1. Miền xác định của hàm số f(x, y) = √(4 - x^2 - y^2) là:
A. Hình tròn mở tâm (0, 0) bán kính 2.
B. Hình tròn đóng tâm (0, 0) bán kính 2.
C. Phần bên ngoài hình tròn tâm (0, 0) bán kính 2.
D. Toàn bộ mặt phẳng Oxy.
2. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào sau đây vuông góc với trục Oz?
A. Mặt phẳng (Oxy)
B. Mặt phẳng (Oxz)
C. Mặt phẳng (Oyz)
D. Mặt phẳng x + y + z = 1
3. Trong tọa độ trụ, phương trình z = r biểu diễn hình gì?
A. Mặt nón
B. Mặt trụ
C. Mặt cầu
D. Mặt paraboloid
4. Trong tọa độ cầu, yếu tố thể tích dV được biểu diễn là:
A. ρ^2 sin(φ) dρ dθ dφ
B. ρ sin(φ) dρ dθ dφ
C. r dr dθ dz
D. dx dy dz
5. Đường cong mức của hàm số f(x, y) = x^2 - y^2 tại mức c = 1 là:
A. Đường elip
B. Đường hypebol
C. Đường parabol
D. Đường tròn
6. Mặt bậc hai nào sau đây là mặt hyperboloid một tầng?
A. x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1
B. x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = 1
C. x^2/a^2 - y^2/b^2 - z^2/c^2 = 1
D. x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = -1
7. Tính chất tuyến tính của phép biến đổi Laplace là:
A. L{af(t) + bg(t)} = aL{f(t)} + bL{g(t)}
B. L{f(t)g(t)} = L{f(t)}L{g(t)}
C. L{f(t)/g(t)} = L{f(t)}/L{g(t)}
D. L{f(at)} = aL{f(t)}
8. Trong không gian Oxyz, phương trình nào sau đây biểu diễn một mặt trụ tròn xoay?
A. x^2 + y^2 = z^2
B. x^2 + y^2 = 4
C. x^2 + y^2 + z^2 = 4
D. z = x^2 + y^2
9. Công thức Green liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân mặt
B. Tích phân đường và tích phân bội hai
C. Tích phân mặt và tích phân bội ba
D. Tích phân bội hai và tích phân bội ba
10. Tích phân đường loại 1 ∫_C f(x, y) ds, với C là đoạn thẳng nối từ (0, 0) đến (1, 1) và f(x, y) = x + y, có giá trị là:
A. √2
B. 2√2
C. √2/2
D. 2
11. Tích phân mặt ∫∫_S dS, với S là mặt cầu x^2 + y^2 + z^2 = R^2, có giá trị là:
A. 4πR^2
B. (4/3)πR^3
C. 2πR^2
D. πR^2
12. Cho hàm số f(x, y) khả vi. Phát biểu nào sau đây về vectơ gradient ∇f(x, y) là đúng?
A. ∇f(x, y) vuông góc với đường cong mức của f tại (x, y).
B. ∇f(x, y) tiếp tuyến với đường cong mức của f tại (x, y).
C. ∇f(x, y) cùng phương với đường cong mức của f tại (x, y).
D. ∇f(x, y) song song với trục Ox.
13. Giá trị lớn nhất của hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x trên miền D = {(x, y) | x^2 + y^2 ≤ 4} là:
