1. Phép biến đổi tuyến tính nào sau đây là phép chiếu vuông góc lên trục Ox trong R²?
A. T(x, y) = (x, y)
B. T(x, y) = (0, y)
C. T(x, y) = (x, 0)
D. T(x, y) = (y, x)
2. Cho ma trận A và B cùng cấp. Tính chất nào sau đây luôn đúng?
A. (A + B)² = A² + 2AB + B²
B. (AB)ᵀ = AᵀBᵀ
C. (A + B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ
D. (AB)⁻¹ = A⁻¹B⁻¹
3. Phép khử Gauss được sử dụng để:
A. Tính định thức của ma trận.
B. Giải hệ phương trình tuyến tính.
C. Tìm vector riêng và giá trị riêng.
D. Tính ma trận nghịch đảo.
4. Trong không gian vector R³, cơ sở chính tắc là:
A. {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}
B. {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
C. {(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)}
D. {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}
5. Phép biến đổi tuyến tính khả nghịch nếu và chỉ nếu:
A. Hạt nhân (kernel) của nó là không gian vector V.
B. Ảnh (image) của nó là không gian vector {0}.
C. Hạt nhân (kernel) của nó chỉ chứa vector không.
D. Ảnh (image) của nó là không gian vector {0} và hạt nhân là V.
6. Phép biến đổi sơ cấp trên hàng của ma trận KHÔNG làm thay đổi:
A. Định thức của ma trận.
B. Không gian cột của ma trận.
C. Không gian nghiệm của hệ AX = 0.
D. Không gian dòng của ma trận.
7. Ma trận vuông khả nghịch khi và chỉ khi:
A. Định thức của nó bằng 0.
B. Tất cả các giá trị riêng của nó đều khác 0.
C. Các cột của nó phụ thuộc tuyến tính.
D. Hạng của nó nhỏ hơn cấp của ma trận.
8. Vector pháp tuyến của mặt phẳng trong R³ được cho bởi phương trình ax + by + cz = d là:
A. (a, b, c)
B. (x, y, z)
C. (a, b, c, d)
D. (d, c, b, a)
9. Ma trận đường chéo là ma trận:
A. Có tất cả các phần tử bằng 0.
B. Chỉ có các phần tử trên đường chéo chính khác 0, các phần tử khác bằng 0.
C. Có định thức bằng 0.
D. Có tất cả các phần tử trên đường chéo chính bằng 1.
10. Định thức của ma trận tam giác trên bằng:
A. Tổng các phần tử trên đường chéo chính.
B. Tích các phần tử trên đường chéo chính.
C. 0.
D. 1.
11. Hai vector u và v được gọi là trực giao nếu:
A. Chúng cùng phương.
B. Tích vô hướng của chúng bằng 1.
C. Tích vô hướng của chúng bằng 0.
D. Chúng có cùng độ dài.
12. Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0, với A là ma trận vuông cấp n. Hệ có nghiệm không tầm thường khi:
