1. Phép biến đổi Fourier được sử dụng chủ yếu trong lĩnh vực nào?
A. Thống kê toán học.
B. Tối ưu hóa.
C. Xử lý tín hiệu và ảnh.
D. Lý thuyết số.
2. Phép biến đổi Laplace của hàm số f(t) = 1 là:
A. 1/s
B. s
C. 1
D. 1/s^2
3. Tích phân suy rộng ∫[1, ∞) (1/x^2) dx có giá trị là:
A. ∞
B. 1
C. 0
D. Không hội tụ.
4. Giới hạn của hàm số (sin(x))/x khi x tiến đến 0 là:
A. 0
B. 1
C. ∞
D. Không tồn tại.
5. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp nhất?
A. y`` + y` + y = x
B. y` + y^2 = x
C. y` + xy = sin(x)
D. (y`)^2 + y = x
6. Trong giải tích phức, tích phân đường cong ∫[C] f(z) dz phụ thuộc vào:
A. Chỉ điểm đầu và điểm cuối của đường cong C.
B. Hình dạng của đường cong C và hàm số f(z).
C. Chỉ hàm số f(z).
D. Chỉ độ dài của đường cong C.
7. Trong phân tích Fourier, hệ số Fourier a_0 đại diện cho:
A. Biên độ của thành phần tần số cơ bản.
B. Giá trị trung bình của hàm số trên chu kỳ.
C. Pha ban đầu của tín hiệu.
D. Năng lượng của tín hiệu.
8. Điều kiện nào sau đây là điều kiện hội tụ của chuỗi Taylor của hàm số f(x) xung quanh điểm a?
A. Chuỗi luôn hội tụ với mọi x.
B. Chuỗi hội tụ khi và chỉ khi f(x) khả vi vô hạn lần.
C. Chuỗi hội tụ trong một khoảng mở chứa a.
D. Chuỗi hội tụ tại điểm a và có thể không hội tụ ở bất kỳ điểm nào khác.
9. Công thức nào sau đây là công thức khai triển Taylor cho hàm số f(x) xung quanh điểm a?
A. f(x) = f(a) + f`(a)(x-a) + f``(a)(x-a)^2 + ...
B. f(x) = f(a) + f`(a)(x-a) + (f``(a)/2!)(x-a)^2 + ...
C. f(x) = f(0) + f`(0)x + (f``(0)/2!)x^2 + ...
D. f(x) = f(a) + f`(a)x + (f``(a)/2!)x^2 + ...
10. Trong lý thuyết xác suất, biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là độc lập nếu:
A. P(X + Y) = P(X) + P(Y)
B. P(X * Y) = P(X) * P(Y)
C. P(X ≤ x, Y ≤ y) = P(X ≤ x) * P(Y ≤ y) với mọi x, y.
D. E[X + Y] = E[X] + E[Y]
11. Trong không gian vector R^3, tích vô hướng của hai vector u = (1, 2, -1) và v = (3, 0, 4) là bao nhiêu?
12. Giá trị riêng của ma trận A là nghiệm của phương trình nào?
A. det(A) = 0
B. tr(A) = 0
C. det(A - λI) = 0
D. tr(A - λI) = 0
13. Điều kiện cần và đủ để một hàm số f(x) khả vi tại x0 là:
