1. Nghiệm riêng của phương trình vi phân y′ - 2y = e²ˣ có dạng:
A. yₚ = Axe²ˣ
B. yₚ = Ae²ˣ
C. yₚ = Ax
D. yₚ = A
2. Đạo hàm riêng cấp nhất của hàm số f(x, y) = x³ʸ^2 + sin(x) - eʸ theo biến x là:
A. 3x²ʸ^2 + cos(x)
B. 3x²ʸ^2 + cos(x) - eʸ
C. 3x²ʸ^2 + cos(x) - xeʸ
D. 3x²ʸ + cos(x)
3. Cho hàm số f(x) và g(x) khả tích trên [a, b]. Tính chất nào sau đây là đúng?
A. ∫_aᵇ [f(x) + g(x)] dx = ∫_aᵇ f(x) dx + ∫_aᵇ g(x) dx
B. ∫_aᵇ [f(x) × g(x)] dx = ∫_aᵇ f(x) dx × ∫_aᵇ g(x) dx
C. ∫_aᵇ [f(x) ∕ g(x)] dx = (∫_aᵇ f(x) dx) ∕ (∫_aᵇ g(x) dx)
D. ∫_aᵇ [c × f(x)] dx = f(x) × ∫_aᵇ c dx
4. Điều kiện cần và đủ để hàm số f(x, y) đạt cực đại địa phương tại điểm (x0, y0) là:
A. fₓ(x0, y0) = 0, fy(x0, y0) = 0 và định thức Hesse D(x0, y0) > 0, fₓₓ(x0, y0) < 0
B. fₓ(x0, y0) = 0, fy(x0, y0) = 0 và định thức Hesse D(x0, y0) > 0, fₓₓ(x0, y0) > 0
C. fₓ(x0, y0) = 0, fy(x0, y0) = 0 và định thức Hesse D(x0, y0) < 0
D. fₓ(x0, y0) = 0, fy(x0, y0) = 0 và định thức Hesse D(x0, y0) = 0
5. Hạng của ma trận A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [3, 6, 9]] là:
6. Cho hàm số f(x, y) = x² + y². Gradient của f tại điểm (1, 2) là:
A. (2, 4)
B. (1, 2)
C. (4, 2)
D. (2, 1)
7. Phép biến đổi Laplace của hàm số f(t) = 1 là:
A. 1∕s
B. s
C. 1∕s²
D. s²
8. Giá trị riêng của ma trận A = [[2, 0], [0, 3]] là:
A. 2 và 3
B. 0 và 2
C. 0 và 3
D. 2 và -3
9. Trong không gian vectơ R³, tích có hướng của hai vectơ a = (a1, a2, a3) và b = (b1, b2, b3) là một vectơ:
A. Vuông góc với cả a và b
B. Cùng phương với a
C. Cùng phương với b
D. Nằm trong mặt phẳng chứa a và b
10. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y′` - 4y′ + 4y = 0 là:
A. y = C1e²ˣ + C2xe²ˣ
B. y = C1e²ˣ + C2e⁻²ˣ
C. y = C1cos(2x) + C2sin(2x)
D. y = C1eˣ + C2e⁴ˣ
11. Điều kiện nào sau đây là điều kiện hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑_(n=0)^∞ cₙ (x - a)ⁿ?
A. Tồn tại R > 0 sao cho chuỗi hội tụ khi |x - a| < R và phân kỳ khi |x - a| > R
B. Chuỗi luôn hội tụ với mọi x
C. Chuỗi luôn phân kỳ với mọi x ≠ a
D. Chuỗi chỉ hội tụ tại x = a
12. Tích phân đường cong kín ∫_C Pdx + Qdy bằng 0 nếu:
A. Trường vectơ F = (P, Q) là trường bảo toàn và C là đường cong kín đơn giản
B. ∂P∕∂x = ∂Q∕∂y
C. P = -Q
D. C không phải là đường cong kín
13. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một?
A. y′ + xy = x²
B. y′` + y² = x
C. (y′)² + y = sin(x)
D. yy′ + x = 0
14. Cho ma trận A = [[1, 2], [3, 4]]. Định thức của ma trận A là:
15. Thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt z = x² + y² và mặt phẳng z = 4 trong hệ tọa độ trụ là:
A. 8π
B. 16π
C. 4π
D. 32π
16. Tích phân kép ∫∫_D (x + y) dA, với D là miền giới hạn bởi y = x² và y = x, bằng:
A. 5∕12
B. 7∕12
C. 1∕2
D. 3∕4
17. Chuỗi số ∑(1∕nᵖ) hội tụ khi và chỉ khi:
A. p > 1
B. p ≥ 1
C. p < 1
D. p ≤ 1
18. Điều kiện để một trường vectơ F = (P(x, y), Q(x, y)) là trường bảo toàn trên miền D là:
A. ∂P∕∂y = ∂Q∕∂x
B. ∂P∕∂x = ∂Q∕∂y
C. P = Q
D. P + Q = 0
19. Hàm số f(x, y) = xy có điểm dừng tại:
A. (0, 0)
B. (1, 1)
C. (1, 0)
D. (0, 1)
20. Công thức nào sau đây là công thức khai triển Taylor của hàm số f(x) tại điểm x = a?
A. f(x) = ∑_(n=0)^∞ (fⁿ(a) ∕ n!) × (x - a)ⁿ
B. f(x) = ∑_(n=0)^∞ (fⁿ(x) ∕ n!) × (x - a)ⁿ
C. f(x) = ∑_(n=0)^∞ (fⁿ(a) ∕ n!) × xⁿ
D. f(x) = ∑_(n=1)^∞ (fⁿ(a) ∕ n!) × (x - a)ⁿ
21. Hệ phương trình tuyến tính AX = B có nghiệm duy nhất khi:
A. det(A) ≠ 0
B. det(A) = 0
C. rank(A) < rank([A|B])
D. rank(A) ≠ rank([A|B])
22. Điều kiện nào sau đây là điều kiện Cauchy-Riemann cho hàm phức f(z) = u(x, y) + iv(x, y) khả vi tại z0 = x0 + iy0?
A. ∂u∕∂x = ∂v∕∂y và ∂u∕∂y = -∂v∕∂x
B. ∂u∕∂x = ∂v∕∂x và ∂u∕∂y = ∂v∕∂y
C. ∂u∕∂x = -∂v∕∂y và ∂u∕∂y = ∂v∕∂x
D. ∂u∕∂y = ∂v∕∂x và ∂u∕∂x = -∂v∕∂y
23. Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange được sử dụng để tìm:
A. Nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất
B. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
C. Giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận
D. Cực trị của hàm nhiều biến có điều kiện
24. Chuỗi số ∑_n=1^∞ (-1)ⁿ⁺¹ ∕ n là chuỗi:
A. Hội tụ có điều kiện
B. Hội tụ tuyệt đối
C. Phân kỳ
D. Dao động
25. Phương trình nào sau đây biểu diễn phương trình Laplace?
A. ∂^2u∕∂x² + ∂^2u∕∂y² = 0
B. ∂u∕∂t = c² (∂^2u∕∂x²)
C. ∂^2u∕∂t² = c² (∂^2u∕∂x²)
D. ∂u∕∂t + u(∂u∕∂x) = 0
26. Tích phân bất định ∫(2x - 1)eˣ^² ⁻ ˣ dx bằng:
A. eˣ^² ⁻ ˣ + C
B. (x² - x)eˣ^² ⁻ ˣ + C
C. 2eˣ^² ⁻ ˣ + C
D. (eˣ^² ⁻ ˣ)² + C
27. Tích phân ∫_0⁺∞ e⁻ˣ dx là:
28. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 2x - y + 3z = 5 là:
A. (2, -1, 3)
B. (2, 1, 3)
C. (1, -1, 3)
D. (2, -1, 5)
29. Tích phân đường loại 1 ∫_C f(x, y) ds, với C là đoạn thẳng từ (0, 0) đến (1, 1) và f(x, y) = x + y, bằng:
30. Cho hàm số z = f(x, y), vi phân toàn phần dz được tính theo công thức:
A. dz = (∂z∕∂x)dx + (∂z∕∂y)dy
B. dz = (∂z∕∂x)dx - (∂z∕∂y)dy
C. dz = (∂z∕∂y)dx + (∂z∕∂x)dy
D. dz = (∂^2z∕∂x²)dx + (∂^2z∕∂y²)dy
