1. Giá trị lớn nhất của hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 trên miền D = {(x, y) | x^2 + y^2 ≤ 1} là:
A. 0
B. 1
C. 2
D. Không tồn tại
2. Ứng dụng của tích phân kép để tính:
A. Độ dài đường cong.
B. Diện tích mặt cong.
C. Diện tích miền phẳng.
D. Thể tích vật rắn.
3. Công thức Stokes liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân mặt.
B. Tích phân mặt và tích phân khối.
C. Tích phân đường và tích phân kép.
D. Tích phân kép và tích phân khối.
4. Điều kiện cần để hàm số f(x, y) đạt cực trị địa phương tại (x0, y0) là:
A. ∇f(x0, y0) = 0.
B. ∇^2f(x0, y0) > 0.
C. ∇^2f(x0, y0) < 0.
D. f_xx(x0, y0) > 0.
5. Định lý Divergence liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân mặt.
B. Tích phân mặt và tích phân khối.
C. Tích phân đường và tích phân kép.
D. Tích phân kép và tích phân khối.
6. Đạo hàm của hàm vector r(t) = (cos(t), sin(t), t) là:
A. (-sin(t), cos(t), 1)
B. (sin(t), -cos(t), 1)
C. (-cos(t), -sin(t), 1)
D. (cos(t), sin(t), 0)
7. Mặt nào sau đây là mặt bậc hai?
A. z = xy
B. z = x + y
C. z = x^3 + y^2
D. z = sin(x) + cos(y)
8. Tích phân đường loại 1 ∫_C f(x, y) ds, với f(x, y) = x + y và C là đoạn thẳng từ (0, 0) đến (1, 1), có giá trị là:
A. √2
B. 2√2
C. 3√2/2
D. √2/2
9. Cho miền D giới hạn bởi y = x^2 và y = 4. Miền D là miền loại mấy trong tích phân kép?
A. Chỉ là miền loại 1.
B. Chỉ là miền loại 2.
C. Vừa là miền loại 1, vừa là miền loại 2.
D. Không phải miền loại 1 và cũng không phải miền loại 2.
10. Công thức nào sau đây là công thức đổi biến sang tọa độ cực trong tích phân kép?
A. x = r cos(θ), y = r sin(θ), dA = r dr dθ
B. x = r cos(θ), y = r sin(θ), dA = dr dθ
C. x = r sin(θ), y = r cos(θ), dA = r dr dθ
D. x = r, y = θ, dA = r dr dθ
11. Tích phân ∫∫_D (x + y) dA, với D là miền tam giác giới hạn bởi các đường y = 0, x = 1, y = x, có giá trị là:
A. 1/2
B. 2/3
C. 1
D. 5/6
12. Cho hàm số f(x, y) = sin(xy). Đạo hàm riêng cấp hai ∂^2f/∂x∂y bằng:
A. -xysin(xy) + cos(xy)
B. -xycos(xy)
C. -xysin(xy) + 2cos(xy)
D. -x^2cos(xy)
13. Đường cong nào sau đây là đường mức của hàm số f(x, y) = x^2 + y^2?
A. Đường thẳng
B. Parabol
C. Elip
D. Đường tròn
14. Cho hàm số f(x, y) = x^2 - y^2. Điểm (0, 0) là điểm:
A. Cực đại địa phương.
B. Cực tiểu địa phương.
C. Điểm yên ngựa.
D. Không phải điểm dừng.
15. Sai phân hữu hạn tiến của hàm f(x) tại điểm x_i được ký hiệu là:
A. Δf(x_i) = f(x_{i+1}) - f(x_i)
B. Δf(x_i) = f(x_{i}) - f(x_{i-1})
C. Δf(x_i) = f(x_{i+1}) - f(x_{i-1})
D. Δf(x_i) = f(x_{i}) - f(x_{i+1})
16. Cho hàm số f(x, y, z). Gradient của f tại điểm (x0, y0, z0) chỉ hướng:
A. Theo hướng giảm nhanh nhất của hàm số.
B. Theo hướng không đổi của hàm số.
C. Theo hướng tăng nhanh nhất của hàm số.
D. Theo hướng vuông góc với mặt mức.
17. Hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y đạt cực tiểu địa phương tại điểm nào?
A. (0, 0)
B. (1, 2)
C. (2, 4)
D. (-1, -2)
18. Tích phân ∫_0^1 ∫_0^x dy dx bằng:
19. Tích phân mặt ∫∫_S dS tính:
A. Thể tích của vật thể.
B. Diện tích của mặt S.
C. Độ dài đường cong trên S.
D. Khối lượng của mặt S.
20. Định lý Green liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân mặt.
B. Tích phân đường và tích phân kép.
C. Tích phân mặt và tích phân khối.
D. Tích phân bội ba và tích phân kép.
21. Trong không gian R^3, phương trình nào sau đây biểu diễn một mặt phẳng?
A. x^2 + y^2 + z^2 = 1
B. x + 2y - z = 5
C. z = x^2 + y^2
D. xy + z = 0
22. Đạo hàm riêng của hàm số f(x, y) = x^3y^2 + 2x - y + 5 theo biến x là:
A. 3x^2y^2 + 2
B. 2x^3y - 1
C. 3x^2y^2 + 2 - y
D. x^3y^2 + 2x - 1
23. Phương pháp nhân tử Lagrange được sử dụng để:
A. Tìm cực trị tự do của hàm nhiều biến.
B. Tìm cực trị có điều kiện của hàm nhiều biến.
C. Tính tích phân bội.
D. Giải phương trình vi phân.
24. Cho hàm số f(x, y) = e^(x^2 + y^2). Điểm (0, 0) là điểm:
A. Cực đại địa phương.
B. Cực tiểu địa phương.
C. Điểm yên ngựa.
D. Không phải điểm dừng.
25. Trong tọa độ cầu, điểm (x, y, z) = (0, 0, 2) được biểu diễn là:
A. (ρ, θ, φ) = (2, 0, 0)
B. (ρ, θ, φ) = (2, π/2, π/2)
C. (ρ, θ, φ) = (2, bất kỳ, 0)
D. (ρ, θ, φ) = (2, bất kỳ, π/2)
26. Cho trường vector F(x, y, z) = (2x, 2y, 2z). Tính div(F) tại điểm (1, 2, 3).
27. Vector pháp tuyến của mặt z = f(x, y) là:
A. (∂f/∂x, ∂f/∂y, 1)
B. (∂f/∂x, ∂f/∂y, -1)
C. (-∂f/∂x, -∂f/∂y, 1)
D. (-∂f/∂x, ∂f/∂y, 1)
28. Trong tọa độ trụ, điểm (x, y, z) = (1, 1, 1) được biểu diễn là:
A. (r, θ, z) = (√2, π/4, 1)
B. (r, θ, z) = (√2, π/2, 1)
C. (r, θ, z) = (2, π/4, 1)
D. (r, θ, z) = (2, π/2, 1)
29. Tích phân ∫∫∫_V dV tính:
A. Diện tích miền phẳng.
B. Diện tích mặt cong.
C. Thể tích vật thể V.
D. Khối lượng đường cong.
30. Cho trường vector F(x, y) = (-y, x). Tính curl(F) tại điểm bất kỳ.
