1. Tính diện tích mặt S được tham số hóa bởi r(u, v) = (u, v, u² + v²), với u² + v² ≤ 1.
A. π
B. π/2
C. π(5√5 - 1)/6
D. π(5√5 + 1)/6
2. Công thức nào sau đây là công thức đổi biến trong tích phân kép từ tọa độ Descartes sang tọa độ cực?
A. dA = dr dθ
B. dA = r dr dθ
C. dA = r² dr dθ
D. dA = ρ² sin(φ) dρ dφ dθ
3. Định lý Divergence (Gauss) liên hệ tích phân nào với nhau?
A. Tích phân đường và tích phân mặt.
B. Tích phân mặt và tích phân khối.
C. Tích phân đường và tích phân khối.
D. Tích phân kép và tích phân bội ba.
4. Trong không gian Oxyz, phương trình nào sau đây biểu diễn một mặt cầu?
A. x² + y² - z² = 1
B. x² + y² + z² = 1
C. x² + 2y² + z² = 1
D. x + y + z = 1
5. Cho hàm số f(x, y, z). Vi phân toàn phần cấp một của f là:
A. df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy + ∂f/∂z dz
B. df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy
C. df = (∂f/∂x + ∂f/∂y + ∂f/∂z) (dx + dy + dz)
D. df = ∂²f/∂x² dx + ∂²f/∂y² dy + ∂²f/∂z² dz
6. Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M₀(x₀, y₀, z₀) và có vectơ chỉ phương a = (a₁, a₂, a₃) là:
A. x = x₀ + a₁t, y = y₀ + a₂t, z = z₀ + a₃t
B. x = x₀ + a₁ + t, y = y₀ + a₂ + t, z = z₀ + a₃ + t
C. x = a₁ + x₀t, y = a₂ + y₀t, z = a₃ + z₀t
D. x = x₀a₁ + t, y = y₀a₂ + t, z = z₀a₃ + t
7. Tính tích phân bội ba ∫∫∫V dV, với V là hình hộp chữ nhật giới hạn bởi 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3.
8. Xét hàm số f(x, y) = x³ + y³ - 3xy. Điểm dừng nào sau đây là điểm cực tiểu?
A. (0, 0)
B. (1, 1)
C. (-1, -1)
D. Không có điểm cực tiểu.
9. Cho trường vectơ F(x, y, z) = (y, z, x). Tính div(F).
10. Trong tọa độ cầu, góc θ được đo từ trục nào?
A. Trục Ox
B. Trục Oy
C. Trục Oz
D. Mặt phẳng Oxy
11. Định lý Stokes liên hệ tích phân nào với nhau?
A. Tích phân đường loại 1 và tích phân mặt loại 1.
B. Tích phân đường loại 2 và tích phân mặt loại 2.
C. Tích phân kép và tích phân bội ba.
D. Tích phân đường loại 1 và tích phân bội ba.
12. Cho trường vectơ F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)). Điều kiện nào sau đây đảm bảo F là trường vectơ bảo toàn trong miền D đơn liên?
A. ∂P/∂x = ∂Q/∂y
B. ∂P/∂y = ∂Q/∂x
C. ∂²P/∂x² + ∂²Q/∂y² = 0
D. div(F) = 0
13. Ý nghĩa hình học của gradient của hàm số f(x, y) tại một điểm là gì?
A. Vectơ chỉ phương của đường tiếp tuyến với đường mức tại điểm đó.
B. Vectơ vuông góc với đường mức tại điểm đó và chỉ hướng tăng nhanh nhất của hàm số.
C. Vectơ chỉ hướng giảm nhanh nhất của hàm số.
D. Vectơ tiếp tuyến với mặt cong z = f(x, y).
14. Tính curl của trường vectơ F(x, y, z) = (xy, yz, xz).
A. (−y, −z, −x)
B. (y, z, x)
C. (−z, −x, −y)
D. (z, x, y)
15. Tính tích phân mặt ∫∫S z dS, với S là phần mặt phẳng x + y + z = 1 nằm trong октан thứ nhất.
A. √(3)/6
B. √(3)/3
C. √(3)/2
D. √(3)
16. Cho hàm số f(x, y) = x²y + xy². Tìm gradient của f tại điểm (1, 1).
A. (3, 3)
B. (1, 1)
C. (2, 2)
D. (0, 0)
17. Ứng dụng của định lý Green là gì?
