1. Tích phân đường loại 2 ∫C Pdx + Qdy phụ thuộc vào:
A. Hướng của đường cong C.
B. Điểm đầu và điểm cuối của đường cong C.
C. Tham số hóa của đường cong C.
D. Diện tích bao bởi đường cong C.
2. Trong không gian metric, một dãy điểm được gọi là dãy Cauchy nếu:
A. Khoảng cách giữa các phần tử của dãy tiến đến 0 khi chỉ số tăng.
B. Dãy hội tụ về một điểm trong không gian.
C. Dãy bị chặn.
D. Dãy đơn điệu.
3. Hạng của ma trận là gì?
A. Số chiều của không gian cột (hoặc không gian hàng) của ma trận.
B. Định thức của ma trận.
C. Vết của ma trận.
D. Số hàng của ma trận.
4. Phép biến đổi Laplace được sử dụng chủ yếu để giải loại phương trình nào?
A. Phương trình vi phân tuyến tính.
B. Phương trình đại số.
C. Phương trình lượng giác.
D. Phương trình vi phân phi tuyến.
5. Đạo hàm của hàm số f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 3 là:
A. 3x^2 - 4x + 5
B. x^2 - 4x + 5
C. 3x^2 - 2x + 5
D. 3x^3 - 4x^2 + 5x
6. Tích phân bất định của hàm số f(x) = 2x + 3 là:
A. x^2 + 3x + C
B. 2x^2 + 3x + C
C. x^2 + C
D. 2x + C
7. Ứng dụng của phương trình vi phân trong mô hình hóa dân số thường liên quan đến:
A. Tốc độ tăng trưởng dân số.
B. Hình dạng phân bố dân số.
C. Thành phần dân số theo độ tuổi.
D. Mật độ dân số.
8. Trong lý thuyết xác suất, biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên có:
A. Tập giá trị đếm được.
B. Tập giá trị liên tục.
C. Phân phối xác suất liên tục.
D. Kỳ vọng hữu hạn.
9. Trong không gian vector R^3, tích vô hướng của hai vector u = (u1, u2, u3) và v = (v1, v2, v3) là:
A. u1*v1 + u2*v2 + u3*v3
B. (u1*v1, u2*v2, u3*v3)
C. u1*v1 - u2*v2 - u3*v3
D. u1 + v1 + u2 + v2 + u3 + v3
10. Điều kiện để một hàm số f(x, y) khả vi tại điểm (x0, y0) là:
A. Các đạo hàm riêng fx và fy tồn tại và liên tục tại (x0, y0).
B. Các đạo hàm riêng fx và fy tồn tại tại (x0, y0).
C. Hàm số f(x, y) liên tục tại (x0, y0).
D. Hàm số f(x, y) có đạo hàm theo mọi hướng tại (x0, y0).
11. Định thức của ma trận vuông cấp 2, A = [[a, b], [c, d]], được tính bằng công thức nào?
A. ad - bc
B. ac - bd
C. ab - cd
D. bc - ad
12. Khái niệm không gian vector trừu tượng hóa khái niệm nào?
A. Vector hình học và ma trận.
B. Số thực và số phức.
C. Hàm số và đạo hàm.
D. Tập hợp và ánh xạ.
13. Tích phân xác định ∫[a, b] f(x)dx biểu diễn điều gì về mặt hình học?
A. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y=f(x), trục Ox và hai đường thẳng x=a, x=b.
B. Độ dài đường cong y=f(x) từ x=a đến x=b.
C. Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng quanh trục Ox.
D. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị y=f(x).
14. Cho hàm số hai biến z = f(x, y). Đạo hàm riêng cấp một của z theo x ký hiệu là:
A. ∂z/∂x
B. dz/dx
C. ∂^2z/∂x^2
D. dy/dx
15. Trong tối ưu hóa, phương pháp nhân tử Lagrange được dùng để:
A. Tìm cực trị có điều kiện của hàm số.
B. Tìm cực trị tự do của hàm số.
C. Giải phương trình vi phân.
D. Tính tích phân.
16. Ma trận khả nghịch là ma trận vuông có:
A. Định thức khác 0.
B. Định thức bằng 0.
C. Tất cả các giá trị riêng đều dương.
D. Tất cả các giá trị riêng đều bằng 0.
17. Ma trận đơn vị là ma trận vuông có tính chất nào sau đây?
A. Các phần tử trên đường chéo chính bằng 1, các phần tử còn lại bằng 0.
B. Tất cả các phần tử đều bằng 1.
C. Tất cả các phần tử đều bằng 0.
D. Đường chéo chính bằng 0, các phần tử còn lại bằng 1.
18. Điều kiện đủ để một hàm số f(x) có cực tiểu địa phương tại x0 (khi f`(x0) = 0) là:
A. f``(x0) > 0
B. f``(x0) < 0
C. f``(x0) = 0
D. f```(x0) ≠ 0
19. Phép biến đổi Fourier được sử dụng rộng rãi trong lĩnh vực nào sau đây?
A. Xử lý tín hiệu và phân tích tần số.
B. Hình học giải tích.
C. Lý thuyết số.
D. Tối ưu hóa.
20. Giá trị riêng của ma trận A là gì?
A. Các giá trị λ thỏa mãn det(A - λI) = 0, với I là ma trận đơn vị.
B. Định thức của ma trận A.
C. Vết của ma trận A.
D. Các cột của ma trận A.
21. Không gian con của không gian vector V là:
A. Một tập con của V đóng với phép cộng vector và phép nhân với vô hướng.
B. Bất kỳ tập con nào của V.
C. Một tập con của V chứa vector không.
D. Một tập con của V có số chiều nhỏ hơn V.
22. Điều kiện cần để hàm số f(x) đạt cực đại địa phương tại x0 là:
A. f`(x0) = 0
B. f``(x0) > 0
C. f`(x0) > 0
D. f``(x0) = 0
23. Phương trình vi phân y`` + 4y` + 4y = 0 là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai:
A. Thuần nhất.
B. Không thuần nhất.
C. Tuyến tính bậc nhất.
D. Phi tuyến.
24. Trong giải tích vector, toán tử Nabla (∇) biểu diễn:
A. Toán tử vi phân vector.
B. Toán tử tích phân vector.
C. Toán tử đại số vector.
D. Toán tử hình học vector.
25. Chuỗi số ∑ (1/n^p) hội tụ khi nào?
A. p > 1
B. p < 1
C. p = 1
D. p ≤ 1
26. Đạo hàm của tích hai hàm số (uv)` bằng:
A. u`v + uv`
B. u`v - uv`
C. u`v`
D. u` + v`
27. Gradient của một trường vô hướng f(x, y, z) là một:
A. Vector.
B. Vô hướng.
C. Ma trận.
D. Tập hợp.
28. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn:
A. Có ít nhất một nghiệm (nghiệm tầm thường).
B. Không có nghiệm.
C. Có vô số nghiệm duy nhất.
D. Chỉ có nghiệm duy nhất khác nghiệm tầm thường.
29. Chuỗi Taylor của hàm số e^x tại x=0 là:
A. ∑ (x^n / n!) từ n=0 đến ∞
B. ∑ (x^n) từ n=0 đến ∞
C. ∑ ((-1)^n * x^n / n!) từ n=0 đến ∞
D. ∑ (n! * x^n) từ n=0 đến ∞
30. Cho hàm số f(x) = |x|. Hàm số này:
A. Liên tục nhưng không khả vi tại x = 0.
B. Khả vi tại mọi điểm.
C. Không liên tục tại x = 0.
D. Liên tục và khả vi tại x = 0.
