1. Đạo hàm theo hướng của hàm f(x, y) tại điểm (x0, y0) theo hướng vector đơn vị u cho biết:
A. Tốc độ thay đổi lớn nhất của f tại (x0, y0).
B. Tốc độ thay đổi của f tại (x0, y0) theo hướng u.
C. Hướng mà f tăng nhanh nhất tại (x0, y0).
D. Giá trị lớn nhất của đạo hàm riêng của f tại (x0, y0).
2. Trong các khẳng định sau về tích phân bội hai, khẳng định nào SAI?
A. Tích phân bội hai có thể dùng để tính thể tích dưới mặt z = f(x, y) trên miền D.
B. Tích phân bội hai có thể đổi thứ tự tích phân nếu miền D phù hợp.
C. Tích phân bội hai luôn dương nếu hàm số dưới dấu tích phân dương trên miền D.
D. Giá trị của tích phân bội hai luôn biểu diễn diện tích miền D.
3. Công thức Green liên hệ giữa:
A. Tích phân đường trên đường cong kín và tích phân mặt trên mặt giới hạn bởi đường cong đó.
B. Tích phân đường trên đường cong kín phẳng và tích phân bội hai trên miền phẳng giới hạn bởi đường cong đó.
C. Tích phân mặt trên mặt kín và tích phân bội ba trên miền không gian giới hạn bởi mặt đó.
D. Tích phân đường và tích phân mặt trong không gian 3 chiều.
4. Cho hàm f(x, y) = ln(x^2 + y^2). Miền xác định của hàm số này là:
A. R^2
B. R^2 {(0, 0)}
C. x^2 + y^2 > 0
D. x > 0, y > 0
5. Công thức Divergence (Gauss) liên hệ:
A. Tích phân đường và tích phân mặt.
B. Tích phân mặt và tích phân bội ba.
C. Tích phân đường và tích phân bội hai.
D. Tích phân bội hai và tích phân bội ba.
6. Trong tọa độ cầu, góc φ được đo từ:
A. Trục x dương
B. Trục y dương
C. Trục z dương
D. Mặt phẳng xy
7. Định lý Stokes liên hệ giữa:
A. Tích phân đường của trường vector quanh đường cong kín và tích phân mặt của curl trường vector trên mặt giới hạn bởi đường cong đó.
B. Tích phân mặt của trường vector trên mặt kín và tích phân bội ba của divergence trường vector trong miền giới hạn bởi mặt đó.
C. Tích phân đường của trường vector và tích phân bội hai trên miền phẳng.
D. Tích phân bội hai và tích phân bội ba.
8. Trong không gian Oxyz, phương trình nào sau đây biểu diễn một mặt phẳng?
A. x^2 + y^2 + z^2 = 9
B. x + y - 2z = 5
C. x^2 + y = 3
D. xy + yz + zx = 1
9. Trong bài toán tối ưu hóa có ràng buộc, phương pháp nhân tử Lagrange được dùng để:
A. Tìm cực trị tự do của hàm số.
B. Tìm cực trị có điều kiện của hàm số.
C. Giải phương trình đạo hàm riêng bằng 0.
D. Tính tích phân đường.
10. Tích phân ∫_(0)^(∞) e^(-x^2) dx là:
A. 1
B. π
C. √π/2
D. √π/2
11. Phương trình tiếp diện của mặt z = f(x, y) tại điểm (x0, y0, z0) là:
A. z - z0 = f_x(x0, y0)(x - x0) + f_y(x0, y0)(y - y0)
B. z = f_x(x0, y0)(x - x0) + f_y(x0, y0)(y - y0)
C. z - z0 = f_x(x, y)(x - x0) + f_y(x, y)(y - y0)
D. z - z0 = f_x(x0, y0)x + f_y(x0, y0)y
12. Điều kiện nào sau đây KHÔNG phải là điều kiện để một điểm (x0, y0) là cực trị địa phương của hàm f(x, y)?
A. ∇f(x0, y0) = 0
B. f_xx(x0, y0) > 0 và D(x0, y0) > 0
C. f_xx(x0, y0) < 0 và D(x0, y0) < 0
D. D(x0, y0) = f_xx(x0, y0)f_yy(x0, y0) - [f_xy(x0, y0)]^2
13. Cho hàm f(x, y) = e^(xy). Gradient của f tại điểm (1, 1) là:
A.
B. <1, 1>
C.
D. <2e, e>
14. Để tính tích phân bội ba ∫∫∫_V f(x, y, z) dV trong tọa độ cầu, Jacobian của phép biến đổi tọa độ là:
A. r
B. r^2
C. ρ
D. ρ^2 sin(φ)
15. Nếu curl F = 0 trong một miền đơn liên thông D, thì trường vector F được gọi là:
A. Trường solenoid
B. Trường thế (trường bảo toàn)
C. Trường vector đơn vị
D. Trường vô hướng
16. Trong tọa độ trụ, điểm có tọa độ Descartes (1, 1, 2) có tọa độ trụ là:
A. (√2, π/4, 2)
B. (√2, π/2, 2)
C. (2, π/4, 1)
D. (2, π/2, 1)
17. Chuỗi Taylor của hàm f(x, y) tại điểm (a, b) được sử dụng để:
A. Tính đạo hàm riêng của f(x, y).
B. Xấp xỉ giá trị của f(x, y) gần điểm (a, b).
C. Tìm cực trị của f(x, y).
D. Tính tích phân bội của f(x, y).
18. Cho đường cong C tham số hóa bởi r(t) = , 0 ≤ t ≤ 2π. Độ dài của đường cong C là:
A. 2π
B. 2π√2
C. 4π
D. 4π√2
19. Khẳng định nào sau đây về đạo hàm riêng là đúng?
A. Nếu hàm số f(x, y) có đạo hàm riêng tại (x0, y0) thì f(x, y) liên tục tại (x0, y0).
B. Nếu hàm số f(x, y) liên tục tại (x0, y0) thì f(x, y) có đạo hàm riêng tại (x0, y0).
C. Sự tồn tại của đạo hàm riêng theo mọi hướng tại một điểm đảm bảo hàm số khả vi tại điểm đó.
D. Nếu hàm số f(x, y) khả vi tại (x0, y0) thì f(x, y) có đạo hàm riêng tại (x0, y0) theo mọi hướng.
20. Cho miền D giới hạn bởi y = x^2 và y = x. Tích phân ∫∫_D xy dA được tính bằng tích phân lặp nào?
A. ∫_(0)^(1) ∫_(x^2)^(x) xy dy dx
B. ∫_(0)^(1) ∫_(x)^(x^2) xy dy dx
C. ∫_(x^2)^(x) ∫_(0)^(1) xy dx dy
D. ∫_(0)^(1) ∫_(0)^(x) xy dy dx
21. Để chuyển tích phân bội hai từ tọa độ Descartes sang tọa độ cực, ta nhân thêm Jacobian là:
A. r
B. r^2
C. sin(θ)
D. cos(θ)
22. Tích phân mặt ∫∫_S F · dS, với F là trường vector và S là mặt kín, biểu diễn điều gì về trường vector F qua mặt S?
A. Tổng thông lượng của F qua S.
B. Độ dài trung bình của vector F trên S.
C. Diện tích của mặt S.
D. Công của trường F dọc theo biên của S.
23. Cho trường vector F(x, y, z) = (P, Q, R). Điều kiện nào sau đây là điều kiện cần để trường F là trường thế (trường bảo toàn)?
A. div F = 0
B. curl F = 0
C. grad P = (Q, R)
D. ∫_C F · dr = 0 với mọi đường cong kín C.
24. Tích phân đường loại 2 ∫_C Pdx + Qdy phụ thuộc vào yếu tố nào sau đây, nếu C là đường cong kín?
A. Chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối của C.
B. Phụ thuộc vào hình dạng của đường cong C và hàm P, Q.
C. Không phụ thuộc vào đường cong C mà chỉ phụ thuộc vào hàm P, Q.
D. Luôn bằng 0 nếu P và Q có đạo hàm riêng liên tục.
25. Trong không gian Oxyz, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 2x - y + 3z = 7 là:
A. <2, -1, 3>
B. <2, 1, 3>
C. <1, -1, 3>
D. <2, -1, 7>
26. Cho hàm số f(x, y) = x^3y^2. Đạo hàm riêng cấp hai ∂^2f/∂x∂y bằng:
A. 6xy
B. 6x^2y
C. 3x^2y^2
D. 2x^3y
27. Đường cong mức của hàm f(x, y) = x^2 + y^2 là:
A. Đường thẳng
B. Đường tròn
C. Parabol
D. Hyperbol
28. Divergence của trường vector F = (x^2, y^2, z^2) tại điểm (1, 1, 1) bằng:
29. Giá trị lớn nhất của hàm f(x, y) = x^2 + y^2 trên miền x^2 + y^2 ≤ 1 là:
A. 0
B. 1
C. 2
D. Không tồn tại
30. Hessian matrix của hàm f(x, y) được sử dụng để:
A. Tính gradient của f.
B. Xác định tính chất cực trị địa phương của f.
C. Tính đạo hàm theo hướng của f.
D. Tìm đường cong mức của f.
