1. Giá trị của tích phân suy rộng ∫_(1)^∞ (1/x²) dx là:
A. 1
B. 0
C. ∞
D. Không xác định
2. Tích phân mặt ∫∫_S F · dS, với F là trường vectơ và S là mặt kín, biểu diễn đại lượng vật lý nào?
A. Thông lượng (flux) của trường vectơ F qua mặt S.
B. Công của trường vectơ F dọc theo biên của mặt S.
C. Diện tích mặt S.
D. Thể tích miền giới hạn bởi mặt S.
3. Tích phân đường loại 2 ∫_C P dx + Q dy phụ thuộc vào yếu tố nào sau đây?
A. Chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối của đường cong C.
B. Phụ thuộc vào dạng đường cong C và hàm số P, Q.
C. Chỉ phụ thuộc vào hàm số P và Q, không phụ thuộc vào đường cong C.
D. Không phụ thuộc vào cả đường cong C và hàm số P, Q.
4. Cho trường vectơ F = <-y, x, 0>. Tính xoáy (curl) của F là:
A. <0, 0, 2>
B. <0, 0, -2>
C. <2, 0, 0>
D. <0, 2, 0>
5. Điều kiện cần và đủ để trường vectơ F là trườngGradient (trường thế) trong miền liên thông đơn giản là gì?
A. curl(F) = 0
B. div(F) = 0
C. F = 0
D. F là liên tục
6. Giá trị của tích phân kép ∫∫_D xy dA, với D là miền giới hạn bởi x = 0, y = 0, x + y = 1 là:
A. 1/24
B. 1/6
C. 1/12
D. 1/3
7. Điều kiện nào sau đây là điều kiện đủ để hàm số hai biến f(x, y) đạt cực đại địa phương tại điểm (x₀, y₀)?
A. f_x(x₀, y₀) = 0, f_y(x₀, y₀) = 0 và D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})² > 0, f_{xx} < 0
B. f_x(x₀, y₀) = 0, f_y(x₀, y₀) = 0 và D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})² > 0, f_{xx} > 0
C. f_x(x₀, y₀) = 0, f_y(x₀, y₀) = 0 và D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})² < 0
D. f_x(x₀, y₀) = 0, f_y(x₀, y₀) = 0 và D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})² = 0
8. Tính phân kỳ (divergence) của trường vectơ F = tại điểm (1, 1, 1) là:
A. 9
B. 14
C. 2x + 3y² + 4z³
D. 0
9. Chuỗi số ∑_(n=1)^∞ (1/n^p) hội tụ khi nào?
A. p > 1
B. p ≥ 1
C. p < 1
D. p ≤ 1
10. Chuỗi lũy thừa ∑_(n=0)^∞ c_n (x - a)^n có bán kính hội tụ R được xác định bởi công thức nào (nếu giới hạn tồn tại)?
A. R = 1 / lim_(n→∞) |c_(n+1)/c_n|
B. R = lim_(n→∞) |c_(n+1)/c_n|
C. R = lim_(n→∞) |c_n/c_(n+1)|
D. R = 1 / lim_(n→∞) |c_n/c_(n+1)|
11. Cho chuỗi số ∑_(n=1)^∞ (-1)^(n-1) * (1/n). Chuỗi này:
A. Hội tụ có điều kiện
B. Hội tụ tuyệt đối
C. Phân kỳ
D. Dao động
12. Công thức nào sau đây dùng để tính diện tích mặt cong z = f(x, y) trên miền D trong mặt phẳng Oxy?
A. ∬_D √(1 + (∂f/∂x)² + (∂f/∂y)²) dxdy
B. ∬_D (∂f/∂x)² + (∂f/∂y)² dxdy
C. ∬_D √(1 + (∂f/∂x) + (∂f/∂y)) dxdy
D. ∬_D (1 + (∂f/∂x)² + (∂f/∂y)²) dxdy
13. Cho hàm số f(x, y) = x³ + y³ - 3xy. Điểm dừng của hàm số này là:
A. (0, 0) và (1, 1)
B. (0, 0) và (-1, -1)
C. (1, 0) và (0, 1)
D. (-1, 0) và (0, -1)
14. Tích phân đường ∫_C (x + y) ds dọc theo đường cong C là đoạn thẳng nối từ (0, 0) đến (1, 1) được tính như thế nào?
A. ∫_(0)^1 (t + t) √(1² + 1²) dt
B. ∫_(0)^1 (x + y) √(dx² + dy²)
C. ∫_(0)^1 (t + t) dt
D. ∫_(0)^1 (x + y) dt
15. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y`` + 4y = 0 có dạng nào?
