1. Cho vector u và v trong không gian Euclid. Tích vô hướng (tích trong) của u và v được ký hiệu là hoặc u.v. Giá trị của tích vô hướng này là một...
A. Vector.
B. Ma trận.
C. Số vô hướng (scalar).
D. Tập hợp các vector.
2. Hạng của ma trận (rank) là gì?
A. Số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tương ứng.
B. Số cột của ma trận.
C. Số dòng khác không tối đa trong dạng bậc thang rút gọn của ma trận.
D. Tổng các phần tử trên đường chéo chính.
3. Phép biến đổi tuyến tính bảo toàn tích vô hướng được gọi là gì?
A. Phép biến đổi trực giao.
B. Phép biến đổi afin.
C. Phép biến đổi chiếu.
D. Phép biến đổi tỷ lệ.
4. Khi nào hệ phương trình tuyến tính Ax = b vô nghiệm?
A. Khi định thức của ma trận hệ số A khác 0.
B. Khi hạng của ma trận hệ số A bằng hạng của ma trận bổ sung [A|b].
C. Khi hạng của ma trận hệ số A nhỏ hơn hạng của ma trận bổ sung [A|b].
D. Khi tất cả các hệ số của ma trận A đều bằng 0.
5. Trong không gian vector R^3, tích hỗn tạp của ba vector u, v, w ([u, v, w] = u.(v x w)) biểu diễn điều gì về mặt hình học?
A. Diện tích của tam giác tạo bởi ba vector.
B. Thể tích của hình hộp hành (parallelepiped) tạo bởi ba vector.
C. Độ dài đường chéo của hình hộp hành.
D. Tổng độ dài ba vector.
6. Trong không gian vector R^3, tích có hướng của hai vector u và v là một vector như thế nào?
A. Cùng phương với vector u.
B. Cùng phương với vector v.
C. Vuông góc với cả vector u và vector v.
D. Nằm trong mặt phẳng chứa vector u và vector v.
7. Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ax = 0. Hệ này luôn có nghiệm tầm thường (nghiệm không). Khi nào hệ có nghiệm không tầm thường?
A. Khi định thức của ma trận hệ số A khác 0.
B. Khi định thức của ma trận hệ số A bằng 0.
C. Khi hạng của ma trận A bằng số ẩn.
D. Hệ phương trình thuần nhất luôn chỉ có nghiệm tầm thường.
8. Trong thuật toán Gauss-Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính, mục tiêu cuối cùng là đưa ma trận bổ sung về dạng nào?
A. Dạng bậc thang.
B. Dạng bậc thang rút gọn.
C. Ma trận đường chéo.
D. Ma trận đơn vị ở phần ma trận hệ số.
9. Để giải hệ phương trình tuyến tính Ax = b bằng phương pháp Cramer, điều kiện cần là gì?
A. Ma trận A phải là ma trận vuông.
B. Định thức của ma trận A phải khác 0.
C. Cả hai điều kiện trên.
D. Chỉ cần ma trận A là ma trận chữ nhật.
10. Ma trận vuông A được gọi là ma trận phản đối xứng (skew-symmetric) nếu thỏa mãn điều kiện nào?
A. A = A^T.
B. A = A^-1.
C. A = -A^T.
D. A = -A.
11. Cơ sở của không gian vector là gì?
A. Một tập hợp các vector sinh ra không gian vector đó và phụ thuộc tuyến tính.
B. Một tập hợp các vector sinh ra không gian vector đó và độc lập tuyến tính.
C. Một tập hợp bất kỳ các vector trong không gian vector.
D. Một tập hợp các vector vuông góc với nhau.
12. Không gian sinh bởi một tập hợp các vector (span) là gì?
A. Tập hợp các vector ban đầu.
B. Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vector đó.
C. Tập hợp các vector vuông góc với các vector ban đầu.
D. Tập hợp các vector có độ dài bằng 1.
13. Cho không gian vector V có số chiều hữu hạn. Tổng số chiều của không gian con W và không gian bù trực giao W^⊥ của nó bằng bao nhiêu?
A. Nhỏ hơn số chiều của V.
B. Bằng số chiều của V.
C. Lớn hơn số chiều của V.
D. Không xác định.
14. Định thức của tích hai ma trận vuông A và B (cùng cấp) bằng gì?
