1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x, y) = xy trên miền D = {(x, y) | x^2 + y^2 ≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0}.
2. Điều kiện nào sau đây đảm bảo trường vectơ F là trường bảo toàn (conservative)?
A. curl F = 0
B. div F = 0
C. ∇ × (∇f) ≠ 0
D. ∇ · (∇f) = 0
3. Tính tích phân bội ba ∫∫∫_E dV, với E là khối hộp chữ nhật [0, 1] × [0, 2] × [0, 3].
4. Trong không gian 3 chiều, phương trình nào sau đây biểu diễn một mặt phẳng?
A. x^2 + y^2 + z^2 = 9
B. x + 2y - z = 5
C. z = x^2 + y^2
D. x = t, y = 2t, z = 3t
5. Định lý Stokes liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân mặt
B. Tích phân mặt và tích phân khối
C. Tích phân đường và tích phân khối
D. Tích phân kép và tích phân bội ba
6. Cho trường vectơ F(x, y, z) = (P, Q, R). Điều kiện nào sau đây là điều kiện cần để F là trường bảo toàn?
A. ∂P/∂y = ∂Q/∂x, ∂P/∂z = ∂R/∂x, ∂Q/∂z = ∂R/∂y
B. ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z = 0
C. ∂P/∂x = ∂Q/∂y = ∂R/∂z
D. P = Q = R
7. Đường cong mức của hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 tại mức c = 4 là hình gì?
A. Đường thẳng
B. Đường tròn
C. Parabol
D. Hyperbol
8. Trong tọa độ cầu, Jacobian của phép biến đổi từ (x, y, z) sang (ρ, θ, φ) là:
A. ρ
B. ρ^2
C. ρ^2 sin φ
D. ρ sin φ
9. Công thức nào sau đây là công thức Green?
A. ∮_C P dx + Q dy = ∫∫_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA
B. ∮_C F · dr = ∫∫_S curl F · n dS
C. ∬_S F · n dS = ∫∫∫_E div F dV
D. ∇ × (∇f) = 0
10. Trong tọa độ trụ, Jacobian của phép biến đổi từ (x, y, z) sang (r, θ, z) là:
A. r
B. r^2
C. 1
D. r sin θ
11. Cho hàm số f(x, y, z). Gradient của f là một:
A. Số thực
B. Vectơ
C. Hàm số vô hướng
D. Ma trận
12. Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt z = 4 - x^2 - y^2 và mặt z = 0.
A. 4π
B. 8π
C. 16π
D. 32π
13. Tích phân ∫∫_R xy dA, với R là hình chữ nhật [0, 2] × [1, 3], bằng bao nhiêu?
14. Cho trường vectơ F(x, y) = (2x, -y). Tính div F.
15. Cho trường vectơ F(x, y, z) = (x, y, z). Tính curl F.
A. (0, 0, 0)
B. (1, 1, 1)
C. (x, y, z)
D. (i, j, k)
16. Tích phân đường loại 1 của hàm số f(x, y) = x + y dọc theo đường cong C tham số hóa bởi r(t) = (cos t, sin t), 0 ≤ t ≤ π, bằng bao nhiêu?
17. Công thức nào sau đây là công thức tính diện tích mặt cong?
A. ∫∫_D ||r_u × r_v|| dA
B. ∫∫_D ||r_u + r_v|| dA
C. ∫∫_D |r_u · r_v| dA
D. ∫∫_D (||r_u|| + ||r_v||) dA
18. Cho mặt S là mặt cầu x^2 + y^2 + z^2 = 4. Vectơ pháp tuyến đơn vị ngoài tại điểm (1, 1, √2) là:
A. (1/2, 1/2, √2/2)
B. (1, 1, √2)
C. (-1/2, -1/2, -√2/2)
D. (2, 2, 2√2)
19. Cho trường vectơ F(x, y) = (y, -x). Tính tích phân đường ∮_C F · dr, với C là đường tròn đơn vị ngược chiều kim đồng hồ.
20. Tính diện tích mặt S được tham số hóa bởi r(u, v) = (u, v, u^2 + v^2), với u^2 + v^2 ≤ 1.
A. π
B. π/6 (5√5 - 1)
C. π/3 (2√2 - 1)
D. π/2 (3√3 - 1)
21. Tính tích phân kép ∫∫_D e^(x^2 + y^2) dA, với D là hình tròn x^2 + y^2 ≤ 1.
A. π(e - 1)
B. πe
C. e - 1
D. π
22. Định lý Divergence (Gauss) liên hệ giữa:
A. Tích phân mặt và tích phân khối
B. Tích phân đường và tích phân mặt
C. Tích phân đường và tích phân khối
D. Tích phân kép và tích phân bội ba
23. Hàm số f(x, y) = x^2 - y^2 có điểm dừng tại (0, 0). Điểm dừng này là:
A. Cực đại địa phương
B. Cực tiểu địa phương
C. Điểm yên ngựa
D. Không xác định
24. Tích phân đường loại 2 ∫_C P dx + Q dy + R dz phụ thuộc vào:
A. Điểm đầu và điểm cuối của đường cong C
B. Hình dạng của đường cong C
C. Tham số hóa của đường cong C
D. Cả điểm đầu, điểm cuối và hình dạng của đường cong C
25. Tìm miền xác định của hàm số f(x, y) = √(9 - x^2 - y^2).
A. x^2 + y^2 ≤ 9
B. x^2 + y^2 < 9
C. x^2 + y^2 ≥ 9
D. x^2 + y^2 > 9
26. Cho hàm số f(x, y) = ln(x^2 + y^2). Tính Laplace của f, Δf = ∂^2f/∂x^2 + ∂^2f/∂y^2.
A. 0
B. 2 / (x^2 + y^2)
C. 4 / (x^2 + y^2)^2
D. -4 / (x^2 + y^2)^2
27. Hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 + 2xy có cực trị tại điểm (0, 0) không?
A. Có, cực đại địa phương
B. Có, cực tiểu địa phương
C. Có, điểm yên ngựa
D. Không có cực trị
28. Cho hàm số f(x, y) = e^(xy). Tính gradient của f tại điểm (1, 1).
A. (e, e)
B. (1, 1)
C. (0, 0)
D. (2e, 2e)
29. Điều kiện nào sau đây là điều kiện cần để hàm số f(x, y) đạt cực trị tại điểm (x0, y0)?
A. ∇f(x0, y0) = (0, 0)
B. ∇f(x0, y0) ≠ (0, 0)
C. det(H(f)(x0, y0)) > 0
D. det(H(f)(x0, y0)) < 0
30. Cho hàm số f(x, y) = x^3y^2 + 4x - 2y. Tính đạo hàm riêng cấp hai ∂^2f/∂x∂y.
A. 6xy
B. 6x^2y
C. 3x^2
D. 4
