1. Cho ma trận A vuông cấp n. Tổng các giá trị riêng của A (tính cả bội) bằng:
A. det(A)
B. tr(A)
C. rank(A)
D. 0
2. Cho ma trận vuông A khả nghịch. Nếu λ là giá trị riêng của A thì 1/λ là giá trị riêng của ma trận:
A. A⁻¹
B. -A
C. A²
D. A + I
3. Phép biến đổi tuyến tính T: R² → R² được cho bởi T(x, y) = (2x + y, x - y). Ma trận biểu diễn của T đối với cơ sở chính tắc là:
A. [[2, 1], [1, -1]]
B. [[2, -1], [1, 1]]
C. [[1, 2], [-1, 1]]
D. [[-1, 1], [2, 1]]
4. Ma trận đường chéo hóa được khi và chỉ khi:
A. Nó là ma trận khả nghịch.
B. Nó là ma trận vuông.
C. Tổng bội đại số của các giá trị riêng bằng cấp của ma trận.
D. Tổng bội hình học của các giá trị riêng bằng cấp của ma trận.
5. Định thức của tích hai ma trận vuông A và B (cùng cấp) bằng:
A. det(A) + det(B)
B. det(A) - det(B)
C. det(A) * det(B)
D. det(A) / det(B)
6. Hạng của ma trận là số chiều của:
A. Không gian nghiệm.
B. Không gian cột (hoặc không gian hàng).
C. Không gian vectơ.
D. Ma trận đó.
7. Ma trận vuông khả nghịch khi và chỉ khi:
A. Định thức của nó bằng 0.
B. Các cột của nó độc lập tuyến tính.
C. Nó có ít nhất một giá trị riêng bằng 0.
D. Hạng của nó nhỏ hơn cấp của ma trận.
8. Cho ma trận A kích thước m x n. Số chiều của không gian nghiệm (nullity) của A cộng với hạng (rank) của A bằng:
A. m
B. n
C. m + n
D. max(m, n)
9. Phân tích QR (QR decomposition) của ma trận A là phân tích A thành tích của:
A. Ma trận trực giao (Q) và ma trận tam giác trên (R).
B. Ma trận tam giác dưới (L) và ma trận tam giác trên (U).
C. Ma trận đơn vị và ma trận chuyển vị.
D. Ma trận đường chéo và ma trận khả nghịch.
10. Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0 luôn là:
A. Tập rỗng.
B. Một không gian con của không gian vectơ.
C. Toàn bộ không gian vectơ.
D. Một tập hợp các vectơ song song.
11. Một tập hợp các vectơ {v₁, v₂, ..., vk} trong không gian vectơ V được gọi là độc lập tuyến tính nếu:
A. Có ít nhất một vectơ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại.
B. Mọi tổ hợp tuyến tính của chúng đều bằng vectơ không.
C. Tổ hợp tuyến tính c₁v₁ + c₂v₂ + ... + ckvk = 0 chỉ khi c₁ = c₂ = ... = ck = 0.
D. Chúng trực giao với nhau.
12. Phép biến đổi tuyến tính bảo toàn:
A. Độ dài vectơ.
B. Góc giữa các vectơ.
C. Phép cộng vectơ và phép nhân vô hướng.
D. Diện tích và thể tích.
13. Phép chiếu trực giao của vectơ v lên không gian con W là vectơ w thuộc W sao cho:
A. v - w trực giao với mọi vectơ trong W.
B. w trực giao với mọi vectơ trong W.
C. v trực giao với mọi vectơ trong W.
D. v + w trực giao với mọi vectơ trong W.
14. Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0, với A là ma trận vuông cấp n. Hệ có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi:
A. det(A) ≠ 0
B. det(A) = 0
C. rank(A) = n
D. A là ma trận khả nghịch.
15. Cho hai không gian con U và W của không gian vectơ V. Tổng U + W được định nghĩa là:
A. Giao của U và W (U ∩ W).
B. Hợp của U và W (U ∪ W).
C. Tập hợp tất cả các vectơ có dạng u + w, với u ∈ U và w ∈ W.
D. Tích Descartes của U và W (U × W).
16. Không gian sinh của một tập hợp các vectơ S = {v₁, v₂, ..., vk} là:
A. Chính tập hợp S.
B. Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong S.