A. Hàm số liên tục tại x0.
B. Giới hạn của đạo hàm của hàm số tồn tại tại x0.
C. Tồn tại giới hạn hữu hạn của (f(x) - f(x0))/(x - x0) khi x tiến đến x0.
D. Hàm số có đạo hàm cấp hai tại x0.
14. Tích phân bất định của hàm số f(x) = 2x + 1 là:
A. x^2 + x + C
B. 2x^2 + x + C
C. x^2 + 2x + C
D. 2x^2 + 2x + C
15. Mệnh đề nào sau đây là đúng về không gian vector con?
A. Giao của hai không gian vector con luôn là không gian vector con.
B. Hợp của hai không gian vector con luôn là không gian vector con.
C. Phần bù của một không gian vector con luôn là không gian vector con.
D. Tích Descartes của hai không gian vector con luôn là không gian vector con.
16. Trong đại số tuyến tính, hạng của ma trận (rank) là:
A. Số hàng của ma trận.
B. Số cột của ma trận.
C. Số chiều của không gian sinh bởi các vector hàng (hoặc cột) của ma trận.
D. Định thức của ma trận.
17. Trong tối ưu hóa, điểm dừng (stationary point) của một hàm số nhiều biến là điểm mà tại đó:
A. Hàm số đạt giá trị lớn nhất.
B. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất.
C. Gradient của hàm số bằng vector không.
D. Hessian của hàm số xác định dương.
18. Thể tích của khối hộp chữ nhật có kích thước chiều dài a, chiều rộng b, chiều cao c là:
A. 2(ab + bc + ca)
B. a + b + c
C. abc
D. (1/3)abc
19. Chuỗi số ∑ (1/n^p) hội tụ khi và chỉ khi:
A. p < 1
B. p ≤ 1
C. p > 1
D. p ≥ 1
20. Cho hàm số f(x, y) = x^2 + y^2. Đường mức (level curve) của hàm số này có dạng:
A. Đường thẳng.
B. Đường parabol.
C. Đường hypebol.
D. Đường tròn.
21. Phương trình vi phân y`` + 4y` + 4y = 0 là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai:
A. Thuần nhất, hệ số hằng số, nghiệm tổng quát có dạng dao động.
B. Không thuần nhất, hệ số hằng số, nghiệm tổng quát có dạng mũ.
C. Thuần nhất, hệ số hằng số, nghiệm tổng quát có dạng mũ.
D. Không thuần nhất, hệ số biến thiên, nghiệm tổng quát có dạng lượng giác.
22. Đạo hàm riêng cấp hai của hàm số f(x, y) = x^3y^2 theo biến x hai lần là:
A. 6xy^2
B. 6x^2y^2
C. 3x^2y^2
D. 2y^2
23. Trong lý thuyết đồ thị, bậc của một đỉnh là:
A. Số cạnh trong đồ thị.
B. Số đỉnh trong đồ thị.
C. Số cạnh liên thuộc với đỉnh đó.
D. Tổng trọng số của các cạnh liên thuộc với đỉnh đó.
24. Trong phương pháp số, phương pháp Newton-Raphson được sử dụng để:
A. Tính tích phân xác định.
B. Giải phương trình vi phân.
C. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến.
D. Giải hệ phương trình tuyến tính.
25. Trong giải tích vector, gradient của một trường vô hướng f(x, y, z) là:
A. Một vector trường.
B. Một trường vô hướng.
C. Một số thực.
D. Một ma trận.
26. Trong không gian R^2, phương trình x^2 + y^2 - 2x = 0 biểu diễn hình gì?
A. Đường thẳng.
B. Parabol.
C. Elip.
D. Đường tròn.
27. Đạo hàm của hàm số f(x) = ln(x^2 + 1) là:
A. 1/(x^2 + 1)
B. 2x/(x^2 + 1)
C. 2x*ln(x^2 + 1)
D. (2x)/(2x+1)
28. Ma trận nào sau đây là ma trận đường chéo?
A. [[1, 0, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 3]]
B. [[1, 2, 3], [0, 2, 0], [0, 0, 3]]
C. [[1, 0, 3], [0, 2, 0], [0, 0, 3]]
D. [[1, 0, 0], [1, 2, 0], [1, 0, 3]]
29. Cho hệ phương trình tuyến tính Ax = b. Định thức của ma trận A khác 0 khi và chỉ khi:
A. Hệ phương trình có vô số nghiệm.
B. Hệ phương trình vô nghiệm.
C. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
D. Hệ phương trình có ít nhất một nghiệm.
30. Hàm số nào sau đây là hàm số lồi trên R?
A. f(x) = -x^2
B. f(x) = x^3
C. f(x) = e^x
D. f(x) = sin(x)
