Đề thi, bài tập trắc nghiệm online Toán cao cấp 2 – Đề 7

Tích phân mặt loại 1 ∫∫_S dS (khi f(x, y, z) = 1) tính diện tích bề mặt S. Khi f(x, y, z) biểu diễn mật độ khối lượng tại điểm (x, y, z) trên bề mặt S, tích phân ∫∫_S f(x, y, z) dS được sử dụng để tính khối lượng của bề mặt và từ đó có thể tính trọng tâm.

Yếu tố thể tích dV trong tọa độ cầu là dV = ρ^2 sin(φ) dρ dφ dθ, với ρ là khoảng cách từ gốc tọa độ, φ là góc giữa vector vị trí và trục z dương, và θ là góc trong mặt phẳng xy so với trục x dương.

Hướng tăng nhanh nhất của hàm số tại một điểm là hướng của gradient tại điểm đó. Gradient ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) = (2x, 4y). Tại điểm (1, 1), gradient là ∇f(1, 1) = (2*1, 4*1) = (2, 4).

Ma trận Hessian chứa các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số. Định thức và các định thức con chính của ma trận Hessian được sử dụng trong tiêu chuẩn đạo hàm riêng cấp hai để xác định điểm cực đại, cực tiểu hoặc điểm yên ngựa của hàm số nhiều biến.

Trong tọa độ cực, yếu tố diện tích dA = r dr dθ. Khi tính diện tích hình phẳng D trong tọa độ cực, công thức chính xác là A = ∫∫_D (1/2)r^2 dθ (đối với diện tích quạt) hoặc khi tích phân bội hai A = ∫∫_D r dr dθ. Tuy nhiên, dạng phổ biến và chính xác hơn khi biểu diễn diện tích trong tọa độ cực, đặc biệt khi liên quan đến đường cong r = f(θ), là A = ∫(1/2)r^2 dθ.

Từ điều kiện ràng buộc y = 10 - x. Thay vào f(x, y) ta được g(x) = x(10 - x) = 10x - x^2. Tìm cực đại của g(x): g'(x) = 10 - 2x = 0 => x = 5. Khi x = 5, y = 10 - 5 = 5. Giá trị lớn nhất là f(5, 5) = 5 * 5 = 25.

Chuỗi Taylor của hàm số f(x) tại x = a là ∑_(n=0)^∞ f^(n)(a) * (x - a)^n / n!. Với f(x) = e^x và a = 0, ta có f^(n)(0) = e^0 = 1 với mọi n. Vậy chuỗi Taylor của e^x tại x = 0 là ∑_(n=0)^∞ 1 * x^n / n! = ∑_(n=0)^∞ x^n / n!.

Định lý Green phát biểu rằng tích phân đường của một trường vector dọc theo một đường cong kín C (theo chiều dương) bằng tích phân bội hai của một biểu thức liên quan đến các đạo hàm riêng của trường vector trên miền D được giới hạn bởi C. Về cơ bản, nó chuyển đổi tích phân đường thành tích phân bội hai.

Gradient của hàm số f(x, y) là ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y). Tính đạo hàm riêng: ∂f/∂x = 2xe^(x^2 + y^2), ∂f/∂y = 2ye^(x^2 + y^2). Tại điểm (1, 0), ∂f/∂x = 2*1*e^(1^2 + 0^2) = 2e, ∂f/∂y = 2*0*e^(1^2 + 0^2) = 0. Vậy gradient là (2e, 0).

Divergence của trường vector F = (P, Q, R) là div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z. Trong trường hợp này, P = 2x, Q = 3y, R = 4z. Vậy div F = ∂(2x)/∂x + ∂(3y)/∂y + ∂(4z)/∂z = 2 + 3 + 4 = 9.