A. Tính tích phân đường loại 1.
B. Tính tích phân mặt loại 1.
C. Chuyển tích phân đường loại 2 thành tích phân kép trên miền phẳng.
D. Chuyển tích phân mặt loại 2 thành tích phân đường.
18. Tính tích phân đường ∫C (x² + y²) ds, với C là đường tròn x² + y² = R.
A. 2πR³
B. πR³
C. 2πR²
D. πR²
19. Tính tích phân kép ∫∫D (x + y) dA, với D là miền tam giác giới hạn bởi các đường thẳng y = 0, x = 1, y = x.
A. 1/2
B. 2/3
C. 5/6
D. 1
20. Cho trường vectơ bảo toàn F. Điều gì sau đây là đúng về tích phân đường cong kín ∫C F · dr?
A. Luôn dương.
B. Luôn âm.
C. Luôn bằng 0.
D. Phụ thuộc vào hướng đường cong.
21. Tính tích phân đường loại 1 của hàm số f(x, y) = x + y trên đường cong C là đoạn thẳng từ điểm A(0, 0) đến B(1, 2).
A. √(5)
B. 2√(5)
C. 3√(5)
D. 4√(5)
22. Trong không gian Oxyz, vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) có phương trình: 2x - y + 3z - 5 = 0?
A. (2; -1; 3)
B. (2; 1; 3)
C. (2; -1; -3)
D. (-2; 1; 3)
23. Trong tích phân trụ, biến đổi dz dr dθ tương ứng với biến đổi nào trong tọa độ Descartes?
A. dx dy dz
B. dx dy
C. dx dz
D. dy dz
24. Đổi thứ tự tích phân trong tích phân lặp ∫0¹ ∫x²¹ f(x, y) dy dx.
A. ∫0¹ ∫0√y f(x, y) dx dy
B. ∫0¹ ∫√y¹ f(x, y) dx dy
C. ∫0¹ ∫0ˣ² f(x, y) dx dy
D. ∫x²¹ ∫0¹ f(x, y) dx dy
25. Trong tọa độ trụ, điểm có tọa độ Descartes (x, y, z) = (1, √3, 2) có tọa độ trụ (r, θ, z) là:
A. (2, π/3, 2)
B. (2, π/6, 2)
C. (4, π/3, 2)
D. (4, π/6, 2)
26. Trong các khẳng định sau về đạo hàm riêng, khẳng định nào SAI?
A. Nếu hàm số f(x, y) có đạo hàm riêng theo x và y tại (x₀, y₀) thì f(x, y) liên tục tại (x₀, y₀).
B. Đạo hàm riêng của f(x, y) theo x tại (x₀, y₀) đo tốc độ thay đổi của f theo hướng trục Ox khi y cố định.
C. Đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp fxy và fyx bằng nhau nếu các đạo hàm riêng liên tục.
D. Đạo hàm riêng được sử dụng để tìm cực trị của hàm số nhiều biến.
27. Điều kiện nào sau đây là điều kiện cần để hàm số f(x, y) đạt cực trị tại điểm (x₀, y₀)?
A. ∇f(x₀, y₀) = (0, 0)
B. Δf(x₀, y₀) > 0
C. Δf(x₀, y₀) < 0
D. fxx(x₀, y₀) > 0 và fyy(x₀, y₀) > 0
28. Cho hàm số f(x, y) = xy/(x² + y²), nếu (x, y) ≠ (0, 0) và f(0, 0) = 0. Hàm số f có liên tục tại (0, 0) không?
A. Có, vì giới hạn của f(x, y) khi (x, y) → (0, 0) tồn tại và bằng f(0, 0).
B. Không, vì giới hạn của f(x, y) khi (x, y) → (0, 0) không tồn tại.
C. Có, vì f(x, y) xác định tại (0, 0).
D. Không xác định được.
29. Trong không gian Oxyz, vectơ nào sau đây vuông góc với cả hai vectơ a = (1, 2, -1) và b = (0, 1, 1)?
A. (3, -1, 1)
B. (3, -1, -1)
C. (3, 1, 1)
D. (-3, 1, 1)
30. Cho đường cong C tham số hóa bởi r(t) = (cos(t), sin(t), t), 0 ≤ t ≤ 2π. Đường cong này là hình gì?
A. Đường tròn nằm trong mặt phẳng xy.
B. Đường xoắn ốc.
C. Elip.
D. Đường thẳng.
