1. Trong các phép biến đổi sau để tính tích phân, phép biến đổi nào là phép đổi biến số loại 1?
A. Đặt x = g(t), dx = g`(t) dt.
B. Đặt u = f(x), du = f`(x) dx.
C. Tích phân từng phần ∫u dv = uv - ∫v du.
D. Phân tích thành phân thức đơn giản.
2. Tìm cực trị địa phương của hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2.
A. Hàm số có cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = 2.
B. Hàm số có cực tiểu tại x = 0 và cực đại tại x = 2.
C. Hàm số chỉ có cực đại tại x = 0.
D. Hàm số chỉ có cực tiểu tại x = 2.
3. Giá trị gần đúng của √4.01 được tính bằng phép xấp xỉ tuyến tính tại x = 4 là bao nhiêu?
A. 2.00125
B. 2.0025
C. 2.005
D. 2.01
4. Tìm đạo hàm của hàm số y = x^x.
A. y` = x^x
B. y` = x * x^(x-1)
C. y` = x^x * (1 + ln(x))
D. y` = x^x * ln(x)
5. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục Ox, và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính bằng công thức nào?
A. ∫[a, b] f(x) dx
B. |∫[a, b] f(x) dx|
C. ∫[a, b] |f(x)| dx
D. ∫[b, a] f(x) dx
6. Hàm số f(x) được gọi là khả vi tại điểm x_0 nếu...
A. f(x) liên tục tại x_0.
B. Giới hạn lim (h→0) [f(x_0 + h) - f(x_0)] / h tồn tại.
C. f(x) có đạo hàm cấp hai tại x_0.
D. f(x) có cực trị tại x_0.
7. Tiêu chuẩn nào sau đây thường được sử dụng để kiểm tra sự hội tụ của chuỗi số dương?
A. Tiêu chuẩn Leibniz.
B. Tiêu chuẩn Cauchy cho dãy số.
C. Tiêu chuẩn so sánh.
D. Tiêu chuẩn Weierstrass M.
8. Cho hàm số f(x) = 3x^2 - 2x + 1. Tính đạo hàm của f(x).
A. f`(x) = 3x - 2
B. f`(x) = 6x - 2
C. f`(x) = 6x^2 - 2
D. f`(x) = 3x^2 - 2
9. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑[n=0, ∞] (x^n / n!).
10. Tính tích phân bất định ∫2x cos(x^2) dx.
A. sin(x^2) + C
B. cos(x^2) + C
C. x^2 sin(x^2) + C
D. x sin(x^2) + C
11. Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số y = x^3 - 6x^2 + 5x.
A. x = 1
B. x = 2
C. x = 3
D. x = 4
12. Hàm số f(x) = e^(-x^2) có đạo hàm cấp hai f``(x) bằng bao nhiêu?
A. 2e^(-x^2)
B. (4x^2 - 2)e^(-x^2)
C. -2e^(-x^2)
D. 4x^2 e^(-x^2)
13. Khẳng định nào sau đây về tích phân bất định là đúng?
A. Tích phân bất định của một hàm số là một số cụ thể.
B. Tích phân bất định của một hàm số là một họ các hàm số có cùng đạo hàm.
C. Tích phân bất định luôn tồn tại cho mọi hàm số liên tục.
D. Tích phân bất định và tích phân xác định là hai khái niệm hoàn toàn giống nhau.
14. Định nghĩa nào sau đây mô tả chính xác nhất khái niệm giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a?
A. Giá trị mà f(x) đạt được tại x = a.
B. Giá trị mà f(x) tiến gần đến khi x tiến gần đến a, nhưng không nhất thiết bằng a.
C. Giá trị lớn nhất mà f(x) có thể đạt được trong một khoảng chứa a.
D. Giá trị nhỏ nhất mà f(x) có thể đạt được trong một khoảng chứa a.
15. Đạo hàm của hàm số hợp y = f(g(x)) được tính theo quy tắc nào sau đây?
A. y` = f`(g(x))
B. y` = g`(f(x))
C. y` = f`(x) * g`(x)
D. y` = f`(g(x)) * g`(x)
16. Chuỗi số ∑[n=1, ∞] (1/n^p) hội tụ khi nào?
A. p < 1
B. p ≤ 1
C. p > 1
D. p ≥ 1
17. Tính đạo hàm của hàm số y = arcsin(x).
A. 1/√(1 - x^2)
B. -1/√(1 - x^2)
C. 1/(1 + x^2)
D. -1/(1 + x^2)
18. Hàm số nào sau đây liên tục tại mọi điểm trên tập số thực R?
A. f(x) = 1/x
B. f(x) = tan(x)
C. f(x) = x^3 - 2x + 5
D. f(x) = √(x) với x ≥ 0
19. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^2 - 3x + 2 tại điểm có hoành độ x = 1.
20. Giá trị của lim (x→0) (sin(x) / x) bằng bao nhiêu?
A. 0
B. 1
C. ∞
D. Không xác định
21. Định lý cơ bản của giải tích liên hệ giữa phép toán nào và phép toán nào?
A. Đạo hàm và giới hạn.
B. Đạo hàm và tích phân.
C. Giới hạn và tích phân.
D. Đạo hàm và vi phân.
22. Cho hàm số f(x, y). Đạo hàm riêng của f theo x ký hiệu là ∂f/∂x thể hiện điều gì?
A. Tốc độ thay đổi của f khi cả x và y thay đổi.
B. Tốc độ thay đổi của f khi chỉ có x thay đổi, y được giữ cố định.
C. Tốc độ thay đổi của f khi chỉ có y thay đổi, x được giữ cố định.
D. Tổng tốc độ thay đổi của f theo x và theo y.
23. Tính giới hạn sau: lim (x→2) (x^2 - 4) / (x - 2).
A. 0
B. 1
C. 4
D. Không tồn tại
24. Tính tích phân xác định ∫[0, 1] x^2 dx.
A. 1/4
B. 1/3
C. 1/2
D. 1
25. Nguyên hàm của hàm số f(x) = e^x là...
A. e^x + C
B. e^(-x) + C
C. x*e^x + C
D. (e^(x+1))/(x+1) + C
26. Tìm vi phân cấp một của hàm số y = sin(x^2).
A. dy = cos(x^2) dx
B. dy = 2xcos(x^2) dx
C. dy = -2xcos(x^2) dx
D. dy = 2xsin(x^2) dx
27. Đạo hàm của hàm số y = ln(x) là...
A. 1/x^2
B. 1/x
C. ln(x)
D. e^x
28. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền phẳng giới hạn bởi y = f(x), trục Ox, x = a, x = b quanh trục Ox được tính bằng công thức nào?
A. π ∫[a, b] f(x) dx
B. π ∫[a, b] [f(x)]^2 dx
C. 2π ∫[a, b] xf(x) dx
D. ∫[a, b] [f(x)]^2 dx
29. Trong các hàm số sau, hàm số nào không khả vi tại x = 0?
A. f(x) = x^2
B. f(x) = x
C. f(x) = |x|
D. f(x) = x^3
30. Tính tích phân ∫ dx / (1 + x^2).
A. arctan(x) + C
B. arcsin(x) + C
C. ln(1 + x^2) + C
D. -arctan(x) + C
