1. Trong tọa độ cực (r, θ), Jacobian của phép biến đổi từ (x, y) sang (r, θ) là:
2. Chuỗi số điều hòa (harmonic series) ∑ (1/n) từ n=1 đến ∞ là:
A. Hội tụ
B. Phân kỳ
C. Hội tụ tuyệt đối
D. Hội tụ có điều kiện
3. Để kiểm tra sự hội tụ của chuỗi số ∑ a_n, tiêu chuẩn Cauchy (tiêu chuẩn căn) xét giới hạn L = lim (√[n](|a_n|)) khi n → ∞. Nếu L < 1, chuỗi:
A. Hội tụ
B. Phân kỳ
C. Hội tụ có điều kiện
D. Không kết luận được
4. Chuỗi Taylor của hàm số e^x tại x = 0 là:
A. ∑ (x^n) từ n=0 đến ∞
B. ∑ (x^n/n) từ n=1 đến ∞
C. ∑ (x^n/n!) từ n=0 đến ∞
D. ∑ ((-1)^n * x^n/n!) từ n=0 đến ∞
5. Điều kiện nào sau đây là điều kiện cần để chuỗi số ∑ a_n hội tụ?
A. lim (a_n) = 0 khi n → ∞
B. a_n > 0 với mọi n
C. ∑ |a_n| hội tụ
D. Chuỗi là chuỗi dương
6. Để giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất, phương pháp biến thiên hằng số Lagrange sử dụng:
A. Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất liên kết
B. Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất
C. Tích phân thừa số
D. Đạo hàm của nghiệm tổng quát
7. Công thức Stokes liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân bội hai
B. Tích phân mặt và tích phân bội ba
C. Tích phân đường và tích phân mặt
D. Tích phân bội hai và tích phân bội ba
8. Đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp f_xy và f_yx của hàm số f(x, y) liên tục trên miền D thì:
A. f_xy > f_yx
B. f_xy < f_yx
C. f_xy = f_yx
D. f_xy = -f_yx
9. Tiêu chuẩn so sánh giới hạn (limit comparison test) dùng để xét sự hội tụ của chuỗi dương ∑ a_n bằng cách so sánh với chuỗi dương ∑ b_n. Nếu lim (a_n/b_n) = c > 0 (hữu hạn), thì:
A. ∑ a_n hội tụ khi và chỉ khi ∑ b_n hội tụ
B. ∑ a_n luôn hội tụ
C. ∑ a_n luôn phân kỳ
D. Không kết luận được về sự hội tụ của ∑ a_n
10. Tích phân ∫_(-∞)^(∞) e^(-x^2) dx là một tích phân quan trọng trong toán học và có giá trị bằng:
11. Tích phân đường loại 2 ∫_C P(x, y)dx + Q(x, y)dy phụ thuộc vào:
A. Điểm đầu và điểm cuối của đường cong C
B. Hình dạng cụ thể của đường cong C
C. Tham số hóa của đường cong C
D. Cả điểm đầu, điểm cuối và hình dạng của đường cong C
12. Định lý Green liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân mặt
B. Tích phân đường và tích phân bội hai
C. Tích phân mặt và tích phân bội ba
D. Tích phân bội hai và tích phân bội ba
13. Chuỗi số nào sau đây là chuỗi hội tụ?
A. ∑ (n/(n+1)) từ n=1 đến ∞
B. ∑ (1/√n) từ n=1 đến ∞
C. ∑ (1/n!) từ n=1 đến ∞
D. ∑ (n^2) từ n=1 đến ∞
14. Tích phân suy rộng ∫_(1)^(∞) (1/x^p) dx hội tụ khi và chỉ khi:
A. p < 1
B. p ≤ 1
C. p > 1
D. p ≥ 1
15. Trong không gian Oxyz, phương trình nào sau đây biểu diễn một mặt phẳng?
A. x^2 + y^2 + z^2 = 1
B. x^2 + y^2 = 1
C. Ax + By + Cz + D = 0
D. z = x^2 + y^2
16. Để tìm cực trị của hàm số hai biến z = f(x, y), bước đầu tiên cần làm là:
A. Tính đạo hàm riêng cấp hai của f(x, y)
B. Tìm điểm dừng bằng cách giải hệ f_x = 0 và f_y = 0
C. Tính định thức Hesse
D. Xác định miền xác định của hàm số
17. Khái niệm `miền đơn giản` trong tích phân bội hai dùng để chỉ:
A. Miền có diện tích nhỏ
B. Miền giới hạn bởi đường tròn
C. Miền mà việc tính tích phân bội hai trở nên đơn giản hơn
D. Miền mà có thể biểu diễn bằng bất đẳng thức theo x và y một cách đơn giản
18. Tích phân bất định của hàm số f(x) = 2x là:
A. x + C
B. x^2 + C
C. 2x^2 + C
D. 2 + C
19. Phương pháp nào sau đây thường được sử dụng để tính tích phân suy rộng loại 1?
A. Thay biến số
B. Tích phân từng phần
C. Giới hạn của tích phân xác định
D. Phân tích thành phân thức đơn giản
20. Phương pháp Euler là một phương pháp số để giải phương trình vi phân thường. Công thức Euler tiến cho nghiệm gần đúng y_(i+1) là:
A. y_(i+1) = y_i + h*f(x_i, y_i)
B. y_(i+1) = y_i + h*f(x_(i+1), y_(i+1))
C. y_(i+1) = y_i + (h/2)*[f(x_i, y_i) + f(x_(i+1), y_(i+1))]
D. y_(i+1) = y_i + f(x_i, y_i)
21. Tích phân bội hai ∫∫_D f(x, y) dA biểu diễn:
A. Thể tích dưới mặt z = f(x, y) trên miền D
B. Diện tích miền D
C. Tổng giá trị của f(x, y) trên miền D
D. Thể tích của hình trụ có đáy D và chiều cao bằng giá trị trung bình của f(x, y) trên D
22. Điều kiện để tích phân đường ∫_C Pdx + Qdy không phụ thuộc vào đường đi C (chỉ phụ thuộc điểm đầu và điểm cuối) là:
A. ∂P/∂y = ∂Q/∂x
B. ∂P/∂x = ∂Q/∂y
C. P = Q
D. P và Q là hằng số
23. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y`` + ω^2y = 0 (ω ≠ 0) có dạng:
A. y = C_1e^(ωx) + C_2e^(-ωx)
B. y = C_1cos(ωx) + C_2sin(ωx)
C. y = (C_1 + C_2x)e^(ωx)
D. y = C_1 + C_2x
24. Phương trình vi phân y` = f(x)g(y) được gọi là phương trình vi phân:
A. Tuyến tính
B. Tách biến
C. Thuần nhất
D. Đẳng cấp
25. Trong phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất, nghiệm tổng quát có dạng:
A. Nghiệm riêng
B. Nghiệm thuần nhất
C. Tổng của nghiệm thuần nhất và nghiệm riêng
D. Tích của nghiệm thuần nhất và nghiệm riêng
26. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1?
A. y`` + y` + y = x
B. y` + y^2 = x
C. y` + p(x)y = q(x)
D. y`` + sin(y) = 0
27. Cho hàm số f(x, y) = x^2 + y^2. Vectơ gradient của f tại điểm (1, 2) là:
A. (1, 2)
B. (2, 4)
C. (4, 2)
D. (2, 2)
28. Sai phân cấp 1 tiến của hàm số y = f(x) tại x_i được ký hiệu là Δy_i và được định nghĩa là:
A. f(x_(i+1))
B. f(x_(i+1)) - f(x_i)
C. f(x_i) - f(x_(i-1))
D. f`(x_i)
29. Chuỗi lũy thừa ∑ c_n (x - a)^n có bán kính hội tụ R. Khi |x - a| < R, chuỗi:
A. Hội tụ tuyệt đối
B. Phân kỳ
C. Hội tụ có điều kiện
D. Có thể hội tụ hoặc phân kỳ
30. Tích phân mặt loại 1 ∫∫_S f(x, y, z) dS dùng để tính:
A. Thể tích của miền giới hạn bởi mặt S
B. Diện tích của mặt S
C. Khối lượng của mặt S nếu f(x, y, z) là mật độ khối lượng
D. Thông lượng của trường vectơ qua mặt S
