1. Chuỗi lũy thừa ∑[n=0, ∞] c_n (x - a)^n có bán kính hội tụ R. Nếu R = 0, chuỗi hội tụ tại:
A. x = a
B. Mọi x
C. Không có giá trị x nào
D. x = 0
2. Chuỗi số ∑[n=1, ∞] 1/n^2 là chuỗi:
A. Hội tụ
B. Phân kỳ
C. Bán hội tụ
D. Vừa hội tụ vừa phân kỳ
3. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình tách biến?
A. dy/dx = x^2y
B. dy/dx = x + y
C. dy/dx = xy + x
D. dy/dx = y^2 + 1
4. Phương pháp nhân tử tích phân dùng để giải phương trình vi phân nào?
A. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một
B. Phương trình vi phân tách biến
C. Phương trình vi phân Bernoulli
D. Phương trình vi phân thuần nhất
5. Xét tích phân kép ∬_D f(x, y) dA. Miền D được cho bởi 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x. Thứ tự tích phân nào sau đây là đúng?
A. ∫[0, 1] ∫[0, x] f(x, y) dy dx
B. ∫[0, x] ∫[0, 1] f(x, y) dx dy
C. ∫[0, 1] ∫[0, 1] f(x, y) dy dx
D. ∫[0, x] ∫[0, 1] f(x, y) dy dx
6. Phương trình đường tiếp tuyến với đường cong tham số x = t^2, y = t^3 tại điểm t = 1 có hệ số góc bằng bao nhiêu?
7. Trong tọa độ cực, diện tích hình quạt tròn được tính bằng công thức nào?
A. ∫∫_D r dr dθ
B. ∫∫_D r^2 dr dθ
C. ∫∫_D (1/2)r^2 dr dθ
D. ∫∫_D (1/2)r dr dθ
8. Đường cong mức của hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 là:
A. Các đường tròn đồng tâm
B. Các đường thẳng song song
C. Các hyperbol
D. Các parabol
9. Công thức nào sau đây là công thức tích phân từng phần cho tích phân xác định?
A. ∫[a, b] u dv = [uv]_[a, b] - ∫[a, b] v du
B. ∫[a, b] u dv = uv - ∫[a, b] v du
C. ∫[a, b] u dv = [uv]_[a, b] + ∫[a, b] v du
D. ∫[a, b] u dv = ∫[a, b] uv - ∫[a, b] v du
10. Công thức nào sau đây là công thức Green?
A. ∮_C (P dx + Q dy) = ∬_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA
B. ∮_C (P dx + Q dy) = ∬_D (∂P/∂x + ∂Q/∂y) dA
C. ∮_C (P dx + Q dy) = ∬_D (∂P/∂y - ∂Q/∂x) dA
D. ∮_C (P dx + Q dy) = ∬_D (∂Q/∂y - ∂P/∂x) dA
11. Cho hàm số f(x, y) = xy. Tính tích phân đường loại 2 ∫_C f(x, y) dx + g(x, y) dy với g(x, y) = x^2, C là đường tròn đơn vị ngược chiều kim đồng hồ.
A. ∫_C xy dx + x^2 dy = ∫[0, 2π] (cos(t)sin(t))(-sin(t)) + (cos^2(t))(cos(t)) dt
B. ∫_C xy dx + x^2 dy = ∫[0, 2π] (cos(t)sin(t))(cos(t)) + (cos^2(t))(-sin(t)) dt
C. ∫_C xy dx + x^2 dy = ∫[0, 2π] (sin(t)cos(t))(-sin(t)) + (sin^2(t))(cos(t)) dt
D. ∫_C xy dx + x^2 dy = ∫[0, 2π] (sin(t)cos(t))(cos(t)) + (sin^2(t))(-sin(t)) dt
12. Tích phân suy rộng ∫[1, ∞] 1/x^p dx hội tụ khi nào?
A. p > 1
B. p < 1
C. p ≤ 1
D. p ≥ 1
13. Điều kiện nào sau đây KHÔNG phải là điều kiện hội tụ của chuỗi số dương ∑a_n theo tiêu chuẩn D`Alembert?
