1. Để tính diện tích miền phẳng D giới hạn bởi đường cong trong tọa độ cực r = f(θ), ta sử dụng công thức:
A. A = (1/2)∫[f(θ)]^2 dθ
B. A = ∫f(θ) dθ
C. A = ∫[f(θ)]^2 dθ
D. A = (1/2)∫f(θ) dθ
2. Chuỗi số ∑(1/n^p) hội tụ khi nào?
A. p > 1
B. p ≥ 1
C. p < 1
D. p ≤ 1
3. Tích phân suy rộng loại 1 hội tụ khi nào?
A. Khi giới hạn của tích phân xác định tồn tại hữu hạn.
B. Khi giới hạn của tích phân xác định tiến đến vô cùng.
C. Khi hàm số dưới dấu tích phân liên tục trên toàn miền xác định.
D. Khi cận tích phân là số hữu hạn.
4. Trong tọa độ cực, Jacobian của phép biến đổi từ (r, θ) sang (x, y) là:
A. r
B. r^2
C. 1/r
D. 1/r^2
5. Tích phân ∫∫_D f(x,y) dA, với D là miền giới hạn bởi x^2 + y^2 ≤ R^2, chuyển sang tọa độ cực trở thành:
A. ∫∫_D f(rcosθ, rsinθ) r dr dθ
B. ∫∫_D f(rcosθ, rsinθ) dr dθ
C. ∫∫_D f(rcosθ, rsinθ) r^2 dr dθ
D. ∫∫_D f(rcosθ, rsinθ) dA
6. Để tính tích phân ∫sin(x)cos(x)dx, phương pháp đổi biến nào sau đây là phù hợp?
A. Đặt u = sin(x)
B. Đặt u = cos(x)
C. Đặt u = tan(x)
D. Đặt u = x^2
7. Đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp f_xy và f_yx của hàm số f(x, y) (nếu chúng liên tục) thì:
A. Bằng nhau.
B. Đối nhau.
C. Luôn khác nhau.
D. Không xác định được mối quan hệ.
8. Tích phân bất định của hàm số f(x) = 2x + 3 là:
A. x^2 + 3x + C
B. 2x^2 + 3x + C
C. x^2 + C
D. 2 + C
9. Chuỗi Taylor của hàm số e^x tại x = 0 là:
A. ∑(x^n/n!) từ n=0 đến ∞
B. ∑(x^n) từ n=0 đến ∞
C. ∑((-1)^n x^n/n!) từ n=0 đến ∞
D. ∑((-1)^n x^n) từ n=0 đến ∞
10. Miền xác định của hàm số f(x, y) = √(9 - x^2 - y^2) là:
A. Hình tròn tâm (0, 0) bán kính 3, kể cả biên.
B. Hình tròn tâm (0, 0) bán kính 3, không kể biên.
C. Toàn bộ mặt phẳng Oxy.
D. Nửa mặt phẳng trên trục Ox.
11. Để tìm cực trị địa phương của hàm số hai biến, ta cần xét:
A. Điểm dừng và định thức Hessian.
B. Chỉ điểm dừng.
C. Chỉ định thức Hessian.
D. Đạo hàm riêng bậc nhất bằng 0.
12. Tích phân đường loại 1 dùng để tính:
A. Khối lượng của dây.
B. Công của lực dọc theo đường cong.
C. Thông lượng của trường vectơ.
D. Diện tích bề mặt.
13. Tích phân đường loại 2 ∫_C Pdx + Qdy tính:
A. Công của trường vectơ lực F = (P, Q) dọc theo đường cong C.
B. Khối lượng của dây C với mật độ ρ(x, y) = P(x, y) + Q(x, y).
C. Diện tích miền giới hạn bởi đường cong C.
D. Thể tích vật thể tạo ra khi quay miền giới hạn bởi C quanh trục Ox.
14. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1?
A. y` + p(x)y = q(x)
B. (y`)^2 + p(x)y = q(x)
C. y`` + p(x)y = q(x)
D. y` + p(y)y = q(x)
15. Phương pháp Euler để giải phương trình vi phân thường là phương pháp:
A. Số trị gần đúng.
B. Giải tích chính xác.
C. Đồ thị.
D. Biến đổi Laplace.
16. Tiêu chuẩn so sánh giới hạn dùng để:
A. So sánh sự hội tụ của hai chuỗi số.
B. Tính tổng của chuỗi số.
C. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa.
