1. Cho hàm số f(x, y) = x^2 + y^2. Đạo hàm riêng cấp hai ∂^2f/∂x∂y bằng bao nhiêu?
2. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 2x - y + 3z = 5 là vectơ nào?
A. (2, -1, 3)
B. (2, 1, 3)
C. (2, -1, -3)
D. (-2, 1, -3)
3. Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑_(n=0)^∞ (x^n)/n! là gì?
A. (-1, 1)
B. [-1, 1]
C. (-∞, +∞)
D. [0, +∞)
4. Trong không gian R^3, tích có hướng của hai vectơ u = (1, 0, 0) và v = (0, 1, 0) là vectơ nào?
A. (1, 1, 0)
B. (0, 0, 1)
C. (0, 0, -1)
D. (-1, 0, 0)
5. Phương pháp nhân tử Lagrange được sử dụng để giải quyết bài toán nào?
A. Tìm cực trị tự do của hàm nhiều biến.
B. Tìm cực trị có điều kiện của hàm nhiều biến.
C. Tính tích phân bội.
D. Giải phương trình vi phân.
6. Trong không gian R^2, phép biến đổi tuyến tính nào sau đây là phép quay quanh gốc tọa độ?
A. T(x, y) = (x + 1, y)
B. T(x, y) = (2x, 2y)
C. T(x, y) = (x cosθ - y sinθ, x sinθ + y cosθ)
D. T(x, y) = (x, -y)
7. Điều kiện hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑_(n=0)^∞ c_n (x-a)^n được xác định bởi yếu tố nào?
A. Bán kính hội tụ R.
B. Hệ số c_n.
C. Giá trị của a.
D. Số hạng đầu tiên c_0.
8. Giải pháp tổng quát của phương trình vi phân y`` + y = 0 có dạng nào?
A. y(x) = c_1 e^x + c_2 e^(-x)
B. y(x) = c_1 cos(x) + c_2 sin(x)
C. y(x) = c_1 e^(ix) + c_2 e^(-ix)
D. y(x) = c_1 + c_2 x
9. Thể tích của khối hộp hình hành được xác định bởi ba vectơ a, b, c được tính bằng công thức nào?
A. a.b.c
B. |a × b . c|
C. ||a × b × c||
D. |a . b × c|
10. Điều kiện nào sau đây là điều kiện đủ để một trường vectơ F là trường bảo toàn?
A. ∇ × F = 0
B. ∇ . F = 0
C. ||F|| = constant
D. Dạng của F đơn giản.
11. Tính tích phân bội hai ∫∫_D dA, với D là miền giới hạn bởi y = x^2 và y = x.
A. 1/6
B. 1/3
C. 2/3
D. 5/6
12. Công thức nào sau đây là công thức Green?
A. ∫_C Pdx + Qdy = ∫∫_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA
B. ∫_C F.dr = ∫∫_S (∇ × F).n dS
C. ∫∫_S F.dS = ∫∫∫_V (∇.F) dV
D. ∫_a^b f`(x) dx = f(b) - f(a)
13. Cho hệ phương trình tuyến tính Ax = b, với A là ma trận vuông cấp n. Điều kiện nào sau đây KHÔNG đảm bảo hệ phương trình có nghiệm duy nhất?
A. det(A) ≠ 0
B. Rank(A) = n
C. Các cột của A độc lập tuyến tính.
D. det(A) = 0
14. Trong không gian R^3, phương trình x^2 + y^2 + z^2 = 9 biểu diễn hình học nào?
A. Mặt phẳng
B. Đường tròn
C. Mặt cầu
D. Đường thẳng
15. Tính tích phân đường ∫_C (x + y) ds, với C là đoạn thẳng nối từ (0, 0) đến (1, 1).
16. Tìm eigenvalue của ma trận A = [[2, 0], [0, 3]].
A. λ = 2, λ = 3
B. λ = 0, λ = 5
C. λ = 2, λ = 2
D. λ = 3, λ = 3
17. Cho ánh xạ tuyến tính T: R^2 → R^2 biểu diễn phép chiếu vuông góc lên trục x. Ma trận biểu diễn của T là ma trận nào?
