1. Định lý Stokes liên hệ giữa:
A. Tích phân đường dọc theo đường cong kín và tích phân mặt trên mặt giới hạn bởi đường cong đó.
B. Tích phân đường trên đường cong kín phẳng và tích phân kép trên miền phẳng.
C. Tích phân mặt và tích phân khối.
D. Tích phân bội hai và tích phân bội ba.
2. Jacobian của phép biến đổi tọa độ trụ sang tọa độ Descartes là:
A. r
B. r^2
C. ρ
D. ρ^2*sin(φ)
3. Khai triển Taylor của hàm số f(x) tại điểm x = a là:
A. Biểu diễn hàm số f(x) dưới dạng chuỗi lũy thừa tại điểm x = a.
B. Biểu diễn hàm số f(x) dưới dạng tích phân.
C. Biểu diễn hàm số f(x) dưới dạng đa thức.
D. Biểu diễn hàm số f(x) dưới dạng chuỗi lượng giác.
4. Công thức khai triển Taylor của hàm số f(x) tại x = 0 (khai triển Maclaurin) là:
A. f(x) = ∑[n=0, ∞] (f^(n)(0) / n!) * x^n
B. f(x) = ∑[n=0, ∞] (f^(n)(x) / n!) * 0^n
C. f(x) = ∑[n=0, ∞] (f(0) / n!) * x^n
D. f(x) = ∑[n=0, ∞] (f^(n)(0) / n!)^n * x^n
5. Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑[n=0, ∞] a_n * (x - c)^n là:
A. Khoảng các giá trị của x mà chuỗi hội tụ.
B. Số R sao cho chuỗi hội tụ khi |x - c| < R và phân kỳ khi |x - c| > R.
C. Giá trị lớn nhất của x mà chuỗi hội tụ.
D. Giá trị nhỏ nhất của x mà chuỗi hội tụ.
6. Công thức tích phân từng phần là:
A. ∫udv = u∫dv - ∫vdu
B. ∫udv = uv - ∫vdu
C. ∫udv = u/v - ∫vdu
D. ∫udv = uv + ∫vdu
7. Để tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa, ta thường sử dụng:
A. Tiêu chuẩn so sánh trực tiếp.
B. Tiêu chuẩn D`Alembert (tỷ số) hoặc Cauchy (căn).
C. Tiêu chuẩn tích phân.
D. Tiêu chuẩn Leibniz.
8. Phương pháp hệ số bất định thường được dùng để tìm:
A. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất.
B. Nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất với vế phải có dạng đặc biệt.
C. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tách biến.
D. Nghiệm suy rộng của phương trình vi phân.
9. Chuỗi số ∑[n=1, ∞] 1/n^p hội tụ khi và chỉ khi:
A. p < 1
B. p ≤ 1
C. p > 1
D. p ≥ 1
10. Để tính tích phân ∫x*sin(x) dx bằng phương pháp tích phân từng phần, ta nên chọn u và dv như thế nào?
A. u = sin(x), dv = x dx
B. u = x, dv = sin(x) dx
C. u = x*sin(x), dv = dx
D. u = dx, dv = x*sin(x)
11. Tọa độ trụ (r, θ, z) liên hệ với tọa độ Descartes (x, y, z) như thế nào?
A. x = r*cos(θ), y = r*sin(θ), z = z
B. x = r*sin(θ), y = r*cos(θ), z = z
C. x = r*cos(θ), y = r*sin(θ), z = r
D. x = r, y = θ, z = z
12. Tiêu chuẩn so sánh giới hạn được sử dụng để:
A. Tính tổng của chuỗi số.
B. Xác định sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số bằng cách so sánh với một chuỗi đã biết tính chất hội tụ.
C. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa.
D. Tính đạo hàm của chuỗi số.
13. Tính tích phân xác định ∫[0, 1] x^2 dx.
A. 1/2
B. 1/3
C. 1
D. 2/3
14. Định lý Gauss (Định lý phân kỳ) liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân mặt.
