1. Công thức nào sau đây là công thức tích phân từng phần?
A. ∫udv = uv - ∫vdu
B. ∫udv = uv + ∫vdu
C. ∫udv = u∫dv - v∫du
D. ∫udv = ∫uv - ∫vdu
2. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑(từ n=0 đến +∞) (x^n) / n!.
3. Công thức nào sau đây dùng để tính độ dài cung của đường cong y = f(x) từ x = a đến x = b?
A. L = ∫(từ a đến b) √(1 + [f`(x)]²) dx
B. L = ∫(từ a đến b) √[1 + f(x)] dx
C. L = ∫(từ a đến b) [1 + f`(x)] dx
D. L = ∫(từ a đến b) √[1 + f²(x)] dx
4. Xét chuỗi số ∑(từ n=1 đến +∞) (-1)^(n+1) / n. Chuỗi này:
A. Hội tụ có điều kiện
B. Hội tụ tuyệt đối
C. Phân kỳ
D. Vừa hội tụ vừa phân kỳ
5. Điều kiện nào sau đây là điều kiện cần để chuỗi số ∑ a_n hội tụ?
A. lim (n→+∞) a_n = 0
B. lim (n→+∞) a_n = 1
C. ∑ |a_n| hội tụ
D. a_n > 0 với mọi n
6. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y` = 2x là:
A. y = x² + C
B. y = 2x² + C
C. y = 2 + C
D. y = C
7. Tích phân suy rộng ∫(từ 1 đến +∞) 1/x² dx hội tụ hay phân kỳ?
A. Hội tụ
B. Phân kỳ
C. Vừa hội tụ vừa phân kỳ
D. Không xác định được
8. Để tính tích phân ∫sin²(x)cos(x)dx, phương pháp đổi biến số nào là phù hợp nhất?
A. Đặt u = cos(x)
B. Đặt u = sin(x)
C. Đặt u = tan(x)
D. Đặt u = x²
9. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một?
A. y` + xy = x²
B. y`` + y`² = 0
C. y` + y² = x
D. y`y = x
10. Tính tích phân bất định ∫e^(2x) dx.
A. (1/2)e^(2x) + C
B. e^(2x) + C
C. 2e^(2x) + C
D. e^x + C
11. Cho chuỗi lũy thừa ∑(từ n=0 đến +∞) c_n(x-a)^n. Bán kính hội tụ R được xác định như thế nào?
A. R = 1/lim sup |c_n|^(1/n)
B. R = lim sup |c_n|^(1/n)
C. R = lim sup |c_n|
D. R = 1/lim sup |c_n|
12. Chuỗi hình học ∑(từ n=0 đến +∞) ar^n hội tụ khi nào?
A. |r| < 1
B. |r| ≤ 1
C. |r| > 1
D. r ≠ 1
13. Chuỗi Taylor của hàm e^x tại x = 0 là:
A. ∑(từ n=0 đến +∞) (x^n) / n!
B. ∑(từ n=0 đến +∞) x^n
C. ∑(từ n=1 đến +∞) (x^n) / n!
D. ∑(từ n=0 đến +∞) ((-1)^n x^n) / n!
14. Trong phương pháp hệ số bất định để tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất, dạng nghiệm thử phụ thuộc vào:
A. Hàm vế phải của phương trình
B. Nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng
C. Cấp của phương trình vi phân
D. Điều kiện ban đầu
15. Chuỗi số ∑(từ n=1 đến +∞) 1/n^p hội tụ khi nào?
A. p > 1
B. p ≥ 1
C. p < 1
D. p ≤ 1
16. Phương pháp nào sau đây KHÔNG phải là phương pháp tính tích phân cơ bản?
A. Thay biến số lượng giác
B. Phân tích thành phân thức đơn giản
C. Tích phân bằng máy tính
D. Tích phân từng phần
17. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), y = 0, x = a, x = b, ta sử dụng công thức nào?
