Đề thi, bài tập trắc nghiệm online Toán cao cấp – Đề 15

1. Tính tích phân đường ∫_C (x^2 + y^2) ds, với C là đường tròn đơn vị x^2 + y^2 = 1.

A. 0

B. π

C. 2π

D. 3π

2. Chuỗi Taylor của hàm số e^x tại x = 0 là:

A. ∑ (x^n / n!) từ n=0 đến ∞

B. ∑ ((-1)^n * x^n / n!) từ n=0 đến ∞

C. ∑ (x^(2n) / (2n)!) từ n=0 đến ∞

D. ∑ ((-1)^n * x^(2n) / (2n)!) từ n=0 đến ∞

3. Trong đại số tuyến tính, hạng (rank) của một ma trận là:

A. Số hàng của ma trận

B. Số cột của ma trận

C. Số chiều của không gian sinh bởi các vector cột (hoặc hàng)

D. Tổng các phần tử trên đường chéo chính

4. Phương pháp nào sau đây KHÔNG phải là phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính?

A. Phương pháp Gauss-Jordan

B. Phương pháp Cramer

C. Phương pháp Newton-Raphson

D. Phương pháp Ma trận nghịch đảo

5. Chuỗi số ∑ (1/n^p) hội tụ khi nào?

A. p ≤ 1

B. p < 1

C. p > 1

D. p ≥ 1

6. Định lý Stokes liên hệ giữa:

A. Tích phân mặt và tích phân đường

B. Tích phân đường và tích phân bội hai

C. Tích phân mặt và tích phân bội ba

D. Tích phân bội hai và tích phân bội ba

7. Điều kiện nào sau đây là điều kiện cần để một hàm số f(x) có cực trị tại x_0?

A. f'(x_0) = 0

B. f''(x_0) > 0

C. f''(x_0) < 0

D. f'(x_0) ≠ 0

8. Tính giới hạn: lim (x→0) sin(x)/x

A. 0

B. 1

C. ∞

D. Không xác định

9. Trong giải tích vector, gradient của một hàm vô hướng f(x, y, z) là một:

A. Hàm vô hướng

B. Vector

C. Ma trận

D. Số thực

10. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y' = y là:

A. y = Ce^x

B. y = C sin(x)

C. y = C cos(x)

D. y = Cx

11. Cho hàm số f(x, y) = xy. Đạo hàm theo hướng của f tại điểm (1, 2) theo hướng vector v = (1, 1) là:

A. 3/√2

B. 3

C. √2

D. 2/√2

12. Định lý Green liên hệ giữa:

A. Tích phân đường và tích phân mặt

B. Tích phân đường và tích phân bội hai

C. Tích phân mặt và tích phân bội ba

D. Tích phân bội hai và tích phân bội ba

13. Phép biến đổi Laplace của hàm số f(t) = 1 là:

A. 1/s

B. s

C. 1/s^2

D. s^2

14. Định lý Cauchy về giá trị trung bình (Mean Value Theorem) áp dụng cho hàm số:

A. Chỉ liên tục trên khoảng đóng

B. Liên tục trên khoảng đóng và khả vi trên khoảng mở

C. Chỉ khả vi trên khoảng mở

D. Bất kỳ hàm số nào

15. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A. f(x) = sin(x)

B. f(x) = x^3

C. f(x) = cos(x)

D. f(x) = e^x

16. Trong không gian vector R^3, tích vô hướng của hai vector u=(1, 2, -1) và v=(3, 0, 4) là bao nhiêu?

A. 11

B. -1

C. 7

D. 5

17. Cho ma trận A = [[2, 1], [1, 2]]. Giá trị riêng lớn nhất của ma trận A là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

18. Số phức z = 1 + i viết dưới dạng lượng giác là:

A. √2(cos(π/4) + i sin(π/4))

B. 2(cos(π/4) + i sin(π/4))

C. √2(cos(π/2) + i sin(π/2))

D. 2(cos(π/2) + i sin(π/2))

19. Trong lý thuyết xác suất, biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên:

A. Nhận giá trị trong một khoảng liên tục

B. Nhận một số hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các giá trị

C. Luôn nhận giá trị nguyên dương

D. Luôn nhận giá trị trong khoảng [0, 1]

20. Tích phân suy rộng ∫[1, ∞) (1/x^2) dx hội tụ hay phân kỳ?

A. Hội tụ

B. Phân kỳ

C. Không xác định

D. Vừa hội tụ vừa phân kỳ

21. Trong không gian R^3, phương trình x^2 + y^2 + z^2 = 9 biểu diễn hình học nào?

A. Mặt phẳng

B. Đường thẳng

C. Mặt cầu

D. Hình trụ

22. Phép biến đổi Fourier liên tục biến một hàm số theo biến thời gian t thành một hàm số theo biến:

A. Không gian x

B. Tần số f

C. Biên độ A

D. Pha φ

23. Tích phân bất định của hàm số f(x) = sin(x) là:

A. cos(x) + C

B. -cos(x) + C

C. sec^2(x) + C

D. -sec^2(x) + C

24. Trong không gian vector, tập hợp nào sau đây KHÔNG phải là không gian con của R^2?

A. {(x, y) | x = 2y}

B. {(x, y) | x + y = 0}

C. {(x, y) | x = 1}

D. {(x, y) | x = 0, y = 0}

25. Trong lý thuyết đồ thị, bậc của một đỉnh là:

A. Số cạnh của đồ thị

B. Số đỉnh của đồ thị

C. Số cạnh liên thuộc với đỉnh đó

D. Tổng trọng số của các cạnh liên thuộc với đỉnh đó

26. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng số?

A. y'' + x*y' + y = 0

B. y'' + 2y' + y = sin(x)

C. y'' + (y')^2 + y = 0

D. y'' + y*y' + y = x

27. Trong không gian R^2, ma trận chuyển đổi tuyến tính nào sau đây biểu diễn phép quay ngược chiều kim đồng hồ một góc 90 độ quanh gốc tọa độ?

A. [[0, 1], [-1, 0]]

B. [[0, -1], [1, 0]]

C. [[1, 0], [0, -1]]

D. [[-1, 0], [0, 1]]

28. Đạo hàm riêng cấp hai của hàm số f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy theo biến x hai lần là:

A. 6x

B. 6y

C. 3x^2 - 3y

D. 3y^2 - 3x

29. Trong thống kê, phân phối chuẩn (Gaussian) được xác định bởi mấy tham số?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

30. Cho hàm số f(x) = |x|. Hàm số này:

A. Khả vi tại mọi điểm

B. Không khả vi tại x = 0

C. Liên tục nhưng không khả vi tại mọi điểm

D. Không liên tục tại x = 0