B. Tích phân đường và tích phân khối.
C. Tích phân mặt trên mặt kín và tích phân khối trong miền giới hạn bởi mặt đó.
D. Tích phân mặt và tích phân kép.
15. Tích phân mặt loại 2 dùng để tính:
A. Diện tích bề mặt.
B. Khối lượng của lớp vỏ mỏng.
C. Thông lượng của trường vectơ qua mặt.
D. Thể tích vật thể.
16. Tọa độ cầu (ρ, θ, φ) liên hệ với tọa độ Descartes (x, y, z) như thế nào?
A. x = ρ*sin(φ)*cos(θ), y = ρ*sin(φ)*sin(θ), z = ρ*cos(φ)
B. x = ρ*cos(φ)*cos(θ), y = ρ*sin(φ)*sin(θ), z = ρ*sin(φ)
C. x = ρ*cos(θ), y = ρ*sin(θ), z = φ
D. x = ρ*sin(θ), y = ρ*cos(θ), z = ρ*cos(φ)
17. Phương pháp đổi biến số thường được sử dụng để:
A. Làm phức tạp hóa biểu thức dưới dấu tích phân.
B. Đơn giản hóa biểu thức dưới dấu tích phân, đưa về dạng tích phân cơ bản hoặc đã biết.
C. Tăng bậc của hàm số dưới dấu tích phân.
D. Tính tích phân xác định bằng máy tính bỏ túi.
18. Ứng dụng của khai triển Taylor là:
A. Tính đạo hàm của hàm số.
B. Tính gần đúng giá trị hàm số, tính tích phân, giải phương trình vi phân.
C. Tìm cực trị của hàm số.
D. Vẽ đồ thị hàm số.
19. Tích phân suy rộng loại 1 là tích phân với:
A. Cận tích phân hữu hạn và hàm số bị chặn.
B. Cận tích phân vô hạn hoặc hàm số không bị chặn trên miền tích phân.
C. Cận tích phân hữu hạn và hàm số không bị chặn.
D. Cận tích phân vô hạn và hàm số bị chặn.
20. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là:
A. Một nghiệm cụ thể thỏa mãn phương trình.
B. Tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình, thường chứa hằng số tùy ý.
C. Nghiệm tại một điểm ban đầu cho trước.
D. Nghiệm có dạng chuỗi lũy thừa.
21. Tích phân từng phần được sử dụng hiệu quả nhất khi tích phân các hàm số dạng:
A. Tích của hai hàm số khác loại (ví dụ: đa thức và lượng giác).
B. Thương của hai hàm số.
C. Tổng của hai hàm số.
D. Hàm số mũ đơn thuần.
22. Jacobian của phép biến đổi tọa độ cầu sang tọa độ Descartes là:
A. r
B. r^2
C. ρ
D. ρ^2*sin(φ)
23. Tích phân đường loại 1 dùng để tính:
A. Diện tích bề mặt.
B. Khối lượng của dây cong với mật độ biến đổi.
C. Thể tích vật thể.
D. Công của lực dọc theo đường cong.
24. Tích phân bất định của hàm số f(x) = 2x - 3 là:
A. x^2 - 3x + C
B. 2x^2 - 3x + C
C. x - 3x^2 + C
D. 2 - 3 + C
25. Tích phân mặt loại 1 dùng để tính:
A. Thông lượng của trường vectơ qua mặt.
B. Diện tích bề mặt.
C. Thể tích vật thể.
D. Công của lực.
26. Định lý Green liên hệ giữa:
A. Tích phân đường trên đường cong kín và tích phân mặt trên mặt giới hạn bởi đường cong đó.
B. Tích phân đường trên đường cong kín phẳng và tích phân kép trên miền phẳng giới hạn bởi đường cong đó.
C. Tích phân mặt và tích phân khối.
D. Tích phân bội hai và tích phân bội ba.
27. Phương trình vi phân cấp 1 tuyến tính có dạng:
A. y` + p(x)y = q(x)
B. y`` + p(x)y` + q(x)y = r(x)
C. y` + p(y)y = q(x)
D. y` * y = q(x)
28. Tích phân đường loại 2 dùng để tính:
A. Diện tích bề mặt.
B. Khối lượng của dây cong.
C. Thể tích vật thể.
D. Công của lực dọc theo đường cong.
29. Chuỗi lũy thừa có dạng tổng quát là:
A. ∑[n=0, ∞] a_n * x^n
B. ∑[n=0, ∞] a_n / x^n
C. ∑[n=0, ∞] a_n * n^x
D. ∑[n=0, ∞] a_n + x^n
30. Phương trình vi phân tách biến có dạng:
A. M(x)dx + N(y)dy = 0
B. M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
C. y` + p(x)y = q(x)
D. y`` + ay` + by = 0
