1. Giải phương trình vi phân y` - 2y = 0. Nghiệm tổng quát của phương trình là:
A. y = Ce^(2x)
B. y = Ce^(-2x)
C. y = C + e^(2x)
D. y = C + e^(-2x)
2. Cho hệ phương trình tuyến tính AX = b. Hệ phương trình này vô nghiệm khi:
A. det(A) ≠ 0
B. rank(A) = rank([A|b])
C. rank(A) < rank([A|b])
D. b = 0
3. Điều kiện để hàm số f(x, y) đạt cực đại địa phương tại điểm dừng (x0, y0) là:
A. f_xx(x0, y0) > 0 và D(x0, y0) > 0
B. f_xx(x0, y0) < 0 và D(x0, y0) > 0
C. f_xx(x0, y0) > 0 và D(x0, y0) < 0
D. f_xx(x0, y0) < 0 và D(x0, y0) < 0
4. Đạo hàm riêng của hàm số f(x, y) = xy^2 + sin(x) theo biến x là:
A. y^2 + cos(x)
B. 2xy + cos(x)
C. y^2 - cos(x)
D. 2xy - cos(x)
5. Cho tích phân bội hai ∫∫_D f(x, y) dA. Để chuyển sang tọa độ cực, ta thay dA bằng:
A. dr dθ
B. r dr dθ
C. r^2 dr dθ
D. r dθ dr
6. Thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt z = f(x, y) trên miền D trong mặt phẳng xy được tính bằng công thức:
A. ∫∫_D f(x, y) dA
B. ∬_D |f(x, y)| dA
C. ∫_D f(x, y) dA
D. ∫∫_D [f(x, y)]^2 dA
7. Hạng của ma trận là gì?
A. Số dòng của ma trận
B. Số cột của ma trận
C. Số chiều của không gian dòng (hoặc cột) của ma trận
D. Định thức của ma trận
8. Công thức Green liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân mặt
B. Tích phân đường và tích phân bội hai
C. Tích phân mặt và tích phân bội ba
D. Tích phân bội hai và tích phân bội ba
9. Trong phương pháp nhân tử Lagrange để tìm cực trị có điều kiện của hàm f(x, y) với điều kiện g(x, y) = 0, ta cần giải hệ phương trình:
A. ∇f = λ∇g và g(x, y) = 0
B. ∇f = ∇g và g(x, y) = 0
C. ∇f = λ∇g
D. g(x, y) = 0
10. Tính chất nào sau đây là đúng về không gian vector?
A. Không gian vector phải hữu hạn chiều
B. Phép cộng vector không cần có tính giao hoán
C. Phép nhân với số vô hướng phải đóng kín trong không gian vector
D. Không gian vector không thể chứa vector không
11. Khi nào thì một ma trận vuông A được gọi là ma trận trực giao?
A. Khi A^T = A
B. Khi A^T = -A
C. Khi A^T * A = I, với I là ma trận đơn vị
D. Khi det(A) = 1
12. Trong không gian R^3, mặt phẳng nào sau đây song song với mặt phẳng Oxy?
A. x + y = 1
B. z = 3
C. x = 2
D. y = -1
13. Tính chất nào sau đây không phải là tính chất của định thức?
A. det(A^T) = det(A)
B. det(kA) = k*det(A) với k là hằng số
C. det(AB) = det(A)det(B)
D. Nếu A có hai dòng giống nhau thì det(A) = 0
14. Phép biến đổi tuyến tính T: R^2 → R^2 được cho bởi T(x, y) = (2x + y, x - y). Ma trận biểu diễn của T đối với cơ sở chính tắc là:
A. [[2, 1], [1, -1]]
B. [[2, -1], [1, 1]]
C. [[1, 2], [-1, 1]]
D. [[-1, 1], [2, 1]]
15. Trong không gian vector R^3, cho hai vector u = (1, 2, -1) và v = (3, -1, 2). Tích vô hướng của u và v là:
16. Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0 là một:
A. Điểm
B. Vector
C. Không gian vector con của không gian vector các ẩn
D. Tập rỗng
17. Giá trị riêng của ma trận vuông A là gì?
A. Các giá trị làm cho định thức của A bằng 0
B. Các vector khác không v sao cho Av = λv với λ là một số vô hướng
C. Các số vô hướng λ sao cho tồn tại vector khác không v thỏa mãn Av = λv
D. Các cột của ma trận A
18. Cho ma trận A vuông cấp n. Định thức của ma trận 2A bằng:
A. 2 * det(A)
B. 2^n * det(A)
C. 4 * det(A)
D. 4^n * det(A)
19. Trong tích phân bội ba ở hệ tọa độ cầu, Jacobian của phép biến đổi tọa độ là:
A. ρ
B. ρ^2
C. ρ sin(φ)
D. ρ^2 sin(φ)
20. Phương trình nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng?
A. y`` + x*y` + y = 0
B. y`` + 3y` + 2y = sin(x)
C. y`` + (y`)^2 + y = 0
D. y``*y` + y = x
21. Tích phân đường loại 1 của hàm f(x, y) dọc theo đường cong C được tham số hóa bởi r(t) = (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b, được tính bằng công thức:
A. ∫_a^b f(x(t), y(t)) dt
B. ∫_a^b f(x(t), y(t)) ||r`(t)|| dt
C. ∫_C f(x, y) dr
D. ∫_a^b f(x`(t), y`(t)) dt
22. Cho hàm số f(x, y) = e^(x^2 + y^2). Gradient của f tại điểm (1, 0) là:
A. (2e, 0)
B. (e, 0)
C. (0, 2e)
D. (0, e)
23. Đường cong mức của hàm số f(x, y) là gì?
A. Tập hợp các điểm (x, y) sao cho f(x, y) = 0
B. Tập hợp các điểm (x, y) sao cho ∇f(x, y) = 0
C. Tập hợp các điểm (x, y) sao cho f(x, y) = c, với c là hằng số
D. Đồ thị của hàm số z = f(x, y)
24. Vector pháp tuyến của mặt cong z = f(x, y) tại điểm (x0, y0, f(x0, y0)) là:
A. (f_x(x0, y0), f_y(x0, y0), 1)
B. (-f_x(x0, y0), -f_y(x0, y0), 1)
C. (f_x(x0, y0), f_y(x0, y0), -1)
D. (-f_x(x0, y0), -f_y(x0, y0), -1)
25. Chuỗi Taylor của hàm số f(x) tại x = a là:
A. ∑_(n=0)^∞ (f^(n)(a) / n!) * (x - a)^n
B. ∑_(n=0)^∞ (f^(n)(0) / n!) * x^n
C. ∑_(n=0)^∞ (f^(n)(a) / n!) * x^n
D. ∑_(n=0)^∞ (f(a) / n!) * (x - a)^n
26. Cho hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục. Biểu thức nào sau đây là vi phân toàn phần cấp hai của f?
A. d^2f = f_xx dx^2 + 2f_xy dxdy + f_yy dy^2
B. d^2f = f_xx dx + f_yy dy
C. d^2f = f_x dx^2 + f_y dy^2
D. d^2f = f_xx + f_yy
27. Trong không gian R^3, tích có hướng của hai vector u và v là một vector:
A. Song song với cả u và v
B. Vuông góc với cả u và v
C. Nằm trong mặt phẳng chứa u và v
D. Cùng hướng với u
28. Ma trận khả nghịch là ma trận:
A. Có định thức bằng 0
B. Có định thức khác 0
C. Là ma trận vuông
D. Có tất cả các phần tử khác 0
29. Cho hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x + 6y. Điểm dừng của hàm số này là:
A. (2, -3)
B. (-2, 3)
C. (4, -6)
D. (-4, 6)
30. Điều kiện cần để chuỗi số ∑_(n=1)^∞ a_n hội tụ là:
A. lim_(n→∞) a_n = 0
B. lim_(n→∞) a_n = 1
C. ∑_(n=1)^∞ |a_n| hội tụ
D. a_n > 0 với mọi n
