1. Để tính thể tích của một vật thể trong không gian ba chiều, tích phân nào sau đây được sử dụng?
A. Tích phân đường
B. Tích phân mặt
C. Tích phân bội hai
D. Tích phân bội ba
2. Khái niệm nào sau đây không phải là một phép toán vector cơ bản?
A. Gradient
B. Divergence
C. Curl
D. Tích phân vector
3. Chuỗi Fourier của hàm số f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2π được biểu diễn dưới dạng:
A. a₀/2 + ∑_(n=1)^∞ (a_n cos(nx) + b_n sin(nx))
B. ∑_(n=1)^∞ (a_n cos(nx) + b_n sin(nx))
C. a₀ + ∑_(n=1)^∞ (a_n cos(nx) + b_n sin(nx))
D. a₀/2 + ∑_(n=0)^∞ (a_n cos(nx) + b_n sin(nx))
4. Định lý Green liên hệ tích phân đường trên đường cong kín C với tích phân nào trên miền D được bao bởi C?
A. Tích phân đường loại 1
B. Tích phân mặt
C. Tích phân bội hai
D. Tích phân bội ba
5. Cho đường cong C tham số r(t) = (cos(t), sin(t), t), 0 ≤ t ≤ 2π. Độ dài của đường cong C là:
A. 2π
B. 2π√2
C. 4π
D. π√2
6. Điều kiện nào sau đây đảm bảo rằng hàm số f(x, y) có cực đại địa phương tại điểm dừng (x₀, y₀)?
A. D = f_xx f_yy - (f_xy)² > 0 và f_xx > 0
B. D = f_xx f_yy - (f_xy)² > 0 và f_xx < 0
C. D = f_xx f_yy - (f_xy)² < 0
D. D = f_xx f_yy - (f_xy)² = 0
7. Trong không gian Oxyz, mặt nào sau đây là mặt trụ tròn xoay có trục là trục Oz?
A. x² + y² = R²
B. y² + z² = R²
C. x² + z² = R²
D. x² + y² + z² = R²
8. Trong định lý Stokes, tích phân đường của trường vector F trên đường biên ∂S của mặt S bằng:
A. Tích phân mặt của F trên S
B. Tích phân mặt của curl F trên S
C. Tích phân mặt của div F trên S
D. Tích phân thể tích của curl F trên S
9. Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑_(n=0)^∞ (x/2)^n là:
A. (-2, 2)
B. [-2, 2]
C. (-1, 1)
D. [-1, 1]
10. Tích phân ∫₀¹ ∫_x¹ f(x, y) dy dx có thể viết lại bằng cách đổi thứ tự tích phân thành:
A. ∫₀¹ ∫₀^y f(x, y) dx dy
B. ∫₀¹ ∫_y¹ f(x, y) dx dy
C. ∫₀¹ ∫₀¹ f(x, y) dx dy
D. ∫_x¹ ∫₀¹ f(x, y) dx dy
11. Chuỗi số ∑_(n=1)^∞ 1/n^p hội tụ khi và chỉ khi:
A. p > 1
B. p ≥ 1
C. p < 1
D. p ≤ 1
12. Tính chất nào sau đây không đúng với tích phân bội hai?
A. Tính tuyến tính
B. Tính cộng tính trên miền lấy tích phân
C. Tính đơn điệu
D. Tính chất tích của hàm số
13. Công thức đổi biến trong tích phân bội ba từ tọa độ Descartes (x, y, z) sang tọa độ cầu (ρ, φ, θ) có Jacobian bằng:
A. ρ
B. ρ²
C. ρ sin(φ)
D. ρ² sin(φ)
14. Hàm số f(x, y) được gọi là khả vi tại điểm (x₀, y₀) nếu:
A. f(x, y) liên tục tại (x₀, y₀)
B. f_x(x₀, y₀) và f_y(x₀, y₀) tồn tại
C. Δf = f_x(x₀, y₀)Δx + f_y(x₀, y₀)Δy + o(√(Δx² + Δy²))
D. f_x(x, y) và f_y(x, y) liên tục tại (x₀, y₀)
15. Phát biểu nào sau đây về chuỗi Taylor của hàm số f(x) tại x = a là sai?
A. Chuỗi Taylor luôn hội tụ tại x = a.
B. Chuỗi Taylor luôn biểu diễn hàm số f(x) trong miền hội tụ của nó.
C. Chuỗi Taylor có thể được sử dụng để xấp xỉ giá trị của hàm số.
D. Các hệ số của chuỗi Taylor được xác định bởi đạo hàm của f(x) tại x = a.
16. Tích phân đường loại 1 ∫_C f(x, y) ds, với C là đường cong tham số r(t) = (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b, được tính bằng công thức nào?
