1. Tính giới hạn lim_(x→0) (sin(x)/x)
A. 0
B. 1
C. ∞
D. Không tồn tại
2. Công thức khai triển Taylor của hàm số f(x) tại điểm x = a là gì?
A. f(x) = f(a) + f`(a)(x-a) + f``(a)(x-a)^2 + ...
B. f(x) = f(a) + f`(a)(x-a) + f``(a)/2!(x-a)^2 + ...
C. f(x) = f(a) + f`(a)x + f``(a)x^2 + ...
D. f(x) = f(a) + f`(a)x + f``(a)/2!x^2 + ...
3. Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange dùng để giải loại phương trình vi phân nào?
A. Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất.
B. Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất.
C. Phương trình vi phân tách biến.
D. Phương trình vi phân Bernoulli.
4. Điều kiện cần và đủ để một trường vectơ F là trườngGradient (trường thế) trong miền đơn liên D là:
A. div F = 0
B. curl F = 0
C. F = 0
D. grad F = 0
5. Tích phân đường loại 1 ∫_C f(x, y) ds, trong đó C là đường cong tham số r(t) = (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b, được tính bằng công thức nào?
A. ∫_a^b f(x(t), y(t)) dt
B. ∫_a^b f(x(t), y(t)) ||r`(t)|| dt
C. ∫_a^b f(x`(t), y`(t)) ||r(t)|| dt
D. ∫_a^b f(x(t), y(t)) ||r(t)|| dt
6. Chuỗi số ∑_(n=1)^∞ (1/n^p) hội tụ khi nào?
A. p ≤ 1
B. p < 1
C. p > 1
D. p ≥ 1
7. Định nghĩa của không gian vectơ là gì?
A. Một tập hợp các đối tượng gọi là vectơ.
B. Một tập hợp các đối tượng gọi là vectơ cùng với hai phép toán cộng vectơ và nhân vectơ với số vô hướng, thỏa mãn một số tiên đề.
C. Một tập hợp các vectơ và một phép toán cộng.
D. Một tập hợp các vectơ và một phép toán nhân với số vô hướng.
8. Cho hàm số f(x) = x^2 - 4x + 5. Điểm cực tiểu của hàm số này là:
A. x = 1
B. x = 2
C. x = 3
D. x = 4
9. Tích phân bất định ∫cos(2x) dx bằng:
A. sin(2x) + C
B. 1/2 sin(2x) + C
C. -1/2 sin(2x) + C
D. -sin(2x) + C
10. Tính tích phân suy rộng ∫_(1)^∞ (1/x^2) dx
A. 0
B. 1
C. ∞
D. Không hội tụ
11. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng số?
A. y`` + xy` + y = 0
B. y`` + 2y` + 3y = sin(x)
C. y`` + (y`)^2 + y = 0
D. y``y` + y = x
12. Trong không gian R^3, phương trình x² + y² + z² = R² mô tả hình học gì?
A. Đường tròn.
B. Mặt cầu.
C. Hình trụ.
D. Hình nón.
13. Ma trận A được gọi là khả nghịch khi nào?
A. Khi định thức của A bằng 0.
B. Khi định thức của A khác 0.
C. Khi tất cả các phần tử của A khác 0.
D. Khi A là ma trận vuông.
14. Giá trị của định thức của ma trận đơn vị cấp n là:
15. Phép biến đổi Laplace biến đạo hàm f`(t) thành:
A. sF(s) - f(0)
B. sF(s)
C. F(s) - f(0)
D. F(s)/s
16. Hạng của ma trận là gì?
A. Số hàng của ma trận.
B. Số cột của ma trận.
C. Số chiều của không gian vectơ sinh bởi các hàng (hoặc cột) của ma trận.
D. Định thức của ma trận.
17. Đạo hàm riêng cấp nhất của hàm số f(x, y) = x^3y^2 + e^(xy) theo biến x là:
A. 3x^2y^2 + ye^(xy)
B. 2x^3y + xe^(xy)
C. 3x^2y^2 + e^(xy)
D. x^3y^2 + ye^(xy)
18. Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑_(n=0)^∞ c_n (x-a)^n là một:
