1. Giá trị riêng của ma trận A = [[2, 0], [0, 3]] là:
A. 2 và 3
B. 0 và 2
C. 0 và 3
D. 2 và 0
2. Trong tối ưu hóa, phương pháp gradient descent (hạ gradient) là một thuật toán lặp để:
A. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
B. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
C. Tính đạo hàm của hàm số
D. Giải phương trình tuyến tính
3. Tích phân bội ba được sử dụng để tính:
A. Diện tích hình phẳng
B. Thể tích vật thể trong không gian 3 chiều
C. Độ dài đường cong
D. Diện tích bề mặt
4. Đạo hàm riêng cấp hai của hàm số f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy theo biến x hai lần là:
A. 6x
B. 6y
C. 3x^2
D. 3y^2
5. Trong hình học vi phân, curvature (độ cong) của đường cong tại một điểm đo lường:
A. Độ dài của đường cong
B. Tốc độ thay đổi hướng của tiếp tuyến tại điểm đó
C. Diện tích giới hạn bởi đường cong
D. Thể tích được tạo ra khi quay đường cong
6. Trong giải tích phức, tích phân đường cong phức được sử dụng để tính:
A. Diện tích hình phẳng
B. Thể tích vật thể
C. Tích phân của hàm phức trên đường cong trong mặt phẳng phức
D. Độ dài đường cong
7. Chuỗi số nào sau đây là chuỗi hội tụ?
A. ∑ (1/n) từ n=1 đến ∞
B. ∑ (n/ (n+1)) từ n=1 đến ∞
C. ∑ (1/n^2) từ n=1 đến ∞
D. ∑ (2^n) từ n=1 đến ∞
8. Trong không gian vectơ, tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính tối đa trong một không gian vectơ V được gọi là:
A. Không gian con
B. Hệ sinh
C. Cơ sở
D. Không gian nghiệm
9. Công thức nào sau đây là công thức khai triển Taylor của hàm số f(x) tại x = a?
A. f(a) + f`(a)(x-a) + f``(a)(x-a)^2/2! + ...
B. f(0) + f`(0)x + f``(0)x^2/2! + ...
C. f(x) + f`(x)(a-x) + f``(x)(a-x)^2/2! + ...
D. f(a) + f`(x)(x-a) + f``(x)(x-a)^2/2! + ...
10. Ma trận nào sau đây là ma trận đường chéo?
A. [[1, 0, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 3]]
B. [[1, 1, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 3]]
C. [[1, 0, 1], [0, 2, 0], [0, 0, 3]]
D. [[1, 0, 0], [1, 2, 0], [0, 0, 3]]
11. Tích phân bất định của hàm số f(x) = 2x + 1 là:
A. x^2 + x + C
B. x^2 + C
C. 2x^2 + x + C
D. 2x^2 + C
12. Trong đại số tuyến tính, hạng của ma trận (rank) thể hiện điều gì?
A. Số chiều của không gian cột (hoặc hàng)
B. Định thức của ma trận
C. Số lượng phần tử khác không trong ma trận
D. Tổng các giá trị riêng của ma trận
13. Đạo hàm của hàm số hợp f(g(x)) theo quy tắc dây chuyền là:
A. f`(g(x))
B. g`(f(x))
C. f`(g(x)) * g`(x)
D. f`(x) * g`(x)
14. Phép biến đổi Fourier được sử dụng để phân tích tín hiệu thành:
A. Tổng của các hàm đa thức
B. Tổng của các hàm sin và cosin (hoặc hàm số mũ phức)
C. Tổng của các hàm hyperbolic
D. Tổng của các hàm logarit
15. Phép biến đổi Laplace được sử dụng chủ yếu trong lĩnh vực nào?
A. Hình học
B. Giải tích số
C. Phương trình vi phân và lý thuyết hệ thống
D. Thống kê
16. Trong lý thuyết nhóm, một nhóm Abel là nhóm có tính chất nào?
A. Có phần tử đơn vị
B. Phép toán giao hoán
C. Có phần tử nghịch đảo
D. Phép toán kết hợp
17. Trong không gian vectơ R^3, tích vô hướng của hai vectơ u = (1, 2, 3) và v = (-1, 0, 1) là bao nhiêu?
18. Nếu f(x) khả vi tại x = a, thì f(x) có liên tục tại x = a không?
A. Có
B. Không
C. Chỉ khi f`(a) = 0
D. Chỉ khi f`(a) ≠ 0
19. Trong không gian R^3, tích có hướng của hai vectơ u và v là một vectơ như thế nào so với u và v?
A. Song song với cả u và v
B. Vuông góc với cả u và v
C. Nằm trong mặt phẳng chứa u và v
D. Có độ dài bằng tổng độ dài của u và v
20. Điều kiện cần và đủ để một hàm số f(x) đạt cực đại địa phương tại x = c là gì (giả sử f(x) có đạo hàm cấp hai)?
A. f`(c) = 0 và f``(c) > 0
B. f`(c) = 0 và f``(c) < 0
C. f`(c) > 0 và f``(c) = 0
D. f`(c) < 0 và f``(c) = 0
21. Hàm số nào sau đây liên tục trên R?
A. f(x) = 1/x
B. f(x) = tan(x)
C. f(x) = x^2 + 1
D. f(x) = 1/sin(x)
22. Định thức của ma trận đơn vị cấp 3 là:
23. Trong không gian metric, một dãy Cauchy là dãy số mà:
A. Hội tụ về 0
B. Các phần tử của dãy ngày càng gần nhau
C. Luôn hội tụ
D. Phân kỳ
24. Phương pháp Newton-Raphson là một phương pháp численное (numerical) để:
A. Tính tích phân xác định
B. Giải phương trình vi phân
C. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0
D. Tính đạo hàm
25. Trong giải tích vectơ, toán tử nabla (∇) được sử dụng để biểu diễn:
A. Tích phân đường
B. Đạo hàm riêng
C. Gradient, Divergence và Curl
D. Tích phân mặt
26. Trong không gian R^2, phương trình x^2 + y^2 = 4 biểu diễn hình gì?
A. Đường thẳng
B. Parabol
C. Elip
D. Đường tròn
27. Tính giới hạn của dãy số a_n = (n + 1) / n khi n tiến tới vô cùng.
A. 0
B. 1
C. Vô cùng
D. 2
28. Trong lý thuyết xác suất, biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên có:
A. Tập giá trị liên tục
B. Tập giá trị đếm được
C. Phân phối xác suất liên tục
D. Kỳ vọng bằng 0
29. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp nhất?
A. y` + sin(y) = x
B. y` + xy = x^2
C. (y`)^2 + y = x
D. y`` + y` + y = 0
30. Cho hàm số f(x) = |x|. Hàm số này có đạo hàm tại x = 0 không?
A. Có
B. Không
C. Chỉ có đạo hàm bên phải
D. Chỉ có đạo hàm bên trái
