Đề thi, bài tập trắc nghiệm online Giải tích 2 – Đề 14

Định lý Stokes là sự tổng quát hóa của định lý Green từ miền phẳng sang mặt cong trong không gian 3D. Định lý Green là trường hợp đặc biệt của định lý Stokes khi mặt cong nằm trong mặt phẳng xy.

Phương pháp tích phân từng phần xuất phát từ quy tắc đạo hàm của tích: (uv)' = u'v + uv'. Lấy tích phân hai vế và sắp xếp lại ta được công thức tích phân từng phần: ∫u dv = uv - ∫v du.

Phần tử thể tích dV trong tọa độ cầu là dV = ρ² sin(φ) dρ dθ dφ, trong đó ρ là khoảng cách từ gốc tọa độ, θ là góc phương vị, và φ là góc cực. Jacobian của phép biến đổi tọa độ cầu là ρ² sin(φ).

Tích phân mặt loại 2 ∫∫[S] F · dS (với F là trường vectơ vận tốc chất lưu) biểu diễn thông lượng (flux) của chất lưu qua mặt S, tức là lượng chất lưu chảy qua S trong một đơn vị thời gian. Công của trường lực liên quan đến tích phân đường hoặc tích phân mặt loại 1 nếu F là trường lực. Lưu thông liên quan đến tích phân đường của trường vectơ.

Tọa độ cực (r, θ) rất phù hợp với miền hình tròn vì phương trình đường tròn trong tọa độ cực có dạng đơn giản r = const hoặc r = r(θ). Jacobian của phép biến đổi tọa độ cực là r, giúp đơn giản hóa tích phân. Tọa độ trụ và cầu thường dùng cho tích phân bội ba trong không gian 3D.

Chuỗi Taylor của eˣ tại x = 0 (chuỗi Maclaurin) là ∑[n=0, ∞] xⁿ/n! = 1 + x + x²/2! + x³/3! + .... Các lựa chọn khác là chuỗi Taylor cho e⁻ˣ, cos(x), sin(x) hoặc các biến thể của chúng.

Trong không gian 3D (hoặc 2D), nếu trường vectơ F có curl F = 0 trên một miền đơn liên, thì F là trường Gradient. Điều kiện curl F = 0 là điều kiện cần và đủ cho trường vectơ bảo toàn trên miền đơn liên. div F = 0 liên quan đến trường solenoid (trường ống), không phải trường gradient. Trường xoáy là trường có curl khác 0.

Định lý Clairaut (hoặc định lý đạo hàm hỗn hợp) phát biểu rằng nếu các đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp f_xy và f_yx liên tục tại điểm (x, y) thì f_xy(x, y) = f_yx(x, y). Điều này không đúng trong mọi trường hợp (Đáp án 1 sai). Các đáp án 2 và 4 là các trường hợp đặc biệt nhưng không phải điều kiện cần và đủ.

Công thức Green (trong mặt phẳng) liên hệ tích phân đường dọc theo biên của một miền phẳng kín D với tích phân kép trên miền D. Nó là trường hợp đặc biệt của định lý Stokes trong không gian 2D.

Khi tính ∂f/∂x, ta coi y là hằng số. Đạo hàm của x³y² theo x là 3x²y². Đạo hàm của sin(xy) theo x (dùng quy tắc hàm hợp) là cos(xy) * ∂(xy)/∂x = cos(xy) * y = ycos(xy). Vậy ∂f/∂x = 3x²y² + ycos(xy).

Jacobian của phép biến đổi từ tọa độ Descartes (x, y, z) sang tọa độ trụ (r, θ, z) là r. Điều này xuất hiện trong công thức đổi biến số cho tích phân bội ba khi chuyển sang tọa độ trụ: dV = r dz dr dθ.

Công thức tính tích phân đường loại 1 là ∫[C] f(x, y) ds = ∫[a, b] f(x(t), y(t)) ||r'(t)|| dt, trong đó ||r'(t)|| = √((x'(t))² + (y'(t))²) là độ dài vận tốc của tham số hóa r(t).

Tích phân suy rộng loại 1 là tích phân mà miền lấy tích phân kéo dài đến vô cực (ít nhất một trong các cận tích phân là vô cực). Tích phân suy rộng loại 2 là tích phân mà hàm số dưới dấu tích phân không bị chặn tại một điểm trong hoặc tại biên của miền tích phân. Đáp án 1 mô tả tích phân suy rộng loại 2. Đáp án 2 sai về cận tích phân. Đáp án 4 không đúng, tích phân suy rộng có thể hội tụ hoặc phân kỳ.

Định lý Divergence (hoặc định lý Gauss) liên hệ tích phân mặt của một trường vectơ trên một mặt kín S với tích phân bội ba của divergence của trường vectơ đó trên miền V bị giới hạn bởi S. Nó là công cụ quan trọng để chuyển đổi giữa tích phân mặt và tích phân thể tích.

Áp dụng tiêu chuẩn tỷ lệ cho chuỗi lũy thừa, ta xét giới hạn L = lim [n→∞] |(a_(n+1))/(a_n)| = lim [n→∞] |((n+1)!x^(n+1))/(n!xⁿ)| = lim [n→∞] |(n+1)x| = ∞ nếu x ≠ 0 và L = 0 nếu x = 0. Để chuỗi hội tụ, cần L < 1. Điều này chỉ xảy ra khi x = 0. Vậy bán kính hội tụ R = 0.