14. Cho chuỗi ∑_(n=1)^∞ a_n. Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của chuỗi phát biểu:
A. Chuỗi hội tụ khi và chỉ khi lim_(n→∞) a_n = 0.
B. Chuỗi hội tụ khi và chỉ khi với mọi ε > 0, tồn tại N sao cho với mọi m > n > N, |a_n - a_m| < ε.
C. Chuỗi hội tụ khi và chỉ khi với mọi ε > 0, tồn tại N sao cho với mọi m > n > N, |a_(n+1) + a_(n+2) + ... + a_m| < ε.
D. Chuỗi hội tụ khi và chỉ khi lim_(n→∞) |a_(n+1)/a_n| < 1.
15. Chuỗi lũy thừa ∑_(n=0)^∞ (x/2)^n có bán kính hội tụ là:
A. 1
B. 2
C. 1/2
D. Vô cùng
16. Cho hàm số f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy. Điểm dừng của hàm số này là:
A. (0, 0) và (1, 1)
B. (0, 0) và (-1, -1)
C. (1, 0) và (0, 1)
D. Không có điểm dừng
17. Chuỗi nào sau đây hội tụ?
A. ∑_(n=1)^∞ 1/n
B. ∑_(n=1)^∞ (-1)^n / √n
C. ∑_(n=1)^∞ n / (n+1)
D. ∑_(n=1)^∞ √n
18. Trong các khẳng định sau về hội tụ của chuỗi số, khẳng định nào SAI?
A. Nếu chuỗi ∑a_n hội tụ thì lim_(n→∞) a_n = 0.
B. Nếu lim_(n→∞) a_n = 0 thì chuỗi ∑a_n hội tụ.
C. Nếu chuỗi ∑|a_n| hội tụ thì chuỗi ∑a_n hội tụ.
D. Nếu chuỗi ∑a_n hội tụ thì chuỗi ∑ca_n (c là hằng số) cũng hội tụ.
19. Cho hàm số f(x, y) = e^(x^2 + y^2). Đạo hàm theo hướng của vectơ v = (1, 1) tại điểm (0, 0) là:
20. Định lý Stokes liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân mặt
B. Tích phân đường và tích phân bội hai
C. Tích phân mặt và tích phân bội ba
D. Tích phân bội hai và tích phân bội ba
21. Đổi thứ tự tích phân trong ∫_0^1 ∫_y^1 f(x, y) dx dy ta được:
A. ∫_0^1 ∫_0^x f(x, y) dy dx
B. ∫_y^1 ∫_0^1 f(x, y) dy dx
C. ∫_0^1 ∫_0^y f(x, y) dy dx
D. ∫_0^1 ∫_x^1 f(x, y) dy dx
22. Định lý Divergence (Gauss) liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân mặt
B. Tích phân đường và tích phân bội hai
C. Tích phân mặt và tích phân bội ba
D. Tích phân bội hai và tích phân bội ba
23. Tích phân bội hai ∫∫_D xy dA, với D là miền giới hạn bởi x = 0, y = 0, x + y = 1, có giá trị là:
A. 1/24
B. 1/12
C. 1/6
D. 1/4
24. Hàm số f(x, y) = x^3 + y^3 - 3x - 3y có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1
B. 2
C. 4
D. Không có điểm cực trị
25. Đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp ∂^2f/∂x∂y của hàm số f(x, y) = sin(xy) là:
A. x^2cos(xy)
B. y^2cos(xy)
C. cos(xy) - xy sin(xy)
D. cos(xy) + xy cos(xy)
26. Tích phân ∫_C (x^2 dy - y^2 dx), với C là đường tròn đơn vị ngược chiều kim đồng hồ, có giá trị là:
27. Cho trường vectơ F(x, y, z) = (P, Q, R). Điều kiện để trường vectơ F là trường thế là:
A. ∂P/∂y = ∂Q/∂x, ∂P/∂z = ∂R/∂x, ∂Q/∂z = ∂R/∂y
B. ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z = 0
C. ∂P/∂x = ∂Q/∂y = ∂R/∂z
D. P = Q = R
28. Cho hàm số f(x, y) = x^2 + 2y^2. Tìm cực trị của f(x, y) với điều kiện x + y = 1.
A. Cực tiểu tại (2/3, 1/3)
B. Cực đại tại (2/3, 1/3)
C. Cực tiểu tại (1/3, 2/3)
D. Cực đại tại (1/3, 2/3)
29. Tính phân kỳ (divergence) của trường vectơ F(x, y, z) = (x^2, xy, xz) là:
A. 2x + x + x
B. 2x + x
C. 2x
D. 0
30. Hàm số f(x, y) = {xy / (x^2 + y^2) nếu (x, y) ≠ (0, 0), 0 nếu (x, y) = (0, 0)} có liên tục tại (0, 0) không?
A. Liên tục
B. Không liên tục
C. Liên tục theo x nhưng không liên tục theo y
D. Liên tục theo y nhưng không liên tục theo x
