1. Phân tích QR của ma trận A phân tích A thành tích của ma trận nào?
A. Ma trận trực giao Q và ma trận đường chéo R.
B. Ma trận trực giao Q và ma trận tam giác trên R.
C. Ma trận tam giác dưới L và ma trận tam giác trên U.
D. Ma trận đường chéo D và ma trận khả nghịch P.
2. Cho ma trận A vuông cấp n. Phát biểu nào sau đây là đúng về định thức?
A. det(2A) = 2det(A)
B. det(A^T) = -det(A)
C. det(cA) = c^n det(A), với c là hằng số.
D. det(A + B) = det(A) + det(B)
3. Trong phân tích suy biến đơn giá trị (SVD), ma trận Σ là ma trận:
A. Ma trận vuông trực giao.
B. Ma trận đường chéo với các giá trị suy biến không âm trên đường chéo chính.
C. Ma trận khả nghịch.
D. Ma trận đơn vị.
4. Cho hai vector u và v trong không gian Euclide. Tích vô hướng của u và v được ký hiệu là . Phát biểu nào sau đây luôn đúng?
5. Tích của hai ma trận vuông A và B cùng cấp luôn:
A. Giao hoán (AB = BA).
B. Có định thức bằng tích định thức của A và B (det(AB) = det(A)det(B)).
C. Có định thức bằng tổng định thức của A và B (det(AB) = det(A) + det(B)).
D. Là ma trận đơn vị.
6. Phép chiếu vuông góc từ R^3 xuống mặt phẳng xy là phép biến đổi tuyến tính nào?
A. T(x, y, z) = (x, y, z)
B. T(x, y, z) = (x, 0, 0)
C. T(x, y, z) = (x, y, 0)
D. T(x, y, z) = (0, 0, z)
7. Cho ma trận vuông A. Nếu λ là giá trị riêng của A, thì λ^2 là giá trị riêng của ma trận nào?
A. 2A
B. A^2
C. A + A
D. A^-1
8. Ma trận vuông khả nghịch khi và chỉ khi:
A. Định thức của nó bằng 0.
B. Định thức của nó khác 0.
C. Tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều khác 0.
D. Nó có ít nhất một hàng hoặc cột bằng 0.
9. Trong không gian vector, tập hợp nào sau đây không phải là không gian con?
A. Tập hợp tất cả các vector có tọa độ đầu tiên bằng 0.
B. Tập hợp tất cả các vector có tổng các tọa độ bằng 0.
C. Tập hợp tất cả các vector có độ dài bằng 1.
D. Tập hợp tất cả các vector 0.
10. Trong không gian vector R^2, cho vector u = (1, 2) và v = (3, 4). Tính tích có hướng 2D của u và v.
11. Trong không gian vector R^3, bộ vector nào sau đây là độc lập tuyến tính?
A. {(1, 2, 3), (2, 4, 6), (0, 0, 1)}
B. {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)}
C. {(1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3)}
D. {(1, 2, 3), (0, 0, 0), (4, 5, 6)}
12. Cho ma trận A vuông cấp n. Nếu 0 là giá trị riêng của A, thì ma trận A:
A. Khả nghịch.
B. Không khả nghịch.
C. Luôn là ma trận đường chéo.
D. Luôn là ma trận đơn vị.
13. Quá trình Gram-Schmidt được sử dụng để:
A. Giải hệ phương trình tuyến tính.
B. Tìm giá trị riêng và vector riêng.
C. Trực giao hóa một cơ sở của không gian vector.
D. Tính định thức của ma trận.
14. Trong không gian vector R^3, tích có hướng của hai vector u và v (u x v) là một vector:
A. Cùng phương với u.
B. Cùng phương với v.
C. Vuông góc với cả u và v.
D. Nằm trong mặt phẳng sinh bởi u và v.
15. Điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông A chéo hóa được là:
A. A là ma trận khả nghịch.
B. A là ma trận đối xứng.
C. A có đủ số lượng vector riêng độc lập tuyến tính bằng cấp của ma trận.
D. Định thức của A khác 0.
16. Phép biến đổi tuyến tính T: V -> W được gọi là đơn ánh (injective) nếu:
A. Với mọi w thuộc W, tồn tại ít nhất một v thuộc V sao cho T(v) = w.
B. Với mọi w thuộc W, tồn tại nhiều hơn một v thuộc V sao cho T(v) = w.
C. Với mọi w thuộc W, tồn tại tối đa một v thuộc V sao cho T(v) = w.
D. Với mọi v thuộc V, T(v) = 0.
17. Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ax = 0 luôn là:
A. Tập hợp rỗng.
B. Một đường thẳng qua gốc tọa độ.
C. Một không gian con.
D. Toàn bộ không gian vector.
18. Vector riêng của ma trận A là vector khác không v thỏa mãn điều kiện nào?
A. Av = 0
B. Av = v
C. Av = λv, với λ là một số vô hướng.
D. A + v = λv
19. Số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ax = 0 được gọi là:
A. Hạng của ma trận A.
B. Số cột của ma trận A.
C. Số vô nghiệm của hệ.
D. Số khuyết (nullity) của ma trận A.
20. Không gian con sinh bởi một tập hợp các vector S là:
A. Chính là tập hợp S.
B. Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vector trong S.
C. Tập hợp các vector độc lập tuyến tính trong S.
D. Vector 0.
21. Trong không gian R^n, cơ sở trực chuẩn là cơ sở:
A. Gồm các vector đôi một trực giao.
B. Gồm các vector có độ dài bằng 1.
C. Gồm các vector đôi một trực giao và mỗi vector có độ dài bằng 1.
D. Gồm các vector độc lập tuyến tính.
22. Giá trị riêng của ma trận A là nghiệm của phương trình đặc trưng nào?
A. det(A - λI) = 0
B. det(A + λI) = 0
C. det(λA - I) = 0
D. tr(A - λI) = 0
23. Cho hệ phương trình tuyến tính Ax = b. Điều kiện nào sau đây đảm bảo hệ phương trình có nghiệm duy nhất?
A. det(A) = 0
B. det(A) ≠ 0 và số ẩn bằng số phương trình.
C. b = 0
D. Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất.
24. Ma trận chuyển cơ sở P từ cơ sở B sang cơ sở C cho phép ta chuyển đổi:
A. Tọa độ của vector từ cơ sở C sang cơ sở B.
B. Tọa độ của vector từ cơ sở B sang cơ sở C.
C. Ma trận biểu diễn của phép biến đổi tuyến tính từ cơ sở C sang cơ sở B.
D. Ma trận biểu diễn của phép biến đổi tuyến tính từ cơ sở B sang cơ sở C.
25. Hạng của ma trận là:
A. Số hàng của ma trận.
B. Số cột của ma trận.
C. Số chiều của không gian cột (hoặc không gian hàng) của ma trận.
D. Định thức của ma trận.
26. Phép biến đổi tuyến tính bảo toàn khoảng cách được gọi là:
A. Phép chiếu.
B. Phép vị tự.
C. Phép đẳng cự (isometry).
D. Phép co giãn.
27. Chuẩn của vector v = (x, y) trong R^2 (ký hiệu ||v||) được tính bằng công thức nào?
A. ||v|| = x + y
B. ||v|| = |x| + |y|
C. ||v|| = √(x^2 + y^2)
D. ||v|| = x^2 + y^2
28. Phép biến đổi tuyến tính T: R^2 -> R^2 được cho bởi T(x, y) = (2x + y, x - y). Ma trận biểu diễn của T đối với cơ sở chuẩn là:
A. [[2, 1], [1, -1]]
B. [[2, -1], [1, 1]]
C. [[1, 2], [-1, 1]]
D. [[-1, 1], [2, 1]]
29. Cho ma trận A kích thước m x n. Không gian cột của A (Col(A)) là không gian con của:
A. R^n
B. R^m
C. R^(m x n)
D. R
30. Cho ma trận A là ma trận vuông. Khi nào thì ma trận A và ma trận chuyển vị A^T có cùng giá trị riêng?
A. Luôn luôn.
B. Chỉ khi A là ma trận đối xứng.
C. Chỉ khi A là ma trận khả nghịch.
D. Không bao giờ.
