1. Trong không gian tọa độ Descartes Oxyz, phương trình nào sau đây biểu diễn một mặt phẳng?
A. x² + y² + z² = 9
B. x + 2y - 3z = 5
C. z = x² + y²
D. x² + y² = 4
2. Trong tọa độ cầu (ρ, θ, φ), Jacobian của phép biến đổi từ tọa độ Descartes là:
A. ρ
B. ρ²
C. ρ²sin(φ)
D. ρsin(φ)
3. Cho hàm số f(x, y) = x³y² + xy. Đạo hàm riêng cấp hai ∂²f/∂x∂y là:
A. 6xy + 1
B. 6x²y + 1
C. 3x² + 2y
D. 2y
4. Khái niệm nào sau đây không thuộc về giải tích vector?
A. Gradient.
B. Divergence.
C. Curl.
D. Đạo hàm riêng.
5. Hàm số f(x, y) = x² - y² có điểm dừng tại (0, 0). Điểm dừng này là điểm:
A. Cực đại địa phương.
B. Cực tiểu địa phương.
C. Điểm yên ngựa.
D. Không xác định.
6. Định lý Divergence (Gauss) liên hệ giữa đại lượng nào sau đây?
A. Flux qua một mặt kín và tích phân đường dọc biên của mặt.
B. Flux qua một mặt kín và tích phân bội hai trên miền giới hạn bởi mặt.
C. Flux qua một mặt kín và tích phân bội ba trên miền giới hạn bởi mặt.
D. Tích phân đường và tích phân bội ba.
7. Cho trường vector F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)). Điều kiện cần và đủ để trường vector F là trường thế (trường bảo toàn) là:
A. ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z = 0
B. curl F = 0
C. div F = 0
D. ∫_C F · dr = 0 với mọi đường cong kín C
8. Định lý Stokes liên hệ giữa đại lượng nào sau đây?
A. Tích phân đường và tích phân mặt.
B. Tích phân đường và tích phân bội hai.
C. Tích phân mặt và tích phân bội ba.
D. Tích phân bội hai và tích phân bội ba.
9. Trong tọa độ cầu, góc φ được đo từ trục nào?
A. Trục Ox.
B. Trục Oy.
C. Trục Oz dương.
D. Mặt phẳng Oxy.
10. Cho hàm số f(x, y) = ln(x² + y²). Miền xác định của hàm số này là:
A. Toàn bộ mặt phẳng Oxy.
B. Mặt phẳng Oxy trừ gốc tọa độ (0, 0).
C. Nửa mặt phẳng bên phải trục tung (x > 0).
D. Đường tròn đơn vị x² + y² = 1.
11. Đường cong giao tuyến của mặt paraboloid z = x² + y² và mặt phẳng z = 4 là:
A. Một đường thẳng.
B. Một đường parabol.
C. Một đường tròn.
D. Một đường elip.
12. Tích phân mặt ∫∫_S f(x, y, z) dS tính đại lượng nào sau đây?
A. Thể tích của miền giới hạn bởi S.
B. Diện tích của mặt S.
C. Mômen quán tính của mặt S.
D. Thông lượng của trường vector qua mặt S.
13. Cho trường vector F(x, y) = <-y, x>. Tính divergence của trường vector này:
14. Tích phân đường loại 2 ∫_C (x dy - y dx) trên đường tròn C: x² + y² = R² theo chiều ngược chiều kim đồng hồ bằng:
A. 0
B. πR²
C. 2πR²
D. 4πR²
15. Cho hàm số f(x, y) và điểm (x₀, y₀). Vector gradient ∇f(x₀, y₀) chỉ hướng nào?
A. Hướng mà hàm số giảm nhanh nhất.
B. Hướng mà hàm số không đổi.
C. Hướng mà hàm số tăng nhanh nhất.
D. Hướng vuông góc với mặt mức.
16. Để tính thể tích của một vật thể trong không gian ba chiều, phương pháp nào sau đây thường được sử dụng nhất trong giải tích 3?