Điều kiện cần (nhưng không đủ) để chuỗi số ∑_(n=1)^∞ a_n hội tụ là giới hạn của số hạng tổng quát a_n khi n tiến đến vô cùng phải bằng 0 (lim_(n→∞) a_n = 0). Nếu giới hạn này khác 0, chuỗi chắc chắn phân kỳ. Tuy nhiên, lim_(n→∞) a_n = 0 không đảm bảo chuỗi hội tụ (ví dụ chuỗi điều hòa ∑ 1/n).

Tích phân đường cong kín ∫_C P dx + Q dy độc lập đường đi (tức chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối, trong trường hợp đường cong kín thì điểm đầu và cuối trùng nhau, nên tích phân bằng 0 nếu trường vector bảo toàn) khi và chỉ khi ∂P/∂y = ∂Q/∂x trong miền đơn liên. Nếu ∂P/∂y ≠ ∂Q/∂x, tích phân đường phụ thuộc vào đường đi C.

Tính tích phân bên trong trước: ∫_0^x xy dy = x[y^2/2]_0^x = x(x^2/2) = x^3/2. Sau đó tính tích phân bên ngoài: ∫_0^1 (x^3/2) dx = [x^4/8]_0^1 = 1/8.

Điểm dừng là điểm mà tại đó đạo hàm riêng theo x và y đồng thời bằng 0. Tính đạo hàm riêng: ∂f/∂x = 3x^2 - 3y và ∂f/∂y = 3y^2 - 3x. Giải hệ phương trình 3x^2 - 3y = 0 và 3y^2 - 3x = 0 ta được (0, 0) và (1, 1).

Hàm vector r(t) mô tả vị trí của một điểm tại thời điểm t. Đạo hàm r'(t) biểu diễn vector vận tốc của điểm đó tại thời điểm t, chỉ ra hướng và tốc độ chuyển động dọc theo đường cong được tham số hóa bởi r(t).

Phương trình vi phân y' = xy^2 có thể được viết lại thành dy/dx = xy^2. Ta có thể tách biến x và y về hai phía của phương trình: dy/y^2 = x dx. Do đó, đây là phương trình vi phân tách biến.

Công thức Stokes là một định lý trong giải tích vector liên hệ tích phân đường của một trường vector dọc theo một đường cong kín đơn giản C trong không gian ba chiều với tích phân mặt của curl của trường vector đó trên bất kỳ bề mặt S nào có biên là C. Nó tổng quát hóa định lý Green từ mặt phẳng lên không gian.

Tham số hóa đường tròn: x = Rcos(t), y = Rsin(t), 0 ≤ t ≤ 2π. dx = -Rsin(t) dt, dy = Rcos(t) dt. Tích phân trở thành ∫_0^(2π) (Rcos(t) * Rcos(t) dt - Rsin(t) * (-Rsin(t) dt)) = ∫_0^(2π) (R^2cos^2(t) + R^2sin^2(t)) dt = ∫_0^(2π) R^2 dt = R^2[t]_0^(2π) = 2πR^2.

Khi đổi biến từ tọa độ Descartes (x, y) sang tọa độ cực (r, θ) trong tích phân bội hai, yếu tố diện tích dx dy được thay thế bằng Jacobian nhân với dr dθ. Jacobian của phép biến đổi sang tọa độ cực là r. Do đó, dx dy được thay thế bằng r dr dθ.

Phép biến đổi từ tọa độ Descartes (x, y) sang tọa độ cực (r, θ) là x = rcos(θ), y = rsin(θ). Jacobian là định thức của ma trận đạo hàm riêng: J = det([[∂x/∂r, ∂x/∂θ], [∂y/∂r, ∂y/∂θ]]) = det([[cos(θ), -rsin(θ)], [sin(θ), rcos(θ)]]) = cos(θ) * rcos(θ) - (-rsin(θ) * sin(θ)) = rcos^2(θ) + rsin^2(θ) = r(cos^2(θ) + sin^2(θ)) = r.

