1. Cho ma trận A vuông cấp n. Nếu det(A) = 0, thì điều gì sau đây chắc chắn đúng?
A. A khả nghịch
B. A có các hàng độc lập tuyến tính
C. Hệ Ax = 0 có nghiệm duy nhất
D. Hệ Ax = 0 có vô số nghiệm không tầm thường
2. Trong không gian R^3, tích có hướng của hai vectơ u và v là một vectơ:
A. Nằm trong mặt phẳng chứa u và v
B. Song song với cả u và v
C. Trực giao với cả u và v
D. Là tổ hợp tuyến tính của u và v
3. Cho ma trận A kích thước m x n. Không gian cột của A là không gian con của:
A. R^n
B. R^m
C. R^(m x n)
D. R^(n x m)
4. Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi:
A. det(A) = 0
B. det(A) ≠ 0
C. A là ma trận đường chéo
D. A là ma trận tam giác
5. Giá trị riêng của ma trận A là nghiệm của phương trình nào sau đây?
A. det(A - λI) = 0
B. det(A + λI) = 0
C. det(λA - I) = 0
D. tr(A - λI) = 0
6. Cho hệ phương trình tuyến tính Ax = b. Nếu hệ có nghiệm duy nhất, điều gì sau đây là đúng?
A. rank(A) < số ẩn
B. rank(A) = số ẩn = rank([A|b])
C. rank(A) < rank([A|b])
D. det(A) = 0
7. Phép biến đổi tuyến tính T: R^2 -> R^2 được cho bởi T(x, y) = (2x + y, x - y). Ma trận biểu diễn của T đối với cơ sở chuẩn là:
A. [[2, 1], [1, -1]]
B. [[1, -1], [2, 1]]
C. [[2, -1], [1, 1]]
D. [[-1, 1], [1, 2]]
8. Ma trận chuyển vị của tích hai ma trận (AB)^T bằng:
A. A^T B^T
B. B^T A^T
C. AB
D. BA
9. Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ax = 0 luôn là:
A. Tập rỗng
B. Một điểm
C. Một đường thẳng
D. Một không gian con
10. Trong không gian vectơ, tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính tối đa được gọi là:
A. Không gian con
B. Cơ sở
C. Tập sinh
D. Hạng
11. Phép biến đổi sơ cấp hàng loại 1 là:
A. Nhân một hàng với một số khác 0.
B. Hoán đổi hai cột.
C. Nhân một cột với một số khác 0.
D. Cộng một bội của một cột vào cột khác.
12. Điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông A chéo hóa được là:
A. A khả nghịch
B. A đối xứng
C. A có đủ số lượng vectơ riêng độc lập tuyến tính bằng cấp của ma trận
D. det(A) ≠ 0
13. Hạng của ma trận A là số chiều của:
A. Không gian hạt nhân (kernel) của A
B. Không gian ảnh (image) của A
C. Không gian nghiệm của Ax = 0
D. Không gian hàng bên trái của A
14. Định thức của ma trận tam giác (trên hoặc dưới) bằng:
A. Tổng các phần tử trên đường chéo chính
B. Tích các phần tử trên đường chéo chính
C. Tổng các phần tử ngoài đường chéo chính
D. Tích các phần tử ngoài đường chéo chính
15. Cho ánh xạ tuyến tính f: V → W. Hạt nhân (Ker(f)) của f là:
A. {v ∈ V | f(v) = 0}
B. {w ∈ W | f(v) = w với mọi v ∈ V}
C. {w ∈ W | f(v) = 0 với mọi v ∈ V}
D. {v ∈ V | f(v) ≠ 0}
16. Hai vectơ u và v được gọi là trực giao nếu:
A. u = kv với k là một số vô hướng
B. u · v = 0
C. ||u|| = ||v||
D. u + v = 0
17. Không gian con của R^3 có thể có số chiều nào sau đây?
18. Trong không gian tích trong, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz phát biểu rằng:
A. || ≤ ||u|| + ||v||
B. || ≥ ||u|| ||v||
C. ||^2 ≤ ||u||^2 ||v||^2
D. || = ||u|| ||v||
19. Cho vectơ u = (1, -2, 3). Độ dài (chuẩn) của vectơ u là:
20. Định thức của ma trận đơn vị cấp n luôn bằng:
21. Trong phương pháp khử Gauss, mục tiêu chính là biến đổi ma trận hệ số về dạng:
A. Ma trận đường chéo
B. Ma trận đơn vị
C. Ma trận bậc thang
D. Ma trận đối xứng
22. Cho hai ma trận A và B cùng cấp. Phát biểu nào sau đây luôn đúng?
A. (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2
B. (A + B)B = AB + B^2
C. AB = BA
D. det(A + B) = det(A) + det(B)
23. Hai không gian con V và W của không gian vectơ U được gọi là bù nhau nếu:
A. V ∩ W = {0}
B. V + W = U
C. V ∩ W = {0} và V + W = U
D. V ⊆ W
24. Phép chiếu trực giao của vectơ v lên không gian con W là vectơ w ∈ W sao cho:
A. v - w trực giao với mọi vectơ trong W
B. w trực giao với mọi vectơ trong W
C. v trực giao với mọi vectơ trong W
D. v - w thuộc W
25. Quy trình Gram-Schmidt được sử dụng để:
A. Giải hệ phương trình tuyến tính
B. Tìm định thức của ma trận
C. Chuẩn hóa một cơ sở thành cơ sở trực chuẩn
D. Tính giá trị riêng của ma trận
26. Trong không gian vectơ R^3, vectơ nào sau đây là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u = (1, 2, 1) và v = (2, 1, -1)?
A. (3, 3, 0)
B. (1, 1, 1)
C. (0, 0, 1)
D. (4, 2, -2)
27. Số chiều của không gian nghiệm của hệ Ax = 0 cộng với hạng của ma trận A bằng:
A. Số hàng của A
B. Số cột của A
C. Số phần tử của A
D. Định thức của A
28. Phân tích giá trị сингуляр (SVD) của ma trận A có dạng:
A. A = LU
B. A = QR
C. A = PDP^-1
D. A = UΣV^T
29. Ma trận vuông A được gọi là ma trận đối xứng nếu:
A. A = -A^T
B. A = A^T
C. A^T = A^-1
D. A = -A^-1
30. Phép biến đổi tuyến tính bảo toàn khoảng cách được gọi là:
A. Phép chiếu
B. Phép quay
C. Phép co giãn
D. Phép tịnh tiến