A. lim (a_(n+1)/a_n) < 1
B. lim (a_(n+1)/a_n) > 1
C. lim (a_(n+1)/a_n) = 1
D. lim (a_(n+1)/a_n) = L < 1
14. Tính tích phân xác định ∫[0, 1] x^2 dx.
A. 1/3
B. 1/2
C. 1
D. 2/3
15. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x^2 + 2x - 1.
A. x^3 + x^2 - x + C
B. 6x + 2 + C
C. x^3 + x^2 - 1 + C
D. 3x^3 + x^2 - x + C
16. Hàm số f(x) = |x| có đạo hàm tại x = 0 không?
A. Không
B. Có và bằng 0
C. Có và bằng 1
D. Có và bằng -1
17. Cho hàm số f(x, y) = x^2 + 2y^2. Tính đạo hàm theo hướng của vectơ v = (1, 1) tại điểm (1, 1).
A. 3√2
B. 6√2
C. 3/√2
D. 6/√2
18. Tìm cực trị của hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x + 6y + 13.
A. Đạt cực tiểu tại (2, -3)
B. Đạt cực đại tại (2, -3)
C. Không có cực trị
D. Đạt cực tiểu tại (-2, 3)
19. Tính giới hạn lim_[x→0] (sin(x) - x) / x^3.
20. Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay miền D giới hạn bởi y = x^2, y = 0, x = 1 quanh trục Ox được tính bằng công thức nào?
A. π∫[0, 1] (x^2)^2 dx
B. ∫[0, 1] (x^2)^2 dx
C. π∫[0, 1] x^2 dx
D. 2π∫[0, 1] x^2 dx
21. Chuỗi nào sau đây là chuỗi Taylor của hàm số e^x tại x = 0?
A. ∑[n=0, ∞] x^n/n!
B. ∑[n=0, ∞] x^n/n
C. ∑[n=0, ∞] x^n
D. ∑[n=1, ∞] x^n/n!
22. Cho phương trình vi phân y`` - 3y` + 2y = 0. Nghiệm tổng quát của phương trình này là:
A. y = C_1e^x + C_2e^(2x)
B. y = C_1e^(-x) + C_2e^(-2x)
C. y = (C_1 + C_2x)e^x
D. y = C_1cos(x) + C_2sin(x)
23. Đạo hàm riêng của hàm số f(x, y) = x^2y + xy^3 theo biến x là:
A. 2xy + y^3
B. x^2 + 3xy^2
C. 2x + 3y^2
D. 2xy + 3xy^2
24. Tìm vi phân toàn phần của hàm số z = f(x, y) = x^3y^2.
A. dz = 3x^2y^2 dx + 2x^3y dy
B. dz = 3x^2y^2 dx - 2x^3y dy
C. dz = 2x^3y dy - 3x^2y^2 dx
D. dz = x^2y^2 dx + xy dy
25. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một?
A. y` + xy = x^2
B. y`` + y`y = sin(x)
C. (y`)^2 + y = e^x
D. y` + sqrt(y) = cos(x)
26. Cho trường vectơ F = (P, Q) = (y, -x). Tính div(F).
27. Tính tích phân đường loại 1 ∫_C (x + y) ds, với C là đoạn thẳng nối từ (0, 0) đến (1, 1).
28. Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi y = x^2 và y = x.
A. 1/6
B. 1/3
C. 1/2
D. 2/3
29. Điều kiện nào sau đây đảm bảo tích phân đường ∫_C P dx + Q dy KHÔNG phụ thuộc vào đường đi C?
A. ∂Q/∂x = ∂P/∂y
B. ∂Q/∂y = ∂P/∂x
C. P = Q
D. P = -Q
30. Điều kiện cần và đủ để chuỗi số ∑a_n hội tụ là:
A. lim (a_n) = 0
B. lim (S_n) tồn tại hữu hạn, với S_n là tổng riêng thứ n
C. a_n > 0 với mọi n
D. Chuỗi ∑|a_n| hội tụ
