1. Tích phân đường loại 1 trên đường cong C tham số hóa bởi r(t) = (cos(t), sin(t)), 0 ≤ t ≤ π, của hàm f(x, y) = x^2 + y^2 là:
2. Trong không gian vector R^2, phép biến đổi tuyến tính nào sau đây là phép quay một góc 90 độ ngược chiều kim đồng hồ?
A. [[0, -1], [1, 0]]
B. [[0, 1], [-1, 0]]
C. [[1, 0], [0, 1]]
D. [[-1, 0], [0, -1]]
3. Trong không gian R^3, mặt phẳng nào sau đây song song với mặt phẳng x + 2y - z = 5?
A. 2x + 4y - 2z = 10
B. x - 2y + z = 5
C. x + 2y + z = 5
D. -x - 2y - z = 5
4. Cho hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1. Tính đạo hàm bậc hai của hàm số tại x = 2.
5. Đạo hàm riêng của hàm số f(x, y) = x^2y + xy^3 theo biến x là:
A. 2xy + y^3
B. x^2 + 3xy^2
C. 2x + 3y^2
D. 2xy + 3xy^2
6. Phép biến đổi Fourier của hàm số f(t) là gì?
A. F(ω) = ∫_(-∞)^∞ f(t)e^(-jωt) dt
B. F(ω) = ∫_0^∞ f(t)e^(-st) dt
C. F(ω) = ∑_(n=-∞)^∞ c_n e^(jnωt)
D. F(ω) = ∫_(-∞)^∞ f(t)e^(jωt) dt
7. Cho hàm số f(x) = |x|. Hàm số này:
A. Liên tục và khả vi trên R
B. Liên tục trên R nhưng không khả vi tại x = 0
C. Không liên tục tại x = 0
D. Không xác định tại x = 0
8. Trong giải tích vector, gradient của một trường vô hướng f(x, y, z) là một:
A. Vector
B. Vô hướng
C. Ma trận
D. Tập hợp
9. Cho hàm số f(x, y) = xy. Tính vi phân toàn phần df.
A. df = ydx + xdy
B. df = xdx + ydy
C. df = xydx + xydy
D. df = x^2ydx + xy^2dy
10. Phép biến đổi Laplace của hàm số f(t) = e^(at) là:
A. 1/(s - a)
B. 1/(s + a)
C. a/(s - a)
D. a/(s + a)
11. Tính tích phân kép ∫∫_D (x + y) dA, với D là miền tam giác giới hạn bởi các đường x = 0, y = 0, và x + y = 1.
A. 1/3
B. 1/2
C. 2/3
D. 1
12. Trong không gian vector R^3, cho hai vector u = (1, 2, -1) và v = (0, 1, 3). Tính tích có hướng của u và v (u x v).
A. (7, -3, 1)
B. (-7, 3, -1)
C. (5, -3, 1)
D. (-5, 3, -1)
13. Chuỗi số nào sau đây hội tụ?
A. Tổng từ n=1 đến vô cực của 1/n
B. Tổng từ n=1 đến vô cực của 1/n^2
C. Tổng từ n=1 đến vô cực của n
D. Tổng từ n=1 đến vô cực của 2^n
14. Giải phương trình vi phân y`` - 3y` + 2y = 0.
A. y(x) = C1e^x + C2e^(2x)
B. y(x) = C1e^(-x) + C2e^(-2x)
C. y(x) = C1cos(x) + C2sin(x)
D. y(x) = e^x(C1cos(x) + C2sin(x))
15. Điều kiện để chuỗi lũy thừa ∑_(n=0)^∞ a_n(x-c)^n hội tụ là gì?
A. |x - c| < R, với R là bán kính hội tụ
B. |x - c| > R, với R là bán kính hội tụ
C. x = c
D. Với mọi x thuộc R
16. Đường cong mức của hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 là:
A. Các đường tròn
B. Các đường thẳng
C. Các đường parabol
D. Các đường hypebol
17. Điều kiện cần và đủ để một hàm số f(x, y) khả vi tại điểm (x0, y0) là gì?
A. Các đạo hàm riêng fx(x0, y0) và fy(x0, y0) tồn tại
B. Các đạo hàm riêng fx(x, y) và fy(x, y) liên tục tại (x0, y0)
C. f(x, y) liên tục tại (x0, y0)
D. f(x, y) bị chặn tại (x0, y0)
18. Tính định thức của ma trận A = [[2, 1], [4, 3]].
19. Giá trị riêng của ma trận A là gì?
A. Các giá trị λ thỏa mãn det(A - λI) = 0
B. Các cột của ma trận A
C. Các hàng của ma trận A
D. Định thức của ma trận A
20. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp nhất?
A. y` + xy = x^2
B. y`` + y` + y = 0
C. (y`)^2 + y = x
D. y`y = x
21. Trong không gian R^3, phương trình x^2 + y^2 - z^2 = 1 biểu diễn hình gì?
A. Hypeboloid một tầng
B. Hypeboloid hai tầng
C. Elipsoid
D. Paraboloid
22. Ma trận nào sau đây là ma trận đường chéo?
A. [[1, 0, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 3]]
B. [[1, 1, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 3]]
C. [[1, 0, 1], [0, 2, 0], [0, 0, 3]]
D. [[1, 0, 0], [1, 2, 0], [0, 0, 3]]
23. Tính tích phân suy rộng ∫_1^∞ (1/x^3) dx.
A. 1/2
B. 1
C. 2
D. Phân kỳ
24. Thể tích của hình hộp chữ nhật có các cạnh là a, b, c được tính bằng công thức nào?
A. V = abc
B. V = 2(ab + bc + ca)
C. V = (1/3)abc
D. V = πabc
25. Cho hàm số f(x, y) = e^(xy). Tính đạo hàm riêng hỗn hợp ∂^2f/∂x∂y.
A. e^(xy) + xye^(xy)
B. e^(xy) + ye^(xy)
C. xye^(xy)
D. e^(xy)
26. Tích phân bất định của hàm số cos(2x) là:
A. sin(2x) + C
B. (1/2)sin(2x) + C
C. -sin(2x) + C
D. -(1/2)sin(2x) + C
27. Trong lý thuyết xác suất, biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên:
A. Có thể nhận một số hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các giá trị
B. Có thể nhận bất kỳ giá trị nào trong một khoảng
C. Luôn nhận giá trị nguyên
D. Luôn nhận giá trị dương
28. Công thức nào sau đây là công thức khai triển Taylor của hàm số f(x) tại điểm x = a?
A. f(x) = f(a) + f`(a)(x-a) + f``(a)(x-a)^2/2! + ...
B. f(x) = f(0) + f`(0)x + f``(0)x^2/2! + ...
C. f(x) = f(a) + f`(a)x + f``(a)x^2/2! + ...
D. f(x) = f(x) + f`(x)(x-a) + f``(x)(x-a)^2/2! + ...
29. Tìm giới hạn của dãy số (n^2 + 1) / (2n^2 - n + 3) khi n tiến tới vô cực.
A. 1/2
B. 1
C. 2
D. Vô cực
30. Tìm cực trị địa phương của hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5.
A. Hàm số đạt cực tiểu địa phương tại (1, 2)
B. Hàm số đạt cực đại địa phương tại (1, 2)
C. Hàm số không có cực trị địa phương
D. Hàm số đạt cực tiểu địa phương tại (-1, -2)