A. Điểm.
B. Khoảng hoặc đoạn hoặc toàn bộ trục số.
C. Đường tròn.
D. Hình vuông.
19. Giá trị trung bình của hàm số f(x) trên đoạn [a, b] được tính bằng công thức nào?
A. (1/(b-a)) ∫_a^b f(x) dx
B. ∫_a^b f(x) dx
C. f((a+b)/2)
D. (f(a) + f(b))/2
20. Cho z = f(x, y), x = rcosθ, y = rsinθ. ∂z/∂r bằng:
A. (∂z/∂x)cosθ + (∂z/∂y)sinθ
B. (∂z/∂x)sinθ + (∂z/∂y)cosθ
C. (∂z/∂x)r + (∂z/∂y)r
D. (∂z/∂x)cosθ - (∂z/∂y)sinθ
21. Điều kiện để hàm số f(x, y) đạt cực đại địa phương tại điểm (x₀, y₀) là gì (giả sử các đạo hàm cần thiết tồn tại và liên tục)?
A. f_x(x₀, y₀) = 0, f_y(x₀, y₀) = 0 và định thức Hessian tại (x₀, y₀) dương.
B. f_x(x₀, y₀) = 0, f_y(x₀, y₀) = 0 và định thức Hessian tại (x₀, y₀) âm, f_xx(x₀, y₀) < 0.
C. f_x(x₀, y₀) = 0, f_y(x₀, y₀) = 0 và định thức Hessian tại (x₀, y₀) âm, f_xx(x₀, y₀) > 0.
D. f_x(x₀, y₀) = 0, f_y(x₀, y₀) = 0 và định thức Hessian tại (x₀, y₀) bằng 0.
22. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y` - 2y = 0 là:
A. y = Ce^(2x)
B. y = Ce^(-2x)
C. y = C + e^(2x)
D. y = C + e^(-2x)
23. Nghiệm riêng của phương trình vi phân y`` - 3y` + 2y = e^x có dạng nào?
A. Ae^x
B. Axe^x
C. Ax^2e^x
D. A + Be^x
24. Trong giải tích vectơ, toán tử ∇ (nabla) được gọi là:
A. Toán tử Laplace.
B. Toán tử Gradient.
C. Toán tử Divergence.
D. Toán tử Curl.
25. Phương trình vi phân y`` + ω²y = 0 (ω > 0) mô tả hiện tượng vật lý nào?
A. Dao động tắt dần.
B. Dao động điều hòa.
C. Chuyển động thẳng đều.
D. Chuyển động rơi tự do.
26. Giá trị riêng của ma trận vuông A là gì?
A. Vectơ khác không v sao cho Av = λv với λ là một số vô hướng.
B. Số vô hướng λ sao cho tồn tại vectơ khác không v thỏa Av = λv.
C. Định thức của ma trận A.
D. Vết của ma trận A.
27. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay miền D giới hạn bởi y = f(x), trục Ox, x = a, x = b quanh trục Ox được tính bằng công thức nào?
A. V = ∫_a^b f(x) dx
B. V = π∫_a^b [f(x)]^2 dx
C. V = 2π∫_a^b xf(x) dx
D. V = π∫_a^b f(x) dx
28. Tính hội tụ của chuỗi ∑_(n=1)^∞ ((-1)^n)/(n+1).
A. Hội tụ tuyệt đối.
B. Phân kỳ.
C. Bán hội tụ (hội tụ có điều kiện).
D. Không xác định được.
29. Trong không gian vectơ R^3, tích có hướng của hai vectơ u = (u₁, u₂, u₃) và v = (v₁, v₂, v₃) là một:
A. Số vô hướng.
B. Vectơ vuông góc với cả u và v.
C. Vectơ cùng phương với u.
D. Vectơ cùng phương với v.
30. Tích phân bội hai ∫∫_D f(x, y) dA biểu diễn điều gì về mặt hình học nếu f(x, y) ≥ 0 trên miền D?
A. Diện tích của miền D.
B. Thể tích của khối trụ có đáy là miền D và chiều cao là z = f(x, y).
C. Độ dài đường biên của miền D.
D. Giá trị trung bình của hàm f trên miền D.