A. Tích phân đường loại 2.
B. Tích phân mặt loại 2.
C. Tích phân bội ba.
D. Đạo hàm riêng.
17. Ứng dụng của tích phân đường loại 2 là gì?
A. Tính diện tích mặt cong.
B. Tính thể tích vật thể.
C. Tính công của lực dọc theo đường cong.
D. Tính khối lượng của dây.
18. Cho trường vector F(x, y, z) = . Tính flux của trường vector này qua mặt cầu đơn vị S: x² + y² + z² = 1 hướng ra ngoài:
19. Trong bài toán tối ưu hóa có ràng buộc, phương pháp nhân tử Lagrange được sử dụng để:
A. Tìm cực trị tự do của hàm số.
B. Tìm cực trị có điều kiện của hàm số.
C. Tính tích phân bội hai.
D. Tính tích phân đường.
20. Công thức nào sau đây là công thức tính diện tích mặt S được tham số hóa bởi r(u, v)?
A. ∬_D ||r_u x r_v|| du dv
B. ∬_D |r_u · r_v| du dv
C. ∬_D ||r_u + r_v|| du dv
D. ∬_D ||r_u - r_v|| du dv
21. Trong tọa độ trụ (r, θ, z), biểu thức x² + y² + z² được chuyển thành:
A. r² + z²
B. r² + z
C. r + z²
D. r + z
22. Cho hàm số f(x, y) = e^(x² + y²). Hàm số này đạt cực trị tại điểm nào?
A. (0, 0)
B. (1, 1)
C. Không có cực trị.
D. Vô số cực trị.
23. Trong phép tính tích phân bội ba trong tọa độ trụ, yếu tố thể tích dV được biểu diễn là:
A. dz dr dθ
B. r dz dr dθ
C. r² dz dr dθ
D. ρ²sin(φ) dρ dθ dφ
24. Trong phép tính tích phân bội hai, để chuyển từ tọa độ Descartes (x, y) sang tọa độ cực (r, θ), biểu thức dxdy được thay thế bằng:
A. drdθ
B. r drdθ
C. r² drdθ
D. r sin(θ) drdθ
25. Ý nghĩa hình học của tích phân đường loại 1 ∫_C f(x, y, z) ds là:
A. Diện tích dưới đường cong C.
B. Thể tích dưới mặt z = f(x, y) trên miền C.
C. Khối lượng của dây C với mật độ tuyến tính f(x, y, z).
D. Công thực hiện bởi lực F dọc theo đường cong C.
26. Cho hàm số f(x, y) = xy. Điểm dừng của hàm số này là:
A. (0, 0)
B. (1, 1)
C. Không có điểm dừng.
D. Vô số điểm dừng.
27. Cho mặt S được tham số hóa bởi r(u, v) = . Vector pháp tuyến của mặt S tại điểm ứng với (u, v) là:
A. <1, 0, 2u> x <0, 1, 2v>
B. <1, 0, 2u> + <0, 1, 2v>
C.
D. <0, 0, 1>
28. Cho miền D trong mặt phẳng Oxy giới hạn bởi đường tròn x² + y² = 9. Tính tích phân bội hai ∬_D (x² + y²) dA.
A. 9π
B. 81π/2
C. 81π
D. 243π/2
29. Công thức Green liên hệ giữa tích phân đường trên đường cong kín C và tích phân bội hai trên miền D được giới hạn bởi C. Phát biểu nào sau đây về Công thức Green là đúng?
A. Công thức Green chỉ áp dụng cho đường cong C không kín.
B. Công thức Green chuyển tích phân đường loại 1 thành tích phân bội hai.
C. Công thức Green chỉ áp dụng cho miền D là hình chữ nhật.
D. Công thức Green liên hệ tích phân đường của trường vector 2D dọc theo đường cong kín C với tích phân bội hai của curl của trường vector đó trên miền D.
30. Giá trị của tích phân bội ba ∫∫∫_V dV trong đó V là hình hộp chữ nhật giới hạn bởi 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ c là:
A. a + b + c
B. abc
C. (a+b+c)/3
D. (abc)/6
