1. Cho hàm số f(x, y). Gradient của f tại điểm (x₀, y₀) chỉ hướng nào?
A. Hướng mà hàm số giảm nhanh nhất.
B. Hướng mà hàm số không đổi.
C. Hướng mà hàm số tăng nhanh nhất.
D. Hướng vuông góc với bề mặt mức của hàm số.
2. Định nghĩa nào sau đây mô tả đúng nhất về ma trận khả nghịch?
A. Ma trận vuông có định thức bằng 0.
B. Ma trận vuông có định thức khác 0.
C. Ma trận không vuông có định thức khác 0.
D. Ma trận vuông có tất cả các phần tử khác 0.
3. Chuỗi Taylor của hàm số f(x) tại x = a là gì?
A. ∑_(n=0)^∞ (f^(n)(a) / n!) (x-a)^n
B. ∑_(n=0)^∞ (f^(n)(0) / n!) x^n
C. ∑_(n=0)^∞ (f(a) / n!) (x-a)^n
D. ∑_(n=0)^∞ (f^(n)(x) / n!) (x-a)^n
4. Tính chất nào sau đây KHÔNG phải là tính chất của định thức?
A. det(A^T) = det(A)
B. det(kA) = k * det(A) với k là hằng số.
C. det(AB) = det(A) * det(B)
D. Nếu A có hai dòng giống nhau thì det(A) = 0.
5. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp nhất?
A. y`` + 2y` - y = sin(x)
B. (y`)² + y = x
C. xy` + y = x²
D. y` + y*y` = x
6. Tính đạo hàm riêng cấp hai ∂²f/∂x∂y của hàm số f(x, y) = xy² + e^(xy).
A. 2y + x²e^(xy)
B. 2x + ye^(xy)
C. 2y + ye^(xy) + xye^(xy)
D. 2x + xe^(xy) + xye^(xy)
7. Tích phân mặt loại 2 ∫∫_S F · dS tính đại lượng nào?
A. Diện tích của mặt S.
B. Thể tích bao quanh mặt S.
C. Thông lượng (flux) của trường vector F xuyên qua mặt S.
D. Công của trường vector F dọc theo biên của mặt S.
8. Trong không gian R³, tích vô hướng của hai vector u = (u₁, u₂, u₃) và v = (v₁, v₂, v₃) được tính như thế nào?
A. u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃
B. (u₁v₁, u₂v₂, u₃v₃)
C. √(u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃)
D. √(u₁² + u₂² + u₃²) * √(v₁² + v₂² + v₃²)
9. Phép biến đổi Laplace L{f(t)} được định nghĩa là gì?
A. ∫_0^∞ e^(-st) f(t) dt
B. ∫_0^∞ e^(st) f(t) dt
C. ∫_(-∞)^∞ e^(-st) f(t) dt
D. ∫_(-∞)^∞ e^(st) f(t) dt
10. Trong không gian vector, cơ sở của một không gian con V là gì?
A. Tập hợp các vector sinh ra V.
B. Tập hợp các vector độc lập tuyến tính.
C. Tập hợp các vector sinh ra V và độc lập tuyến tính.
D. Tập hợp tất cả các vector trong V.
11. Chuỗi lũy thừa ∑_(n=0)^∞ c_n (x-a)^n có bán kính hội tụ R. Điều gì xảy ra khi |x-a| = R?
A. Chuỗi luôn hội tụ.
B. Chuỗi luôn phân kỳ.
C. Chuỗi có thể hội tụ hoặc phân kỳ, cần xét cụ thể.
D. Chuỗi hội tụ tuyệt đối.
12. Tích phân ∫∫∫_V dV trong tọa độ cầu (ρ, θ, φ) được biểu diễn như thế nào?
A. ∫∫∫ f(ρ, θ, φ) dρ dθ dφ
B. ∫∫∫ f(ρ, θ, φ) ρ dρ dθ dφ
C. ∫∫∫ f(ρ, θ, φ) ρ² sin(φ) dρ dθ dφ
D. ∫∫∫ f(ρ, θ, φ) ρ² cos(φ) dρ dθ dφ
13. Điều kiện nào sau đây là điều kiện hội tụ cho chuỗi Fourier của một hàm số f(x) tuần hoàn?
