1. Nếu hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc với nhau, tích vô hướng của chúng bằng bao nhiêu?
A. 0
B. 1
C. $|\vec{a}| |\vec{b}|$
D. $|\vec{a}|$
2. Cho $\vec{a}$ là một vectơ khác không. Phát biểu nào sau đây là ĐÚNG?
A. $\vec{a} \cdot \vec{a} > 0$
B. $\vec{a} \cdot \vec{a} = 0$
C. $\vec{a} \cdot \vec{a} < 0$
D. $\vec{a} \cdot \vec{a}$ có thể dương hoặc âm
3. Cho $\vec{a} = (1, 2)$ và $\vec{b} = (3, -1)$. Tính tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b}$.
4. Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bằng 0?
A. Khi $\vec{a}$ hoặc $\vec{b}$ bằng vectơ không, hoặc khi $\vec{a}$ vuông góc với $\vec{b}$
B. Khi $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương
C. Khi $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng
D. Khi độ dài của $\vec{a}$ bằng độ dài của $\vec{b}$
5. Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$.
A. 0
B. $a^2$
C. -$a^2$
D. $a^2\sqrt{2}$
6. Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Phát biểu nào sau đây về tích vô hướng là ĐÚNG?
A. $\vec{GA} \cdot \vec{GB} + \vec{GB} \cdot \vec{GC} + \vec{GC} \cdot \vec{GA} = \vec{0}$
B. $\vec{GA} \cdot \vec{GB} = \vec{GB} \cdot \vec{GC} = \vec{GC} \cdot \vec{GA}$
C. $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$
D. $\vec{GA} \cdot \vec{GB} \cdot \vec{GC} = 0$
7. Trong mặt phẳng Oxy, cho $A=(1, 2)$, $B=(3, -1)$. Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ (với $O$ là gốc tọa độ) là bao nhiêu?
8. Cho $\vec{a} = (2, -3)$. Tính bình phương vô hướng của $\vec{a}$, ký hiệu là $\vec{a}^2$.
9. Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$. Phát biểu nào sau đây KHÔNG đúng về tích vô hướng?
A. $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ (Tính giao hoán)
B. $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$ (Tính phân phối)
C. $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$
D. Nếu $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ thì $\vec{a} = \vec{0}$ hoặc $\vec{b} = \vec{0}$
10. Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ có độ dài lần lượt là 3 và 5, và góc giữa chúng là $60^{\circ}$. Tính tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b}$.
A. 7.5
B. 15
C. 15$\sqrt{3}$
D. 10
11. Cho $\vec{a} = (1, -2, 3)$ và $\vec{b} = (0, 1, -1)$. Tính tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b}$ trong không gian 3 chiều.
12. Tính độ dài của vectơ $\vec{a} = (3, 4)$ dựa trên bình phương vô hướng.
13. Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác vectơ không. Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được định nghĩa như thế nào khi biết độ dài của chúng và góc giữa chúng?
A. $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta)$
B. $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| + |\vec{b}| \cos(\theta)$
C. $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)$
D. $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cos(\theta)$
14. Cho $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là hai vectơ. Biểu thức nào sau đây luôn có nghĩa và xác định?
A. $\frac{\vec{a}}{\vec{b}}$
B. $\vec{a} \times \vec{b}$ (Tích có hướng)
C. $\vec{a} \cdot \vec{b}$ (Tích vô hướng)
D. $\sqrt{\vec{a} \cdot \vec{b}}$
15. Cho vectơ $\vec{a} = (a_1, a_2)$ và $\vec{b} = (b_1, b_2)$. Biểu thức nào sau đây tính đúng tích vô hướng của $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trong hệ tọa độ Descartes?
A. $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$
B. $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_2 + a_2 b_1$
C. $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 - a_2 b_2$
D. $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 + a_2 + b_1 + b_2$
