Category:
Trắc nghiệm Toán học 7 chân trời bài 2 Tam giác bằng nhau
Tags:
Bộ đề 1
5. Cho \(\triangle ABC\) có \(AB=AC\). \(BD\) là tia phân giác của \(\angle ABC\) với \(D\) trên \(AC\). \(BE\) là tia phân giác của \(\angle ACB\) với \(E\) trên \(AB\). Nếu \(BD = BE\), kết luận nào sau đây là đúng?
Vì \(AB=AC\), \(\triangle ABC\) cân tại A. Suy ra \(\angle ABC = \angle ACB\). Vì \(BD\) và \(BE\) lần lượt là tia phân giác của \(\angle ABC\) và \(\angle ACB\), nên \(\angle ABD = \angle DBC = \frac{1}{2} \angle ABC\) và \(\angle ABE = \angle EBC = \frac{1}{2} \angle ACB\). Do \(\angle ABC = \angle ACB\), suy ra \(\angle ABD = \angle DBC = \angle ABE = \angle EBC\). Ta có \(BD = BE\) (giả thiết). Xét \(\triangle ABD\) và \(\triangle ABE\): có \(AB\) chung, \(\angle ABD = \angle ABE\), \(BD=BE\). Vậy \(\triangle ABD \cong \triangle ABE\) theo trường hợp c.g.c. Từ đó suy ra \(AD = AE\). Vì \(AB=AC\) và \(AD=AE\), nên \(AB - AE = AC - AD\) tức là \(EB = DC\) (điều này không trực tiếp suy ra từ \(\triangle ABD \cong \triangle ABE\)). Xét \(\triangle BDC\) và \(\triangle CEB\): có \(BC\) chung, \(\angle DBC = \angle EBC\), \(BD = BE\). Vậy \(\triangle BDC \cong \triangle CEB\) theo trường hợp c.g.c. Từ đó suy ra \(DC = EB\). Vì \(AD = AE\) và \(DC = EB\), và \(AC = AD + DC\), \(AB = AE + EB\). Nếu \(AD = AE\) và \(DC = EB\), và \(AB=AC\), thì \(AD=AE\) và \(AB-AD = AC-AE\) => \(DC = EB\). Nếu \(AD=AE\) và \(AB=AC\), thì \(\triangle ABC\) cân tại A. Nếu \(BD=BE\) và \(\angle ABD = \angle ABE\), \(AB\) chung => \(\triangle ABD \cong \triangle ABE\) => \(AD=AE\). Do \(AB=AC\) và \(AD=AE\) nên \(AB-AE = AC-AD\) => \(EB = DC\). Xét \(\triangle ABC\): \(\angle ABC = \angle ACB\). Nếu \(\angle ABD = \angle DBC\) và \(\angle ABE = \angle EBC\) và \(\angle ABD = \angle ABE\), thì \(\angle ABC = 2 \angle ABD\) và \(\angle ACB = 2 \angle EBC\). Nếu \(\triangle ABD \cong \triangle ABE\) thì \(\angle ADB = \angle AEB\). Nếu \(\triangle BDC \cong \triangle CEB\) thì \(\angle BDC = \angle CEB\). Do \(\angle ADB = \angle AEB\) và \(\angle ADB + \angle BDC = 180^\circ\), \(\angle AEB + \angle CEB = 180^\circ\), suy ra \(\angle BDC = \angle CEB\). Điều này cho thấy \(\triangle ABC\) là tam giác cân. Nếu \(BD=BE\) trong tam giác cân \(ABC\), thì \(\triangle ABC\) phải là tam giác đều. Nếu \(\triangle ABC\) đều, thì \(\angle ABC = \angle ACB = 60^\circ\). \(BD\) và \(BE\) là phân giác nên \(\angle ABD = \angle DBC = \angle ABE = \angle EBC = 30^\circ\). \(\triangle ABD\) có các góc \(60^\circ, 30^\circ, 90^\circ\) (vì \(\angle ADB = 180 - 60 - 30 = 90^\circ\)). Tương tự \(\triangle ABE\) cũng có các góc \(60^\circ, 30^\circ, 90^\circ\). Vậy \(\triangle ABD \cong \triangle ABE\) theo g.c.g (góc A chung, AB chung, \(\angle ABD = \angle ABE\)). Và \(\triangle BDC\) có các góc \(30^\circ, 60^\circ, 90^\circ\). \(\triangle CEB\) cũng tương tự. Vậy \(\triangle ABC\) là tam giác đều. Kết luận: \(\triangle ABC\) là tam giác đều.