A. det(A) ≠ 0
B. rank(A) = n
C. rank(A) < n
D. Hệ luôn có nghiệm không tầm thường.
13. Giá trị riêng của ma trận A là:
A. Các vector v khác không thỏa mãn Av = λv.
B. Các скаляр λ sao cho det(A - λI) = 0.
C. Định thức của ma trận A.
D. Hạng của ma trận A.
14. Cho ma trận A = [[1, 2], [3, 4]]. Ma trận chuyển vị của A là:
A. [[-1, -2], [-3, -4]]
B. [[1, 3], [2, 4]]
C. [[4, 3], [2, 1]]
D. [[2, 1], [4, 3]]
15. Vector nào sau đây là vector riêng của ma trận A = [[2, 0], [0, 3]]:
A. (1, 1)
B. (1, 0)
C. (0, 1, 1)
D. (2, 3)
16. Hạng của ma trận là:
A. Số chiều của không gian nghiệm.
B. Số chiều của không gian dòng (hoặc cột).
C. Định thức của ma trận.
D. Tổng các phần tử trên đường chéo chính.
17. Cho không gian vector V và W. Một ánh xạ f: V → W là tuyến tính khi và chỉ khi với mọi u, v ∈ V và mọi скаляр c, ta có:
A. f(u + v) = f(u) + f(v) và f(cu) = cf(u)
B. f(u + v) = f(u) - f(v) và f(cu) = c + f(u)
C. f(u + v) = f(u)f(v) và f(cu) = cf(u)
D. f(u + v) = f(v) - f(u) và f(cu) = f(u)/c
18. Cho ma trận A vuông cấp n. Phát biểu nào sau đây là SAI?
A. Nếu det(A) ≠ 0 thì A khả nghịch.
B. Nếu A khả nghịch thì hệ AX = b có nghiệm duy nhất.
C. Nếu A không khả nghịch thì det(A) = 0.
D. Nếu det(A) = 0 thì hệ AX = 0 chỉ có nghiệm tầm thường.
19. Cho không gian vector V. Tập con H của V là không gian con của V nếu:
A. H đóng kín với phép cộng vector.
B. H đóng kín với phép nhân với скаляр.
C. H chứa vector không và đóng kín với phép cộng và phép nhân với скаляр.
D. H khác rỗng.
20. Cho vector v = (1, -2, 3). Chuẩn Euclid (chuẩn 2) của vector v là:
A. √6
B. √10
C. √14
D. √20
21. Cho hệ phương trình tuyến tính AX = b. Hệ phương trình này vô nghiệm khi:
A. rank(A) = rank([A|b])
B. rank(A) < rank([A|b])
C. det(A) ≠ 0
D. b = 0
22. Trong phương pháp Cramer để giải hệ phương trình tuyến tính AX = b (với det(A) ≠ 0), nghiệm xᵢ được tính bằng:
A. det(Aᵢ) / det(A), với Aᵢ là ma trận thay cột i của A bằng cột b.
B. det(A) / det(Aᵢ), với Aᵢ là ma trận thay cột i của A bằng cột b.
C. det(Aᵢ) * det(A), với Aᵢ là ma trận thay cột i của A bằng cột b.
D. det(A) - det(Aᵢ), với Aᵢ là ma trận thay cột i của A bằng cột b.
23. Phép biến đổi tuyến tính T: R² → R² được cho bởi T(x, y) = (2x + y, x - y). Ma trận biểu diễn của T đối với cơ sở chính tắc là:
A. [[2, 1], [1, -1]]
B. [[2, -1], [1, 1]]
C. [[1, 2], [-1, 1]]
D. [[-1, 1], [2, 1]]
24. Cho hai vector u = (1, 2, 3) và v = (-1, 0, 1). Tích vô hướng của u và v bằng:
25. Không gian con sinh bởi tập hợp vector S = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)} có số chiều là:
26. Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0 là một:
A. Vector.
B. Điểm.
C. Không gian con của không gian vector.
D. Tập hợp rỗng.
27. Vector nào sau đây độc lập tuyến tính với vector (1, 2)?
A. (2, 4)
B. (-2, -4)
C. (0, 0)
D. (2, 1)
28. Cho ma trận vuông A cấp n. Phát biểu nào sau đây là ĐÚNG về định thức?
A. det(2A) = 2det(A)
B. det(Aᵀ) = -det(A)
C. det(AB) = det(A) + det(B)
D. det(cA) = cⁿdet(A), với c là скаляр.
29. Cho ma trận A vuông. Tổng các giá trị riêng của A bằng:
A. Định thức của A.
B. Vết (trace) của A.
C. Hạng của A.
D. 0.
30. Trong không gian vector R³, tích có hướng của hai vector u và v là một:
A. Скаляр.
B. Vector trực giao với cả u và v.
C. Ma trận.
D. Số phức.