A. ∫(từ a đến b) |f(x)| dx
B. ∫(từ a đến b) f(x) dx
C. ∫(từ a đến b) f²(x) dx
D. |∫(từ a đến b) f(x) dx|
18. Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi y = x² và y = x.
A. 1/6
B. 1/3
C. 1/2
D. 1
19. Để tính tích phân ∫√(a² - x²) dx, phép đổi biến nào sau đây là phù hợp nhất?
A. x = a sin(θ)
B. x = a tan(θ)
C. x = a sec(θ)
D. x = a² - u
20. Phương trình vi phân y`` + ω²y = 0 có nghiệm tổng quát dạng nào?
A. y = C₁cos(ωx) + C₂sin(ωx)
B. y = C₁e^(ωx) + C₂e^(-ωx)
C. y = (C₁ + C₂x)e^(ωx)
D. y = C₁e^(ωx)
21. Công thức nào sau đây là công thức tính tích phân suy rộng loại 1?
A. ∫(từ a đến +∞) f(x) dx = lim (b→+∞) ∫(từ a đến b) f(x) dx
B. ∫(từ a đến +∞) f(x) dx = ∫(từ a đến b) f(x) dx
C. ∫(từ a đến +∞) f(x) dx = ∫(từ 0 đến +∞) f(x+a) dx
D. ∫(từ a đến +∞) f(x) dx = f(+∞) - f(a)
22. Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay miền D quanh trục Ox, với D giới hạn bởi y = f(x), y = 0, x = a, x = b được tính bằng công thức nào?
A. V = π∫(từ a đến b) f²(x) dx
B. V = ∫(từ a đến b) f²(x) dx
C. V = π∫(từ a đến b) f(x) dx
D. V = 2π∫(từ a đến b) xf(x) dx
23. Điều kiện nào sau đây KHÔNG đảm bảo chuỗi số dương ∑ a_n hội tụ?
A. lim (n→+∞) (a_(n+1) / a_n) < 1
B. lim (n→+∞) √[n](a_n) < 1
C. lim (n→+∞) a_n = 0
D. So sánh với chuỗi hội tụ lớn hơn
24. Công thức khai triển Taylor của hàm f(x) tại x = a là:
A. f(x) = ∑(từ n=0 đến +∞) [f^(n)(a) / n!] (x-a)^n
B. f(x) = ∑(từ n=0 đến +∞) [f^(n)(x) / n!] (x-a)^n
C. f(x) = ∑(từ n=0 đến +∞) [f^(n)(a) / n!] x^n
D. f(x) = ∑(từ n=0 đến +∞) [f(a) / n!] (x-a)^n
25. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân y`` - 4y` + 4y = 0.
A. y = (C₁ + C₂x)e^(2x)
B. y = C₁e^(2x) + C₂e^(-2x)
C. y = C₁cos(2x) + C₂sin(2x)
D. y = C₁e^(2x)
26. Diện tích mặt tròn xoay tạo thành khi quay đường cong y = f(x) quanh trục Ox từ x = a đến x = b được tính bằng công thức:
A. S = 2π∫(từ a đến b) f(x)√(1 + [f`(x)]²) dx
B. S = π∫(từ a đến b) f(x)√(1 + [f`(x)]²) dx
C. S = 2π∫(từ a đến b) f(x) dx
D. S = ∫(từ a đến b) f(x)√(1 + [f`(x)]²) dx
27. Tích phân ∫(từ 1 đến e) (ln(x) / x) dx bằng:
A. 1/2
B. 1
C. e
D. e - 1
28. Tích phân ∫(từ 0 đến π/2) sin³(x)cos(x) dx bằng bao nhiêu?
29. Giá trị của tích phân suy rộng ∫(từ -∞ đến 0) xe^x dx là:
A. -1
B. 0
C. 1
D. Không hội tụ
30. Dãy số nào sau đây là dãy số hội tụ?
A. a_n = (-1)^n
B. a_n = n²
C. a_n = 1/n
D. a_n = 2^n