A. f(x) phải là hàm số chẵn.
B. f(x) phải là hàm số lẻ.
C. f(x) phải thỏa mãn điều kiện Dirichlet.
D. f(x) phải là hàm đa thức.
14. Phép biến đổi tuyến tính T: R^n → R^m được xác định bởi ma trận A cỡ m x n. Ker(T) là gì?
A. Tập hợp tất cả các vector x ∈ R^n sao cho Ax = 0.
B. Tập hợp tất cả các vector b ∈ R^m sao cho tồn tại x ∈ R^n để Ax = b.
C. Không gian sinh bởi các cột của ma trận A.
D. Không gian sinh bởi các dòng của ma trận A.
15. Cho hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục. Biểu thức nào sau đây là định thức Hessian?
A. H = ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y²
B. H = ∂²f/∂x² * ∂²f/∂y² - (∂²f/∂x∂y)²
C. H = ∂²f/∂x² * ∂²f/∂y² + (∂²f/∂x∂y)²
D. H = ∂²f/∂x² - ∂²f/∂y²
16. Giá trị riêng của ma trận vuông A là gì?
A. Các vector v khác vector không sao cho Av = λv với một số vô hướng λ.
B. Các số vô hướng λ sao cho tồn tại vector v khác vector không thỏa mãn Av = λv.
C. Định thức của ma trận A trừ đi ma trận đơn vị.
D. Nghiệm của phương trình det(A) = 0.
17. Tích phân đường loại 2 ∫_C P(x, y)dx + Q(x, y)dy phụ thuộc vào yếu tố nào?
A. Điểm đầu và điểm cuối của đường cong C, nhưng không phụ thuộc vào hình dạng đường cong.
B. Hình dạng đường cong C, nhưng không phụ thuộc vào hướng đi trên đường cong.
C. Hình dạng đường cong C và hướng đi trên đường cong.
D. Chỉ phụ thuộc vào hàm số P(x, y) và Q(x, y).
18. Trong không gian vector R^3, tích có hướng của hai vector u và v là một vector như thế nào?
A. Song song với cả u và v.
B. Nằm trong mặt phẳng chứa u và v.
C. Vuông góc với mặt phẳng chứa u và v.
D. Có độ dài bằng tích độ dài của u và v.
19. Điều kiện cần và đủ để một trường vector F = là trường bảo toàn trên miền D liên thông là gì?
A. ∂P/∂x = ∂Q/∂y
B. ∂P/∂y = ∂Q/∂x
C. ∂²P/∂x² + ∂²Q/∂y² = 0
D. P² + Q² = hằng số
20. Công thức nào sau đây là công thức Green?
A. ∬_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA = ∮_C Pdx + Qdy
B. ∬_D (∂P/∂x + ∂Q/∂y) dA = ∮_C Pdx + Qdy
C. ∬_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA = ∮_C Pdy - Qdx
D. ∬_D (∂P/∂x - ∂Q/∂y) dA = ∮_C Pdx + Qdy
21. Phương pháp nhân tử Lagrange được sử dụng để làm gì?
A. Tìm cực trị tự do của hàm số nhiều biến.
B. Tìm cực trị có điều kiện của hàm số nhiều biến.
C. Giải hệ phương trình tuyến tính.
D. Tính tích phân bội.
22. Chuỗi số ∑_(n=1)^∞ (1/n^p) hội tụ khi nào?
A. p ≤ 1
B. p < 1
C. p > 1
D. p ≥ 0
23. Hạng của ma trận là gì?
A. Số dòng của ma trận.
B. Số cột của ma trận.
C. Số chiều của không gian dòng (hoặc không gian cột) của ma trận.
D. Định thức của ma trận.
24. Trong tích phân bội hai ∫∫_D f(x, y) dA, nếu đổi sang tọa độ cực, dA được thay thế bằng biểu thức nào?
A. dr dθ
B. r dr dθ
C. r² dr dθ
D. r sin(θ) dr dθ
25. Đạo hàm của hàm vector r(t) = biểu diễn điều gì?
A. Vận tốc của chất điểm chuyển động theo đường cong r(t).
B. Gia tốc của chất điểm chuyển động theo đường cong r(t).
C. Độ dài của đường cong r(t).
D. Tiếp tuyến của mặt cong tại điểm r(t).
26. Điều kiện nào sau đây KHÔNG đảm bảo sự liên tục của hàm số f(x, y) tại điểm (x₀, y₀)?
A. Tồn tại giới hạn lim_((x,y)→(x₀,y₀)) f(x, y) và giới hạn này bằng f(x₀, y₀).
B. Các đạo hàm riêng ∂f/∂x và ∂f/∂y tồn tại tại (x₀, y₀).
C. f(x, y) được xác định tại (x₀, y₀).
D. f(x, y) liên tục theo biến x và biến y tại (x₀, y₀).
27. Trong phép tích phân suy rộng loại 1, điều kiện nào sau đây là cần để tích phân ∫[a, ∞) f(x) dx hội tụ?
A. f(x) phải là hàm số chẵn.
B. lim_(x→∞) f(x) = 0.
C. f(x) phải là hàm số dương.
D. ∫[a, ∞) |f(x)| dx hội tụ.
28. Cho hệ phương trình tuyến tính Ax = b. Điều kiện nào sau đây KHÔNG đảm bảo hệ phương trình có nghiệm duy nhất?
A. det(A) ≠ 0 và số ẩn bằng số phương trình.
B. Ma trận A khả nghịch.
C. Hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận bổ sung [A|b].
D. Hạng của ma trận A nhỏ hơn số ẩn.
29. Vector pháp tuyến của mặt cong z = f(x, y) tại điểm (x₀, y₀, z₀) được cho bởi vector nào?
A. <∂f/∂x, ∂f/∂y, -1>
B. <∂f/∂x, ∂f/∂y, 1>
C. < -∂f/∂x, -∂f/∂y, 1>
D. < -∂f/∂x, ∂f/∂y, 1>
30. Trong phương trình vi phân y`` + py` + qy = 0, nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức α ± βi, nghiệm tổng quát có dạng nào?
A. y(x) = c₁e^(αx) + c₂e^(βx)
B. y(x) = c₁cos(βx) + c₂sin(βx)
C. y(x) = e^(αx) (c₁cos(βx) + c₂sin(βx))
D. y(x) = (c₁ + c₂x)e^(αx)