Tiêu chuẩn so sánh giới hạn (và tiêu chuẩn so sánh thông thường) dùng để so sánh một chuỗi dương ∑a_n với một chuỗi dương khác ∑b_n mà ta đã biết rõ tính hội tụ (ví dụ chuỗi p, chuỗi hình học). Từ đó suy ra tính hội tụ của ∑a_n dựa trên giới hạn tỷ số a_n/b_n.

Lấy tích phân hai vế của y' = 2x theo x ta được y = ∫2x dx = x² + C, với C là hằng số tích phân. Đáp án 1 là đạo hàm của x² không phải 2x. Đáp án 3 và 4 không phải là nghiệm của phương trình đã cho.

f_x = 2x, f_y = 2y. Tại (0, 0), f_x = 0 và f_y = 0, nên (0, 0) là điểm tới hạn. f_xx = 2, f_yy = 2, f_xy = 0. D = f_xx f_yy - (f_xy)² = 4 > 0 và f_xx = 2 > 0, nên (0, 0) là điểm cực tiểu.

Sai số dư R_n(x) trong khai triển Taylor bậc n thường tỉ lệ với (x-a)^(n+1). Cụ thể, theo dạng Lagrange của số dư, R_n(x) = f^(n+1)(c) / (n+1)! * (x-a)^(n+1) với c nằm giữa a và x.

Phương trình vi phân này là tuyến tính vì y, y', y'' xuất hiện bậc nhất. Nó là cấp hai vì đạo hàm cao nhất là y''. Nó có hệ số hằng (1, 4, 4) và nó thuần nhất vì vế phải bằng 0. Đáp án 2 sai vì vế phải bằng 0. Đáp án 3 sai vì hệ số là hằng số. Đáp án 4 sai vì phương trình tuyến tính.

Đây là chuỗi p (p-series). Chuỗi p hội tụ khi và chỉ khi p > 1. Khi p ≤ 1, chuỗi phân kỳ. Trường hợp p = 1 là chuỗi điều hòa, một ví dụ kinh điển về chuỗi phân kỳ.

Phương pháp biến thiên hằng số để giải phương trình vi phân không thuần nhất tuyến tính cấp n bắt đầu bằng việc tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng. Sau đó, ta biến các hằng số trong nghiệm thuần nhất thành các hàm số và tìm chúng sao cho nghiệm mới thỏa mãn phương trình không thuần nhất.

Mỗi số hạng của chuỗi lũy thừa c_n(x-a)^n là một đa thức theo biến (x-a) (hoặc hằng số nếu n=0). Chuỗi lũy thừa là tổng vô hạn các đa thức dạng này.

Tích phân bội ba (triple integral) được sử dụng để tính thể tích của vật thể trong không gian 3D. Tích phân kép tính diện tích miền phẳng hoặc thể tích dưới mặt cong. Tích phân đường và tích phân mặt liên quan đến đường cong và mặt cong, không trực tiếp tính thể tích khối.

Khi f(x, y) ≥ 0, tích phân kép ∫∫[D] f(x, y) dA biểu diễn thể tích của khối trụ nằm dưới mặt z = f(x, y) và phía trên miền D trong mặt phẳng xy. Nếu f(x, y) = 1, tích phân kép trở thành diện tích miền D (Đáp án 1).

Đặt u = sin(x) thì du = cos(x)dx, hoặc đặt u = cos(x) thì du = -sin(x)dx. Cả hai cách đều đơn giản hóa tích phân thành ∫u du hoặc ∫-u du. Các lựa chọn khác không giúp đơn giản hóa biểu thức tích phân.

∫cos(x) dx = sin(x) + C. Áp dụng công thức Newton-Leibniz: ∫[0, π/2] cos(x) dx = sin(π/2) - sin(0) = 1 - 0 = 1.

Chuỗi Fourier biểu diễn một hàm số tuần hoàn f(x) dưới dạng tổng vô hạn của các hàm sin và cos với các tần số là bội số nguyên của tần số cơ bản của hàm f(x).

Tích phân bất định của f(x), ký hiệu ∫f(x)dx, là họ các hàm số F(x) sao cho F'(x) = f(x). Nó không phải là một số duy nhất mà là một họ hàm số sai khác nhau một hằng số cộng. Đáp án 1 sai vì nó mô tả tích phân xác định. Đáp án 3 đúng nhưng không đầy đủ, tích phân bất định tồn tại cho nhiều hàm số hơn là chỉ hàm liên tục. Đáp án 4 sai vì Newton-Leibniz dùng cho tích phân xác định.

Bán kính hội tụ R là một số không âm (hoặc ∞) sao cho chuỗi lũy thừa hội tụ khi |x-a| < R và phân kỳ khi |x-a| > R. Khoảng hội tụ là (a-R, a+R) (hoặc [a-R, a+R], [a-R, a+R), (a-R, a+R]). R chính là bán kính của khoảng hội tụ này.