A. [[1, 0], [0, 1]]
B. [[1, 0], [0, 0]]
C. [[0, 0], [0, 1]]
D. [[0, 1], [1, 0]]
18. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân y` - 2y = e^(2x).
A. y_p = x e^(2x)
B. y_p = e^(2x)
C. y_p = C e^(2x)
D. y_p = x^2 e^(2x)
19. Tính định thức của ma trận A = [[1, 2], [3, 4]].
20. Cho hàm số f(x, y) = e^(xy). Tìm vi phân toàn phần df.
A. df = e^(xy) dx + e^(xy) dy
B. df = y e^(xy) dx + x e^(xy) dy
C. df = xy e^(xy) dx + xy e^(xy) dy
D. df = e^(xy) (y dx + x dy)
21. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1?
A. y`` + y` + y^2 = x
B. y` + sin(y) = x
C. y` + xy = x^2
D. (y`)^2 + y = x
22. Trong không gian vectơ R^3, tích vô hướng của hai vectơ u = (1, 2, 3) và v = (-1, 0, 1) bằng bao nhiêu?
23. Trong phép tính tích phân kép, thứ tự lấy tích phân có thể thay đổi được trong trường hợp nào?
A. Luôn luôn có thể thay đổi thứ tự.
B. Chỉ khi miền tích phân là hình chữ nhật.
C. Khi hàm số và miền tích phân thỏa mãn định lý Fubini.
D. Không bao giờ được thay đổi thứ tự tích phân.
24. Định nghĩa nào sau đây mô tả đúng nhất về ma trận khả nghịch?
A. Ma trận vuông có định thức bằng 0.
B. Ma trận vuông có định thức khác 0.
C. Ma trận chữ nhật có số hàng bằng số cột.
D. Ma trận chữ nhật có số hàng khác số cột.
25. Điều kiện cần và đủ để hàm số f(x, y) đạt cực đại địa phương tại điểm (x0, y0) là gì (giả sử các đạo hàm riêng tồn tại và liên tục)?
A. f_x(x0, y0) = 0 và f_xx(x0, y0) > 0
B. f_x(x0, y0) = 0 và f_yy(x0, y0) = 0
C. f_x(x0, y0) = 0, f_y(x0, y0) = 0 và định thức Hessian tại (x0, y0) > 0 và f_xx(x0, y0) < 0
D. f_x(x0, y0) = 0, f_y(x0, y0) = 0 và định thức Hessian tại (x0, y0) < 0
26. Trong khai triển Taylor của hàm số f(x, y) tại điểm (a, b), số hạng bậc hai chứa đạo hàm riêng cấp hai nào?
A. Chỉ f_xx(a, b) và f_yy(a, b).
B. Chỉ f_xy(a, b).
C. f_xx(a, b), f_yy(a, b) và f_xy(a, b).
D. Chỉ f_x(a, b) và f_y(a, b).
27. Chuỗi số ∑_(n=1)^∞ (1/n^p) hội tụ khi nào?
A. p < 1
B. p ≤ 1
C. p > 1
D. p ≥ 1
28. Cho hàm số f(x, y) = xy. Tìm gradient của f tại điểm (1, 2).
A. (2, 1)
B. (1, 2)
C. (2x, 2y)
D. (y, x)
29. Tích phân đường loại 2 ∫_C Pdx + Qdy phụ thuộc vào yếu tố nào sau đây?
A. Chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối của đường cong C.
B. Chỉ phụ thuộc vào hàm số P và Q.
C. Phụ thuộc vào đường cong C và hướng đi trên đường cong.
D. Không phụ thuộc vào đường cong C.
30. Tìm hạng (rank) của ma trận A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6]].