A. det(A) + det(B).
B. det(A) - det(B).
C. det(A) * det(B).
D. det(A) / det(B).
15. Chuẩn của vector (norm) đo lường điều gì?
A. Hướng của vector.
B. Độ dài của vector.
C. Góc giữa vector và trục tọa độ.
D. Vị trí của vector trong không gian.
16. Ma trận vuông A được gọi là ma trận đối xứng nếu thỏa mãn điều kiện nào?
A. A = -A^T.
B. A = A^-1.
C. A = A^T.
D. A = -A.
17. Vector riêng của ma trận vuông A là vector như thế nào?
A. Vector mà khi nhân với A thì độ dài của nó không thay đổi.
B. Vector mà khi nhân với A thì hướng của nó không thay đổi (hoặc ngược lại).
C. Vector có độ dài bằng 1.
D. Vector mà khi nhân với A thì trở thành vector không.
18. Phép biến đổi tuyến tính T: V -> W là đơn ánh khi và chỉ khi điều kiện nào sau đây được thỏa mãn?
A. dim(V) < dim(W).
B. Ker(T) = {0} (hạt nhân của T chỉ chứa vector không).
C. Im(T) = W (ảnh của T là toàn bộ không gian W).
D. dim(Ker(T)) + dim(Im(T)) = dim(W).
19. Trong không gian vector R^2, ma trận nào sau đây biểu diễn phép quay quanh gốc tọa độ một góc 90 độ ngược chiều kim đồng hồ?
A. [[0, 1], [-1, 0]]
B. [[0, -1], [1, 0]]
C. [[1, 0], [0, 1]]
D. [[-1, 0], [0, -1]]
20. Cho ma trận A vuông cấp n. Định thức của ma trận A chuyển vị (A^T) bằng định thức của ma trận nào?
A. Ma trận nghịch đảo của A (A^-1)
B. Ma trận đối của A (-A)
C. Ma trận A
D. Ma trận đơn vị I
21. Cho ma trận A khả nghịch. Ma trận nghịch đảo A^-1 thỏa mãn điều kiện nào sau đây?
A. A + A^-1 = I (ma trận đơn vị).
B. A - A^-1 = 0 (ma trận không).
C. A * A^-1 = I (ma trận đơn vị).
D. det(A^-1) = det(A).
22. Trong phân tích LU (phân tích ma trận thành tích của ma trận tam giác dưới L và ma trận tam giác trên U), ma trận L là ma trận gì?
A. Ma trận tam giác trên.
B. Ma trận tam giác dưới.
C. Ma trận đường chéo.
D. Ma trận đơn vị.
23. Phép chiếu trực giao từ không gian vector V lên không gian con W của V là một phép biến đổi tuyến tính như thế nào?
A. Đơn ánh.
B. Toàn ánh.
C. Vừa đơn ánh vừa toàn ánh (song ánh).
D. Không đơn ánh và không toàn ánh (nếu W là không gian con thực sự của V).
24. Hạng của tích hai ma trận A và B (rank(AB)) có mối quan hệ như thế nào với hạng của A và hạng của B?
A. rank(AB) = rank(A) + rank(B).
B. rank(AB) = rank(A) - rank(B).
C. rank(AB) ≤ min(rank(A), rank(B)).
D. rank(AB) ≥ max(rank(A), rank(B)).
25. Cho phép biến đổi tuyến tính T: R^2 -> R^2 có ma trận biểu diễn là [[2, 0], [0, 3]]. Phép biến đổi này có tác dụng gì lên các vector trong R^2?
A. Quay vector quanh gốc tọa độ.
B. Chiếu vector lên trục x.
C. Co giãn vector theo phương x gấp 2 lần và theo phương y gấp 3 lần.
D. Lật vector qua gốc tọa độ.
26. Cho ma trận A vuông cấp n. Nếu ma trận A có định thức bằng 0, thì ma trận A như thế nào?
A. Khả nghịch.
B. Không khả nghịch.
C. Luôn là ma trận đơn vị.
D. Luôn là ma trận không.
27. Cho không gian vector V và không gian con W của V. Số chiều của không gian con W luôn như thế nào so với số chiều của V?
A. Lớn hơn hoặc bằng số chiều của V.
B. Luôn lớn hơn số chiều của V.
C. Nhỏ hơn hoặc bằng số chiều của V.
D. Không có mối quan hệ nhất định.
28. Giá trị riêng (eigenvalue) của ma trận A là gì?
A. Một vector v khác không sao cho Av = λv, với λ là một số vô hướng.
B. Một số vô hướng λ sao cho tồn tại vector v khác không thỏa mãn Av = λv.
C. Định thức của ma trận A.
D. Hạng của ma trận A.
29. Trong không gian vector, một tập hợp các vector được gọi là phụ thuộc tuyến tính khi nào?
A. Khi tổ hợp tuyến tính của chúng bằng vector không chỉ khi tất cả các hệ số đều bằng 0.
B. Khi tồn tại ít nhất một vector trong tập hợp có thể biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của các vector còn lại.
C. Khi số lượng vector trong tập hợp ít hơn số chiều của không gian vector.
D. Khi tất cả các vector trong tập hợp đều vuông góc với nhau.
30. Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ax = 0 luôn là gì?
A. Một tập hợp rỗng.
B. Một không gian con của không gian vector các ẩn.
C. Toàn bộ không gian vector các ẩn.
D. Một vector duy nhất.