Hàm logarit tự nhiên ln(u) xác định khi u > 0. Trong trường hợp này, u = x^2 + y^2. Điều kiện x^2 + y^2 > 0 luôn đúng trừ khi x = 0 và y = 0 đồng thời. Vậy miền xác định là R^2 loại bỏ điểm (0, 0).

Phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz có dạng tổng quát Ax + By + Cz = D, trong đó A, B, C, D là các hằng số và A, B, C không đồng thời bằng 0. Chỉ có phương trình x + y - 2z = 5 thỏa mãn dạng này.

Xác định giao điểm của y = x^2 và y = x là (0, 0) và (1, 1). Miền D: x^2 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 1. Tích phân trở thành ∫_0^1 ∫_(x^2)^x (x + y) dy dx = ∫_0^1 [xy + y^2/2]_(x^2)^x dx = ∫_0^1 (x^2 + x^2/2 - x^3 - x^4/2) dx = [x^3/3 + x^3/6 - x^4/4 - x^5/10]_0^1 = 1/3 + 1/6 - 1/4 - 1/10 = 5/12.

Tính đạo hàm riêng cấp nhất: ∂f/∂x = 2x, ∂f/∂y = -2y. Tại (0, 0) cả hai đạo hàm bằng 0, nên (0, 0) là điểm dừng. Tính đạo hàm riêng cấp hai: f_xx = 2, f_yy = -2, f_xy = 0. Định thức ma trận Hessian D = f_xx * f_yy - (f_xy)^2 = 2 * (-2) - 0^2 = -4 < 0. Vì D < 0, điểm (0, 0) là điểm yên ngựa.

Curl của trường vector F = (P, Q, R) là rot F = (∂R/∂y - ∂Q/∂z, ∂P/∂z - ∂R/∂x, ∂Q/∂x - ∂P/∂y). Trong trường hợp này, P = y, Q = -x, R = 0. Vậy rot F = (∂(0)/∂y - ∂(-x)/∂z, ∂(y)/∂z - ∂(0)/∂x, ∂(-x)/∂x - ∂(y)/∂y) = (0 - 0, 0 - 0, -1 - 1) = (0, 0, -2).

Điều kiện cần để hàm số f(x, y) đạt cực trị tại điểm (x_0, y_0) là gradient của hàm số tại điểm đó phải bằng vector 0, tức là ∇f(x_0, y_0) = (∂f/∂x(x_0, y_0), ∂f/∂y(x_0, y_0)) = (0, 0). Điều này tương đương với việc đạo hàm riêng theo x và y đều bằng 0 tại (x_0, y_0), tức là điểm dừng.

Theo định lý Clairaut (hoặc định lý đạo hàm hỗn hợp bằng nhau), nếu đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp f_xy và f_yx liên tục tại một điểm, thì f_xy = f_yx tại điểm đó. Do đề bài cho chúng liên tục trên miền D, nên f_xy = f_yx trên miền D.

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có dạng tổng quát a(x)y'' + b(x)y' + c(x)y = g(x), trong đó a(x), b(x), c(x), g(x) là các hàm số của x. Chỉ có phương trình y'' + xy' + y = x thỏa mãn dạng này, vì y và các đạo hàm của nó xuất hiện tuyến tính (bậc nhất).

Tích phân bội ba được sử dụng để tính thể tích của một vật thể trong không gian ba chiều. Nếu hàm dưới dấu tích phân là mật độ khối lượng, tích phân bội ba cũng có thể được sử dụng để tính khối lượng của vật thể đó.

Phương trình đặc trưng là r^2 + 4r + 4 = 0, hay (r + 2)^2 = 0. Phương trình có nghiệm kép r = -2. Khi phương trình đặc trưng có nghiệm kép thực r, nghiệm tổng quát có dạng y = C_1 e^(rx) + C_2 xe^(rx). Trong trường hợp này, nghiệm tổng quát là y = C_1 e^(-2x) + C_2 xe^(-2x).