D. Xác định tính liên tục của hàm số.
17. Định lý Stokes liên hệ giữa:
A. Tích phân đường loại 2 trên đường biên của bề mặt và tích phân mặt loại 2 trên bề mặt đó.
B. Tích phân đường loại 1 và tích phân mặt loại 1.
C. Tích phân kép và tích phân mặt.
D. Tích phân mặt loại 1 và tích phân mặt loại 2.
18. Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange dùng để tìm:
A. Nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất.
B. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất.
C. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tách biến.
D. Nghiệm riêng của phương trình vi phân Bernoulli.
19. Để kiểm tra sự hội tụ của chuỗi số dương, tiêu chuẩn D`Alembert (tỉ số) xét giới hạn L = lim (a_(n+1)/a_n). Chuỗi hội tụ khi:
A. L < 1
B. L > 1
C. L = 1
D. L = ∞
20. Tích phân mặt loại 2 dùng để tính:
A. Thông lượng của trường vectơ qua bề mặt.
B. Diện tích bề mặt cong.
C. Khối lượng của bề mặt.
D. Độ dài đường biên của bề mặt.
21. Chuỗi Fourier của hàm số tuần hoàn f(x) với chu kỳ 2π biểu diễn hàm số dưới dạng:
A. Tổng của chuỗi lượng giác sin và cosin.
B. Chuỗi lũy thừa.
C. Chuỗi đa thức.
D. Chuỗi Taylor.
22. Tích phân mặt loại 1 dùng để tính:
A. Diện tích bề mặt cong.
B. Thông lượng của trường vectơ qua bề mặt.
C. Công của lực dọc theo bề mặt.
D. Khối lượng của vật thể.
23. Hàm số f(x, y) được gọi là khả vi tại điểm (x0, y0) nếu:
A. Tồn tại đạo hàm riêng theo x và theo y tại điểm đó và biểu thức Δf ≈ f_x(x0, y0)Δx + f_y(x0, y0)Δy đúng khi Δx, Δy đủ nhỏ.
B. Tồn tại đạo hàm riêng theo x và theo y tại điểm đó.
C. Hàm số liên tục tại điểm đó.
D. Tồn tại đạo hàm theo mọi hướng tại điểm đó.
24. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y` = k*y (k là hằng số) là:
A. y = Ce^(kx)
B. y = C + e^(kx)
C. y = Ce^(x/k)
D. y = C + kx
25. Định lý Green liên hệ giữa:
A. Tích phân đường loại 2 trên đường cong kín và tích phân kép trên miền giới hạn bởi đường cong đó.
B. Tích phân đường loại 1 và tích phân đường loại 2.
C. Tích phân kép và tích phân bội ba.
D. Tích phân mặt và tích phân bội ba.
26. Sai phân cấp 1 của hàm số y = f(x) ký hiệu là Δy được định nghĩa là:
A. Δy = f(x + h) - f(x)
B. Δy = f(x) - f(x + h)
C. Δy = f`(x)
D. Δy = ∫f(x)dx
27. Định lý Divergence (Gauss-Ostrogradsky) liên hệ giữa:
A. Tích phân mặt loại 2 trên bề mặt kín và tích phân bội ba trên miền giới hạn bởi bề mặt đó.
B. Tích phân đường và tích phân mặt.
C. Tích phân kép và tích phân bội ba.
D. Tích phân mặt loại 1 và tích phân mặt loại 2.
28. Điều kiện để trường vectơ F = (P, Q) là trườngGradient (trường bảo toàn) trong miền D là:
A. ∂Q/∂x = ∂P/∂y
B. ∂P/∂x = ∂Q/∂y
C. ∂P/∂x + ∂Q/∂y = 0
D. ∂P/∂y + ∂Q/∂x = 1
29. Công thức nào sau đây là công thức tích phân từng phần?
A. ∫udv = uv - ∫vdu
B. ∫udv = uv + ∫vdu
C. ∫udv = u∫dv - v∫du
D. ∫udv = ∫uv - ∫vdu
30. Bán kính hội tụ R của chuỗi lũy thừa ∑a_n(x-c)^n được xác định bởi công thức nào?
A. 1/R = lim sup |a_(n+1)/a_n|
B. R = lim sup |a_(n+1)/a_n|
C. 1/R = lim sup |a_n|^(1/n)
D. R = lim sup |a_n|^(1/n)