C. Tập hợp các vectơ trực giao với S.
D. Không gian nhỏ nhất chứa S.
17. Cơ sở trực chuẩn là cơ sở:
A. Chỉ chứa các vectơ trực giao.
B. Chỉ chứa các vectơ đơn vị.
C. Chứa các vectơ trực giao và có độ dài đơn vị.
D. Chứa các vectơ độc lập tuyến tính và có độ dài bằng nhau.
18. Định thức của ma trận chuyển vị Aᵀ bằng:
A. -det(A)
B. 1/det(A)
C. det(A)
D. det(A)²
19. Sai số làm tròn trong tính toán số có thể tích lũy và ảnh hưởng đến kết quả của các phép toán đại số tuyến tính, đặc biệt trong:
A. Phép cộng và trừ ma trận.
B. Phép nhân ma trận.
C. Giải hệ phương trình tuyến tính lớn và tính giá trị riêng.
D. Tính định thức của ma trận nhỏ.
20. Phân tích LU (LU decomposition) của ma trận A là phân tích A thành tích của:
A. Ma trận trực giao và ma trận đường chéo.
B. Ma trận tam giác dưới (L) và ma trận tam giác trên (U).
C. Ma trận đơn vị và ma trận chuyển vị.
D. Ma trận đường chéo và ma trận khả nghịch.
21. Trong thuật toán Google PageRank, ma trận chuyển xác suất được sử dụng để:
A. Mã hóa dữ liệu tìm kiếm.
B. Tính toán độ quan trọng của các trang web.
C. Lưu trữ dữ liệu web.
D. Hiển thị kết quả tìm kiếm.
22. Tích các giá trị riêng của ma trận vuông A (tính cả bội) bằng:
A. det(A)
B. tr(A)
C. rank(A)
D. 0
23. Hai vectơ u và v trong không gian vectơ Euclid được gọi là trực giao nếu:
A. Chúng cùng phương.
B. Tích vô hướng của chúng bằng 0.
C. Tổng của chúng bằng vectơ không.
D. Chúng có độ dài bằng nhau.
24. Cho ma trận vuông A. Nếu λ là giá trị riêng của A thì λ³ là giá trị riêng của ma trận:
A. 3A
B. A³
C. A + 3I
D. A - 3I
25. Ma trận A và B được gọi là đồng dạng nếu tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho:
A. B = PA
B. B = AP
C. B = P⁻¹AP
D. B = PAP⁻¹
26. Giá trị riêng của ma trận A là nghiệm của phương trình:
A. det(A) = 0
B. det(A - λI) = 0
C. tr(A - λI) = 0
D. rank(A - λI) = 0
27. Số chiều của không gian vectơ Rⁿ là:
28. Phương pháp khử Gauss được sử dụng để:
A. Tính giá trị riêng của ma trận.
B. Đường chéo hóa ma trận.
C. Giải hệ phương trình tuyến tính và tìm ma trận nghịch đảo.
D. Tính định thức bằng khai triển theo hàng/cột.
29. Ứng dụng của phân tích giá trị riêng và vectơ riêng trong thực tế bao gồm:
A. Giải hệ phương trình tuyến tính.
B. Nén ảnh và phân tích thành phần chính (PCA).
C. Tính định thức ma trận.
D. Tìm ma trận nghịch đảo.
30. Trong không gian vectơ, một tập hợp con W của V là không gian con của V nếu:
A. W đóng kín với phép cộng vectơ nhưng không nhất thiết đóng kín với phép nhân vô hướng.
B. W đóng kín với phép nhân vô hướng nhưng không nhất thiết đóng kín với phép cộng vectơ.
C. W đóng kín với cả phép cộng vectơ và phép nhân vô hướng, và chứa vectơ không.
D. W chứa vectơ không và có số chiều nhỏ hơn V.
