1. Trong bài toán tối ưu hóa có ràng buộc, phương pháp nhân tử Lagrange được sử dụng để:
A. Tìm cực trị tự do của hàm số.
B. Tìm cực trị có điều kiện của hàm số.
C. Giải phương trình vi phân.
D. Tính tích phân bội.
2. Trong hệ tọa độ trụ, Jacobian của phép biến đổi từ tọa độ Descartes (x, y, z) sang tọa độ trụ (r, θ, z) là:
A. r
B. r²
C. 1/r
D. 1/r²
3. Chuỗi số ∑_(n=1)^∞ (1/n^p) hội tụ khi và chỉ khi:
A. p > 0
B. p ≥ 1
C. p > 1
D. p ≤ 1
4. Trong không gian Oxyz, phương trình nào sau đây biểu diễn một mặt phẳng?
A. x² + y² + z² = 1
B. x + y + z = 1
C. xy + yz + zx = 1
D. x³ + y³ + z³ = 1
5. Công thức Green liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân mặt.
B. Tích phân đường và tích phân bội hai.
C. Tích phân mặt và tích phân bội ba.
D. Tích phân bội hai và tích phân bội ba.
6. Trong không gian vector, tích vô hướng của hai vector u và v bằng 0 khi và chỉ khi:
A. u và v cùng phương.
B. u và v vuông góc.
C. u hoặc v là vector đơn vị.
D. u và v đối nhau.
7. Vector pháp tuyến của mặt cong z = f(x, y) tại điểm (x₀, y₀, f(x₀, y₀)) là:
A. (∂f/∂x, ∂f/∂y, 1)
B. (∂f/∂x, ∂f/∂y, -1)
C. (-∂f/∂x, -∂f/∂y, 1)
D. (-∂f/∂x, -∂f/∂y, -1)
8. Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑_(n=0)^∞ (x^n)/(n!) là:
A. (-1, 1)
B. [-1, 1]
C. (-∞, +∞)
D. [0, +∞)
9. Cho hàm số f(x, y) liên tục trên miền đóng và bị chặn D. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. f(x, y) không đạt cực trị trên D.
B. f(x, y) luôn đạt cực đại và cực tiểu trên D.
C. f(x, y) chỉ đạt cực đại trên D.
D. f(x, y) chỉ đạt cực tiểu trên D.
10. Công thức nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng số thuần nhất phụ thuộc vào:
A. Nghiệm của phương trình vi phân.
B. Nghiệm của phương trình đặc trưng.
C. Hệ số của phương trình vi phân.
D. Hàm số vế phải.
11. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y`` + y = 0 là:
A. y = C₁e^x + C₂e^(-x)
B. y = C₁cos(x) + C₂sin(x)
C. y = C₁ + C₂x
D. y = C₁e^(ix) + C₂e^(-ix)
12. Cho trường vector F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)). Điều kiện để trường vector F là trường thế là:
A. ∇⋅F = 0
B. ∇×F = 0
C. ∇f = F với một hàm vô hướng f nào đó.
D. Cả 2 và 3 đều đúng.
13. Trong phép biến đổi Laplace, biến đổi Laplace của đạo hàm f`(t) được biểu diễn qua biến đổi Laplace của f(t) là:
A. sF(s) - f(0)
B. sF(s)
C. F(s)/s
D. F(s) - f(0)
14. Hàm số f(x, y) = x² + y² có cực trị tại điểm (0, 0) là:
A. Cực đại.
B. Cực tiểu.
C. Không phải cực trị.
D. Vừa cực đại vừa cực tiểu.
15. Giá trị riêng của ma trận A = [[2, 1], [1, 2]] là:
A. 1 và 2
B. 1 và 3
C. 2 và 3
D. 0 và 3
16. Tích phân suy rộng ∫_1^∞ (1/x^α) dx hội tụ khi:
A. α < 1
B. α ≤ 1
C. α > 1
D. α ≥ 1
17. Định lý Stokes liên hệ:
A. Tích phân đường và tích phân mặt.
B. Tích phân đường và tích phân bội hai.
C. Tích phân mặt và tích phân bội ba.
D. Tích phân bội hai và tích phân bội ba.
18. Ma trận vuông A được gọi là khả nghịch khi:
A. det(A) = 0
B. det(A) ≠ 0
C. A là ma trận đường chéo.
D. A là ma trận tam giác.
19. Trong phép tính tích phân bội hai, việc đổi thứ tự lấy tích phân có thể:
A. Luôn làm cho tích phân dễ tính hơn.
B. Luôn làm cho tích phân khó tính hơn.
C. Có thể làm cho tích phân dễ hoặc khó tính hơn, hoặc không thay đổi độ khó.
D. Không bao giờ thay đổi độ khó của tích phân.
20. Đạo hàm riêng cấp hai ∂²f/∂x∂y của hàm số f(x, y) = sin(xy) là:
A. y²cos(xy)
B. x²cos(xy)
C. cos(xy) - xy sin(xy)
D. cos(xy) + xy sin(xy)
21. Tích phân đường loại 2 ∫_C (x dy - y dx) trên đường tròn đơn vị C, ngược chiều kim đồng hồ, bằng:
22. Tích phân mặt ∫∫_S F⋅dS, với F là trường vector và S là mặt kín, biểu diễn:
A. Lưu lượng của trường vector F qua mặt S.
B. Công của trường vector F dọc theo biên của S.
C. Thế năng của trường vector F trên mặt S.
D. Độ xoáy của trường vector F tại mỗi điểm trên S.
23. Trong không gian vector R³, tập hợp các vector {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1)} là:
A. Độc lập tuyến tính.
B. Phụ thuộc tuyến tính.
C. Cơ sở của R³.
D. Vừa độc lập tuyến tính vừa là cơ sở của R³.
24. Hạng của ma trận A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [3, 6, 9]] là:
25. Chuỗi Fourier của hàm số tuần hoàn f(x) với chu kỳ 2π được sử dụng để:
A. Tính đạo hàm của hàm số.
B. Phân tích hàm số thành tổng của các hàm sin và cosin.
C. Tìm cực trị của hàm số.
D. Tính tích phân của hàm số.
26. Điều kiện cần để chuỗi số ∑ a_n hội tụ là:
A. lim_(n→∞) a_n = 0
B. lim_(n→∞) a_n = 1
C. ∑ |a_n| hội tụ
D. a_n > 0 với mọi n
27. Cho hàm số f(x, y) = x³ + y³ - 3xy. Điểm dừng của hàm số này là:
A. (0, 0) và (1, 1)
B. (0, 0) và (-1, -1)
C. (1, 0) và (0, 1)
D. Không có điểm dừng
28. Thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt z = 0, z = h và miền D trên mặt phẳng xy được tính bằng công thức:
A. ∫∫_D h dA
B. ∫∫_D z dA
C. ∫∫_D (h - z) dA
D. ∫∫_D (h + z) dA
29. Phương trình vi phân y` = f(x, y) được gọi là phương trình vi phân tách biến nếu:
A. f(x, y) = P(x) + Q(y)
B. f(x, y) = P(x)Q(y)
C. f(x, y) = P(x)/Q(y)
D. f(x, y) = P(x) - Q(y)
30. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1?
A. y` + y² = x
B. y` + xy = x²
C. y`` + y = sin(x)
D. yy` + x = 0