A. y = C₁cos(2x) + C₂sin(2x)
B. y = C₁e^(2x) + C₂e^(-2x)
C. y = C₁cos(4x) + C₂sin(4x)
D. y = C₁e^(4x) + C₂e^(-4x)
16. Tích phân bội hai ∫∫_D f(x, y) dA trong tọa độ cực được biến đổi như thế nào?
A. ∫∫_R f(r cosθ, r sinθ) r dr dθ
B. ∫∫_R f(r cosθ, r sinθ) dr dθ
C. ∫∫_R f(x, y) r dr dθ
D. ∫∫_R f(r, θ) r dr dθ
17. Trong không gian R³, phương trình nào sau đây biểu diễn một mặt trụ tròn xoay có trục là trục Oz?
A. x² + y² = R²
B. x² + z² = R²
C. y² + z² = R²
D. x² + y² + z² = R²
18. Trong tọa độ cầu (ρ, θ, φ), Jacobian của phép biến đổi từ tọa độ Descartes (x, y, z) là:
A. ρ² sin(φ)
B. ρ sin(φ)
C. ρ² cos(φ)
D. ρ cos(φ)
19. Phương pháp biến thiên tham số được sử dụng để tìm:
A. Nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất.
B. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất.
C. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tách biến.
D. Nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất.
20. Hàm số f(x, y) = ln(x² + y²) có miền xác định là:
A. R² {(0, 0)}
B. R²
C. {(x, y) | x > 0, y > 0}
D. {(x, y) | x² + y² ≥ 0}
21. Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay miền phẳng giới hạn bởi y = x², y = 0, x = 1 quanh trục Ox được tính bằng công thức nào?
A. π ∫_(0)^1 (x²)² dx
B. π ∫_(0)^1 x² dx
C. 2π ∫_(0)^1 x * x² dx
D. ∫_(0)^1 (x²)² dx
22. Tiêu chuẩn D`Alembert (tỷ số) được sử dụng để xét sự hội tụ của chuỗi số dương ∑_(n=1)^∞ a_n dựa trên giới hạn nào?
A. lim_(n→∞) (a_(n+1)/a_n)
B. lim_(n→∞) (a_n/a_(n+1))
C. lim_(n→∞) √[n](a_n)
D. lim_(n→∞) n * a_n
23. Khai triển Taylor của hàm số e^x tại x = 0 (khai triển Maclaurin) là:
A. ∑_(n=0)^∞ (x^n / n!)
B. ∑_(n=0)^∞ ((-1)^n x^n / n!)
C. ∑_(n=0)^∞ (x^n / (2n)!)
D. ∑_(n=0)^∞ (x^(2n+1) / (2n+1)!)
24. Tích phân ∫_0^(2π) ∫_0^1 ∫_0^√(1-r²) r dz dr dθ biểu diễn thể tích của hình nào?
A. Nửa hình cầu bán kính 1
B. Hình cầu bán kính 1
C. Hình trụ tròn bán kính 1, chiều cao 1
D. Hình nón tròn xoay bán kính đáy 1, chiều cao 1
25. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp nhất?
A. y` + p(x)y = q(x)
B. y`` + p(x)y` + q(x)y = r(x)
C. (y`)² + p(x)y = q(x)
D. y`y + p(x)y = q(x)
26. Toán tử Laplace trong tọa độ Descartes (x, y, z) được biểu diễn như thế nào?
A. ∇² = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z²
B. ∇² = ∂/∂x + ∂/∂y + ∂/∂z
C. ∇² = (∂/∂x)² + (∂/∂y)² + (∂/∂z)²
D. ∇² = ∂/∂x (∂/∂y (∂/∂z))
27. Định lý Stokes liên hệ giữa:
A. Tích phân đường dọc theo đường cong kín C và tích phân mặt trên mặt S có biên là C.
B. Tích phân kép trên miền phẳng D và tích phân đường trên biên của D.
C. Tích phân bội ba trên khối V và tích phân mặt trên biên của V.
D. Tích phân đường trên đường cong C và tích phân đường trên đường cong khác C`.
28. Công thức Green liên hệ giữa tích phân đường và tích phân mặt nào?
A. Tích phân đường trên biên của miền phẳng D và tích phân kép trên miền D.
B. Tích phân đường trên biên của mặt cong S và tích phân mặt trên mặt cong S.
C. Tích phân đường trên đường cong C và tích phân đường trên đường cong khác C`.
D. Tích phân mặt trên mặt S và tích phân mặt trên mặt khác S`.
29. Đạo hàm của hàm vectơ r(t) = là:
A. r`(t) = <-sin(t), cos(t), 1>
B. r`(t) =
C. r`(t) = <-cos(t), -sin(t), 1>
D. r`(t) =
30. Đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp của hàm số f(x, y) khả vi cấp hai liên tục được định nghĩa như thế nào?
A. f_{xy} = ∂/∂x (∂f/∂y) và f_{yx} = ∂/∂y (∂f/∂x)
B. f_{xy} = ∂/∂y (∂f/∂x) và f_{yx} = ∂/∂x (∂f/∂y)
C. f_{xy} = ∂²f/∂x² và f_{yx} = ∂²f/∂y²
D. f_{xy} = ∂f/∂x + ∂f/∂y và f_{yx} = ∂f/∂y + ∂f/∂x