A. ∫_a^b f(x(t), y(t)) dt
B. ∫_a^b f(x(t), y(t)) ||r`(t)|| dt
C. ∫_a^b f(x`(t), y`(t)) ||r(t)|| dt
D. ∫_a^b f(x(t), y(t)) ||r``(t)|| dt
17. Công thức nào sau đây là định lý Divergence (Gauss)?
A. ∮_∂S F · dr = ∬_S (curl F) · dS
B. ∬_∂V F · dS = ∭_V (div F) dV
C. ∮_C P dx + Q dy = ∬_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA
D. F = ∇f khi curl F = 0
18. Cho trường vector F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)). Điều kiện để trường vector F là trường thế là gì?
A. ∇ × F = 0
B. ∇ · F = 0
C. ∇ f = F
D. ∫_C F · dr = 0 với mọi đường cong kín C
19. Tích phân mặt ∬_S F · dS, với F = (x, y, z) và S là mặt cầu x² + y² + z² = 1, hướng ra ngoài, bằng:
20. Cho hàm số z = f(x, y). Vi phân toàn phần dz của hàm số này được định nghĩa là:
A. dz = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy
B. dz = ∂²f/∂x² dx + ∂²f/∂y² dy
C. dz = ∂f/∂x dx - ∂f/∂y dy
D. dz = ∂f/∂y dx + ∂f/∂x dy
21. Trong hệ tọa độ trụ, phương trình z = r² mô tả mặt nào?
A. Mặt phẳng
B. Mặt cầu
C. Mặt paraboloid tròn xoay
D. Mặt nón
22. Trong không gian Oxyz, mặt bậc hai nào sau đây là mặt hyperboloid một tầng?
A. x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1
B. x²/a² + y²/b² - z²/c² = 1
C. x²/a² - y²/b² - z²/c² = 1
D. -x²/a² - y²/b² - z²/c² = 1
23. Xét tích phân bội hai ∫∫_D f(x, y) dA, khi chuyển sang tọa độ cực, yếu tố diện tích dA được thay thế bằng:
A. dr dθ
B. r dr dθ
C. r² dr dθ
D. dθ dr
24. Cho hàm số f(x, y) = x³ + y³ - 3xy. Điểm dừng của hàm số này là:
A. (0, 0) và (1, 1)
B. (0, 0) và (-1, -1)
C. (1, 0) và (0, 1)
D. Không có điểm dừng
25. Trong hệ tọa độ cầu, yếu tố thể tích dV được biểu diễn như thế nào?
A. ρ² sin(φ) dρ dφ dθ
B. ρ sin(φ) dρ dφ dθ
C. ρ² cos(φ) dρ dφ dθ
D. ρ cos(φ) dρ dφ dθ
26. Đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp f_xy và f_yx của hàm số f(x, y) liên tục tại điểm (x₀, y₀). Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. f_xy(x₀, y₀) > f_yx(x₀, y₀)
B. f_xy(x₀, y₀) < f_yx(x₀, y₀)
C. f_xy(x₀, y₀) = f_yx(x₀, y₀)
D. Không có mối quan hệ giữa f_xy(x₀, y₀) và f_yx(x₀, y₀)
27. Tính curl của trường vector F(x, y, z) = (y, z, x).
A. (1, 1, 1)
B. (-1, -1, -1)
C. (0, 0, 0)
D. (i, j, k)
28. Cho hàm số f(x, y) = e^(x² + y²). Vector gradient của f tại điểm (1, 0) là:
A. (2e, 0)
B. (e, 0)
C. (2, 0)
D. (0, 2e)
29. Để tìm cực trị có điều kiện của hàm số f(x, y) với điều kiện g(x, y) = 0, phương pháp nhân tử Lagrange sử dụng hàm Lagrange L(x, y, λ) =
A. f(x, y) + λg(x, y)
B. f(x, y) - λg(x, y)
C. f(x, y) + λ∇g(x, y)
D. f(x, y) - λ∇f(x, y)
30. Giá trị lớn nhất của hàm số f(x, y) = xy trên miền D = {(x, y) | x² + y² ≤ 1} là:
