1. Phương pháp khử Gauss dùng để:
A. Tính định thức của ma trận.
B. Tìm ma trận nghịch đảo.
C. Giải hệ phương trình tuyến tính.
D. Tất cả các đáp án trên.
2. Ma trận vuông khả nghịch khi và chỉ khi:
A. Định thức của nó bằng 0.
B. Các hàng của nó phụ thuộc tuyến tính.
C. Các cột của nó độc lập tuyến tính.
D. Nó có một hàng hoặc cột toàn số 0.
3. Cho ma trận A vuông. Điều kiện nào sau đây tương đương với việc A là ma trận khả nghịch?
A. Không gian nghiệm Null(A) chứa vector khác không.
B. Các cột của A phụ thuộc tuyến tính.
C. Hệ phương trình Ax = 0 chỉ có nghiệm tầm thường.
D. 0 là giá trị riêng của A.
4. Phân tích giá trị сингуляр (SVD) của ma trận A là phân tích A thành tích của ba ma trận:
A. LU
B. QR
C. PDP⁻¹
D. USVᵀ
5. Điều kiện nào sau đây không phải là điều kiện để một tập hợp vector là độc lập tuyến tính?
A. Tổ hợp tuyến tính của chúng bằng vector không chỉ khi tất cả các hệ số đều bằng 0.
B. Không vector nào trong tập hợp là tổ hợp tuyến tính của các vector còn lại.
C. Tập hợp chứa vector không.
D. Số lượng vector trong tập hợp không vượt quá số chiều của không gian vector chứa chúng.
6. Cho hệ phương trình tuyến tính Ax = b. Hệ này vô nghiệm khi:
A. rank(A) = rank([A|b]).
B. rank(A) < rank([A|b]).
C. det(A) ≠ 0.
D. b là vector không.
7. Không gian cột của ma trận A là:
A. Tập hợp tất cả các vector x sao cho Ax = 0.
B. Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các hàng của A.
C. Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các cột của A.
D. Tập hợp tất cả các vector b sao cho hệ Ax = b có nghiệm.
8. Phép biến đổi trực giao là phép biến đổi tuyến tính:
A. Bảo toàn diện tích nhưng không bảo toàn góc.
B. Bảo toàn góc nhưng không bảo toàn độ dài.
C. Bảo toàn cả độ dài vector và góc giữa các vector.
D. Không bảo toàn cả độ dài vector và góc giữa các vector.
9. Không gian nghiệm của ma trận A là:
A. Tập hợp tất cả các vector b sao cho Ax = b có nghiệm.
B. Tập hợp tất cả các vector x sao cho Ax = 0.
C. Không gian sinh bởi các cột của A.
D. Không gian sinh bởi các hàng của A.
10. Hạng của ma trận là:
A. Số chiều của không gian nghiệm.
B. Số chiều của không gian cột (hoặc không gian hàng).
C. Số hàng của ma trận.
D. Số cột của ma trận.
11. Đường chéo hóa ma trận vuông A là quá trình tìm:
A. Ma trận tam giác đồng dạng với A.
B. Ma trận đường chéo đồng dạng với A.
C. Ma trận đơn vị đồng dạng với A.
D. Ma trận nghịch đảo của A.
12. Phép biến đổi tuyến tính từ Rⁿ sang Rᵐ có thể được biểu diễn bằng:
A. Một vector trong Rⁿ.
B. Một vector trong Rᵐ.
C. Một ma trận m x n.
D. Một ma trận n x m.
13. Các vector nào sau đây là trực giao?
A. (1, 2) và (2, 1)
B. (1, -1) và (-1, 1)
C. (1, 2) và (-2, 1)
D. (2, 3) và (3, 2)
14. Cơ sở của không gian vector là:
A. Một tập sinh của không gian vector đó.
B. Một tập hợp các vector độc lập tuyến tính.
C. Một tập sinh độc lập tuyến tính của không gian vector đó.
D. Bất kỳ tập hợp các vector nào trong không gian vector đó.
15. Phép biến đổi tuyến tính T: R² → R² được cho bởi T(x, y) = (2x + y, x - y). Ma trận biểu diễn của T đối với cơ sở chính tắc là:
A. [[2, 1], [1, -1]]
B. [[2, -1], [1, 1]]
C. [[1, 2], [-1, 1]]
D. [[-1, 1], [2, 1]]
16. Phép biến đổi tuyến tính bảo toàn:
A. Độ dài vector nhưng không bảo toàn góc giữa các vector.
B. Góc giữa các vector nhưng không bảo toàn độ dài vector.
C. Cả độ dài vector và góc giữa các vector.
D. Tính chất tuyến tính (phép cộng và phép nhân vô hướng).
17. Cho ma trận A = [[1, 2], [3, 4]]. Định thức của ma trận A là:
18. Vector pháp tuyến của một mặt phẳng trong không gian R³ là:
A. Vector nằm trên mặt phẳng.
B. Vector vuông góc với mặt phẳng.
C. Vector chỉ phương của đường thẳng nằm trên mặt phẳng.
D. Vector đơn vị trong R³.
19. Phép chiếu trực giao của vector b lên không gian cột của ma trận A là vector nào gần b nhất trong Col(A)?
A. Sai
B. Đúng
C. Không xác định
D. Không liên quan
20. Cho không gian vector con W = span{v₁, v₂} với v₁ = (1, 0, 1) và v₂ = (0, 1, 1). Vector nào sau đây thuộc W?
A. (1, 1, 1)
B. (1, -1, 0)
C. (2, 3, 4)
D. (0, 0, 1)
21. Tính chất nào sau đây không đúng với định thức?
A. det(A + B) = det(A) + det(B).
B. det(AB) = det(A)det(B).
C. det(Aᵀ) = det(A).
D. Nếu A có hai hàng giống nhau thì det(A) = 0.
22. Không gian con của không gian vector V là:
A. Một tập hợp con của V đóng với phép cộng vector nhưng không đóng với phép nhân vô hướng.
B. Một tập hợp con của V đóng với phép nhân vô hướng nhưng không đóng với phép cộng vector.
C. Một tập hợp con rỗng của V.
D. Một tập hợp con của V đóng với cả phép cộng vector và phép nhân vô hướng.
23. Cho vector v = (1, 2, 3). Chuẩn (norm) L² của vector v là:
24. Ma trận vuông A là ma trận đối xứng nếu:
A. Aᵀ = -A.
B. Aᵀ = A.
C. A⁻¹ = A.
D. A⁻¹ = Aᵀ.
25. Giá trị riêng của ma trận A là gì?
A. Các vector x khác không sao cho Ax = λx, với λ là một số vô hướng.
B. Các số vô hướng λ sao cho tồn tại vector x khác không thỏa mãn Ax = λx.
C. Các hàng của ma trận A.
D. Các cột của ma trận A.
26. Cho ma trận A kích thước m x n. Số chiều của không gian nghiệm Null(A) cộng với số chiều của không gian cột Col(A) bằng:
A. m
B. n
C. m + n
D. min(m, n)
27. Nếu ma trận A và B cùng cấp và khả nghịch, thì (AB)⁻¹ bằng:
A. A⁻¹B⁻¹
B. B⁻¹A⁻¹
C. AB
D. BA
28. Cho ma trận A vuông cấp n. Phát biểu nào sau đây là sai?
A. Nếu det(A) ≠ 0 thì A khả nghịch.
B. Nếu A khả nghịch thì hệ AX = b có nghiệm duy nhất với mọi b.
C. Nếu các cột của A phụ thuộc tuyến tính thì det(A) = 0.
D. Nếu det(A) = 0 thì A khả nghịch.
29. Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0, với A là ma trận vuông cấp n. Hệ có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi:
A. det(A) ≠ 0.
B. rank(A) = n.
C. rank(A) < n.
D. A là ma trận đơn vị.
30. Vector riêng của ma trận vuông A là:
A. Vector không.
B. Bất kỳ vector nào trong không gian vector.
C. Vector x khác không sao cho Ax là bội số vô hướng của x.
D. Vector x sao cho Ax = 0.
