theo định lý sin: $\frac{a}{\sin A} = 2R \Rightarrow \frac{6}{\sin 30^0} = 2R \Rightarrow R = 6$. Từ đó $\frac{b}{\sin B} = 2R$. Cần tìm B.

C. Theo định lý sin: $\frac{a}{\sin A} = 2R \Rightarrow \frac{6}{\sin 30^0} = 2R \Rightarrow \frac{6}{0.5} = 2R \Rightarrow 12 = 2R \Rightarrow R = 6$. Từ đó $\frac{b}{\sin B} = 2R$. Cần tìm B. Nếu R=5 thì có sai sót.

D. Theo định lý sin: $\frac{a}{\sin A} = 2R \Rightarrow \frac{6}{\sin 30^0} = 2R \Rightarrow \frac{6}{0.5} = 2R \Rightarrow 12 = 2R \Rightarrow R = 6$. Nếu R ban đầu là 5, thì có mâu thuẫn. Giả sử R = 6, ta tìm b.

5. Cho tam giác ABC có các góc A, B, C. Phát biểu nào sau đây là đúng theo định lý sin?

A. $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

B. $\frac{a}{\sin B} = \frac{b}{\sin C} = \frac{c}{\sin A} = R$

C. $\frac{a}{\cos A} = \frac{b}{\cos B} = \frac{c}{\cos C} = 2R$

D. $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin C} = \frac{c}{\sin B} = R$

6. Trong một tam giác, khi nào thì độ dài đường cao tương ứng với cạnh huyền bằng tích hai cạnh góc vuông chia cho độ dài cạnh huyền?

A. Khi tam giác đó là tam giác đều.

B. Khi tam giác đó là tam giác cân.

C. Khi tam giác đó là tam giác vuông.

D. Điều này luôn đúng với mọi tam giác.

7. Tam giác ABC có cạnh AB = 5, AC = 7 và góc A = 120 độ. Tính độ dài cạnh BC.

A. $BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cos 120^0 = 25 + 49 - 70 \cdot (-\frac{1}{2}) = 74 + 35 = 109$. $BC = \sqrt{109}$

B. $BC^2 = 5^2 + 7^2 + 2 \cdot 5 \cdot 7 \cos 120^0 = 25 + 49 + 70 \cdot (-\frac{1}{2}) = 74 - 35 = 39$. $BC = \sqrt{39}$

C. $BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \sin 120^0 = 25 + 49 - 70 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 74 - 35\sqrt{3}$. $BC = \sqrt{74 - 35\sqrt{3}}$

D. $BC^2 = 5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74$. $BC = \sqrt{74}$

8. Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c và các góc đối diện A, B, C. Công thức nào sau đây KHÔNG phải là hệ thức lượng trong tam giác?

A. Định lý sin: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

B. Định lý cosin: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

C. Công thức diện tích: $S = \frac{1}{2}ab \sin C$

D. Công thức trung tuyến: $m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$

9. Cho tam giác ABC có diện tích S = 30, cạnh a = 5, b = 12. Tính sin của góc C.

A. $S = \frac{1}{2}ab \sin C \Rightarrow 30 = \frac{1}{2}(5)(12) \sin C \Rightarrow 30 = 30 \sin C \Rightarrow \sin C = 1$

B. $S = \frac{1}{2}ab \sin C \Rightarrow 30 = \frac{1}{2}(5)(12) \sin C \Rightarrow 30 = 30 \sin C \Rightarrow \sin C = 0.5$

C. $S = \frac{1}{2}ab \sin C \Rightarrow 30 = \frac{1}{2}(5)(12) \sin C \Rightarrow 30 = 60 \sin C \Rightarrow \sin C = 0.5$

D. $S = \frac{1}{2}ab \sin C \Rightarrow 30 = \frac{1}{2}(5)(12) \sin C \Rightarrow 30 = 60 \sin C \Rightarrow \sin C = 1$

10. Cho tam giác ABC có đường cao AH. Mối quan hệ nào sau đây là đúng giữa các cạnh và đường cao trong tam giác vuông AHB và AHC (nếu ABC vuông tại A)?

A. $AB^2 = BH \cdot BC$

B. $AC^2 = CH \cdot BC$

C. $AH^2 = BH \cdot CH$

D. Cả ba hệ thức trên đều đúng

11. Cho tam giác ABC với BC = a, AC = b, AB = c. Phát biểu nào sau đây là sai về công thức tính diện tích tam giác khi biết độ dài hai cạnh và góc xen giữa?

A. $S = \frac{1}{2}ab \sin C$

B. $S = \frac{1}{2}bc \sin A$

C. $S = \frac{1}{2}ac \sin B$

D. $S = \frac{1}{2}bc \sin C$

12. Trong tam giác ABC, nếu $a^2 = b^2 + c^2 - bc$, thì góc A có giá trị bằng bao nhiêu?

A. $A = 30^0$

B. $A = 45^0$

C. $A = 60^0$

D. $A = 90^0$

13. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh lần lượt là a = 3, b = 4, c = 5. Tính bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác.

A. $r = \frac{S}{p} = \frac{6}{6} = 1$

B. $r = \frac{S}{p} = \frac{6}{7} \approx 0.857$

C. $r = \frac{S}{p} = \frac{12}{6} = 2$

D. $r = \frac{S}{p} = \frac{12}{7} \approx 1.714$

14. Cho tam giác ABC. Phát biểu nào sau đây là sai khi nói về công thức Heron?

A. Công thức Heron cho phép tính diện tích tam giác khi biết độ dài ba cạnh.

B. Công thức Heron yêu cầu tính nửa chu vi của tam giác trước.

C. Công thức Heron là $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ với p là chu vi tam giác.

D. Công thức Heron có thể áp dụng cho mọi loại tam giác.

15. Cho tam giác ABC. Nếu $a^2 + b^2 < c^2$, thì góc C của tam giác đó có tính chất gì?

A. Góc C là góc tù ($C > 90^0$).

B. Góc C là góc nhọn ($C < 90^0$).

C. Góc C là góc vuông ($C = 90^0$).

D. Không đủ thông tin để xác định.