Category:
Trắc nghiệm Toán học 10 cánh diều bài 6 Tích vô hướng của hai vectơ
Tags:
Bộ đề 1
13. Cho hình thoi ABCD có tâm O. Phát biểu nào sau đây là sai?
Trong hình thoi, hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau, nên $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0$. Tâm O là trung điểm của AC và BD, nên $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OC}$ ngược hướng, $\overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{OC}$, do đó $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = -|\overrightarrow{OA}|^2 \ne 0$. Tuy nhiên, nếu $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OC}$ được hiểu là các vectơ từ tâm đến đỉnh, thì chúng cùng phương và ngược hướng. Tích vô hướng của chúng là âm của bình phương độ dài. $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = |\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OC}| \cos(180^\circ) = -|\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OC}|$. Vì O là tâm, $|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OC}|$, nên $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = -|\overrightarrow{OA}|^2$. Lựa chọn $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = 0$ là sai. Trong hình thoi, các cạnh AB và BC không nhất thiết vuông góc, nên $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$ không nhất thiết bằng 0. Các cạnh AB và AD vuông góc với nhau nếu hình thoi là hình vuông. Nếu chỉ là hình thoi, $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ tạo một góc khác $90^\circ$. Vậy cả 2, 3, 4 đều có thể sai tùy trường hợp. Tuy nhiên, câu hỏi yêu cầu phát biểu SAI. Trong hình thoi, hai đường chéo vuông góc nên $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0$. OK. $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OC}$ là hai vectơ cùng phương, ngược hướng và có độ dài bằng nhau. Do đó $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = -|\overrightarrow{OA}|^2$. Nên $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = 0$ là sai. Trong hình thoi, các góc không nhất thiết là $90^\circ$, nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ không nhất thiết vuông góc, và $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ cũng không nhất thiết vuông góc. Nhưng câu hỏi hỏi phát biểu SAI. $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ luôn vuông góc. $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OC}$ luôn ngược hướng. $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ tạo thành góc $\angle ABC$. $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ tạo thành góc $\angle BAD$. Trong hình thoi, $\angle ABC + \angle BAD = 180^\circ$. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{BC}| \cos(\angle ABC)$. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AD}| \cos(\angle BAD)$. Nếu hình thoi là hình vuông, cả hai đều bằng 0. Nếu không, chúng khác 0. Tuy nhiên, $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = -|\overrightarrow{OA}|^2$ luôn khác 0 (trừ khi O=A=C, trường hợp suy biến). Do đó, $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = 0$ là sai chắc chắn. Vậy đáp án là 3. Kết luận $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = 0$.
