1. Giới hạn của hàm số f(x, y) = (x^2 - y^2) / (x^2 + y^2) khi (x, y) → (0, 0) là:
A. Không tồn tại
B. 0
C. 1
D. -1
2. Trong lý thuyết phạm trù (Category Theory), một functor là một ánh xạ giữa:
A. Các phạm trù
B. Các đối tượng trong một phạm trù
C. Các cấu xạ trong một phạm trù
D. Các nhóm
3. Phép biến đổi Fourier của hàm số f(t) = e^(-|t|) là:
A. 2 / (1 + ω^2)
B. 1 / (1 + ω^2)
C. 2 / (1 - ω^2)
D. 1 / (1 - ω^2)
4. Phép biến đổi Laplace của hàm số f(t) = 1 là:
A. 1/s
B. 1
C. s
D. Không xác định
5. Trong tối ưu hóa, phương pháp nhân tử Lagrange được sử dụng để:
A. Tìm cực trị có điều kiện của hàm số
B. Tìm cực trị tự do của hàm số
C. Giải phương trình tuyến tính
D. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến
6. Trong lý thuyết số, định lý Fermat lớn (Fermat`s Last Theorem) phát biểu rằng phương trình a^n + b^n = c^n:
A. Không có nghiệm nguyên dương a, b, c khi n > 2
B. Có vô số nghiệm nguyên dương a, b, c với mọi n ≥ 2
C. Chỉ có nghiệm tầm thường (0, 0, 0) khi n > 2
D. Có nghiệm nguyên dương khi và chỉ khi n là số nguyên tố
7. Trong giải tích hàm, không gian Banach là:
A. Không gian vectơ định chuẩn đầy đủ
B. Không gian vectơ định chuẩn hữu hạn chiều
C. Không gian vectơ tôpô
D. Không gian metric đầy đủ
8. Trong giải tích số, phương pháp Newton-Raphson là một phương pháp:
A. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến
B. Giải hệ phương trình tuyến tính
C. Tính tích phân xác định
D. Tối ưu hóa hàm số
9. Trong hình học vi phân, độ cong Gaussian của mặt cầu có bán kính R là:
A. 1/R^2
B. 1/R
C. R^2
D. R
10. Điều kiện cần và đủ để một trường vectơ F là trường bảo toàn (conservative) trên miền liên thông D là:
A. curl F = 0
B. div F = 0
C. grad F = 0
D. F = 0
11. Giá trị riêng của ma trận đơn vị I kích thước n x n là:
A. 1 (với bội số đại số n)
B. 0 (với bội số đại số n)
C. n
D. Phụ thuộc vào n
12. Phương trình vi phân y`` + 4y = 0 có nghiệm tổng quát dạng:
A. y(x) = C1*cos(2x) + C2*sin(2x)
B. y(x) = C1*e^(2x) + C2*e^(-2x)
C. y(x) = C1*x + C2
D. y(x) = C*e^(2x)
13. Trong topo đại số, nhóm cơ bản (fundamental group) của một không gian topo X mô tả:
A. Các lớp đồng luân của đường cong kín trong X
B. Số chiều của X
C. Tính liên thông đường của X
D. Tính compact của X
14. Tích phân bất định của hàm số f(x) = cos(2x) là:
A. (1/2)sin(2x) + C
B. sin(2x) + C
C. -sin(2x) + C
D. - (1/2)sin(2x) + C
15. Trong lý thuyết nhóm, nhóm Abel là nhóm:
A. Giao hoán
B. Không giao hoán
C. Cyclic
D. Hữu hạn
16. Tính chất nào sau đây không phải là tính chất của định thức ma trận?
A. det(A + B) = det(A) + det(B)
B. det(AB) = det(A)det(B)
C. det(A^T) = det(A)
D. det(cA) = c^n det(A) với A là ma trận n x n
17. Trong lý thuyết đồ thị, định lý Cayley phát biểu rằng số cây khung của đồ thị đầy đủ Kn là:
A. n^(n-2)
B. n!
C. 2^n
D. n^(n-1)
18. Định lý Stokes liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân mặt
B. Tích phân mặt và tích phân khối
C. Tích phân đường và tích phân khối
D. Đạo hàm và tích phân
19. Trong không gian vectơ R^3, tích có hướng của hai vectơ a = (1, 0, 0) và b = (0, 1, 0) là:
A. (0, 0, 1)
B. (0, 0, -1)
C. (1, 1, 0)
D. Không xác định
20. Chuỗi số ∑ (1/n^p) hội tụ khi và chỉ khi:
A. p > 1
B. p ≥ 1
C. p < 1
D. p ≤ 1
21. Chuỗi Taylor của hàm số e^x tại x = 0 là:
A. ∑ (x^n / n!) từ n = 0 đến ∞
B. ∑ ((-1)^n * x^n / n!) từ n = 0 đến ∞
C. ∑ (x^n / n) từ n = 1 đến ∞
D. ∑ (x^n) từ n = 0 đến ∞
22. Đạo hàm của hàm số f(x) = ln(x^2 + 1) là:
A. 2x / (x^2 + 1)
B. 1 / (x^2 + 1)
C. 2x * ln(x^2 + 1)
D. 1 / (2x)
23. Trong không gian R^2, vectơ pháp tuyến của đường thẳng 2x - 3y = 5 là:
A. (2, -3)
B. (3, 2)
C. (-3, 2)
D. (2, 3)
24. Phương trình Laplace là một ví dụ về phương trình vi phân:
A. Đạo hàm riêng elliptic
B. Đạo hàm riêng parabolic
C. Đạo hàm riêng hyperbolic
D. Đạo hàm thường tuyến tính
25. Ma trận vuông A được gọi là khả nghịch nếu:
A. det(A) ≠ 0
B. det(A) = 0
C. A là ma trận đường chéo
D. A là ma trận đơn vị
26. Trong không gian metric, một tập hợp được gọi là compact nếu:
A. Mọi dãy trong tập hợp có dãy con hội tụ về một điểm trong tập hợp
B. Tập hợp đó bị chặn và đóng
C. Tập hợp đó mở và hữu hạn
D. Tập hợp đó liên thông
27. Hàm số f(x) = |x| có đạo hàm tại x = 0 không?
A. Không
B. Có, và bằng 0
C. Có, và bằng 1
D. Có, và bằng -1
28. Số chiều của không gian vectơ các đa thức bậc không vượt quá n là:
A. n + 1
B. n
C. n - 1
D. ∞
29. Trong lý thuyết xác suất, định lý giới hạn trung tâm (Central Limit Theorem) phát biểu rằng:
A. Tổng của một số lớn các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối (với điều kiện nhất định) sẽ xấp xỉ phân phối chuẩn
B. Trung bình mẫu luôn bằng kỳ vọng của quần thể
C. Phương sai mẫu luôn bằng phương sai của quần thể
D. Các biến ngẫu nhiên luôn tuân theo phân phối chuẩn
30. Trong giải tích phức, điểm kỳ dị cô lập của hàm số phức f(z) được gọi là điểm cực (pole) nếu:
A. Phần Laurent của f(z) tại điểm đó có hữu hạn số hạng khác không với số mũ âm
B. Phần Laurent của f(z) tại điểm đó có vô hạn số hạng khác không với số mũ âm
C. f(z) bị chặn trong lân cận của điểm đó
D. f(z) liên tục tại điểm đó
