1. Giá trị riêng của ma trận A là gì?
A. Các giá trị λ thỏa mãn phương trình det(A - λI) = 0, với I là ma trận đơn vị.
B. Các phần tử trên đường chéo chính của A.
C. Định thức của ma trận A.
D. Hạng của ma trận A.
2. Vector riêng của ma trận A tương ứng với giá trị riêng λ là vector khác không x sao cho:
A. Ax = λx.
B. Ax = x.
C. Ax = 0.
D. A + x = λx.
3. Ma trận trực giao là ma trận vuông A thỏa mãn điều kiện nào?
A. A^T * A = I (với I là ma trận đơn vị).
B. A^T = A.
C. A^(-1) = A.
D. det(A) = 1.
4. Phân tích chéo hóa ma trận (Diagonalization) của ma trận vuông A (nếu khả thi) là phân tích A thành dạng:
A. A = PDP^(-1), với D là ma trận đường chéo và P là ma trận khả nghịch.
B. A = QR, với Q là ma trận trực giao và R là ma trận tam giác trên.
C. A = LU, với L là ma trận tam giác dưới và U là ma trận tam giác trên.
D. A = LDU, với L và U là ma trận tam giác đơn vị và D là ma trận đường chéo.
5. Cơ sở của không gian vector V là:
A. Một tập hợp các vector độc lập tuyến tính sinh ra V.
B. Bất kỳ tập hợp các vector sinh ra V.
C. Một tập hợp các vector trực giao trong V.
D. Một tập hợp các vector phụ thuộc tuyến tính sinh ra V.
6. Trong phép biến đổi tuyến tính, ảnh (image) hay tầm ảnh (range) của T: V → W là:
A. Tập hợp tất cả các vector w thuộc W sao cho tồn tại v thuộc V để T(v) = w.
B. Tập hợp tất cả các vector v thuộc V sao cho T(v) = 0.
C. Không gian vector V.
D. Không gian vector W.
7. Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi:
A. det(A) ≠ 0.
B. det(A) = 0.
C. A là ma trận đường chéo.
D. A là ma trận tam giác.
8. Trong không gian vector R^2, cho vector u = (a, b). Vector nào sau đây vuông góc với u?
A. (-b, a)
B. (a, -b)
C. (b, a)
D. (-a, -b)
9. Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ax = 0. Nghiệm tầm thường của hệ này là:
A. Vector không.
B. Vector cột của ma trận A.
C. Vector hàng của ma trận A.
D. Bất kỳ vector nào.
10. Cho ma trận A là ma trận vuông cấp n. Nếu A khả nghịch, định thức của ma trận nghịch đảo A^(-1) bằng:
A. 1 / det(A).
B. det(A).
C. -det(A).
D. det(A)^(-1).
11. Trong phép biến đổi tuyến tính, hạt nhân (kernel) của T: V → W là:
A. Tập hợp tất cả các vector v thuộc V sao cho T(v) = 0.
B. Tập hợp tất cả các vector w thuộc W sao cho tồn tại v thuộc V để T(v) = w.
C. Không gian vector V.
D. Không gian vector W.
12. Cho ma trận A vuông cấp 3 có định thức det(A) = 5. Định thức của ma trận 2A bằng:
13. Phân tích QR của ma trận A là phân tích A thành tích của hai ma trận:
A. Ma trận trực giao Q và ma trận tam giác trên R.
B. Ma trận tam giác dưới L và ma trận tam giác trên U.
C. Ma trận đường chéo D và ma trận các vector riêng P.
D. Ma trận đơn vị I và ma trận A.
14. Trong không gian vector, một tập hợp các vector được gọi là độc lập tuyến tính nếu:
A. Tổ hợp tuyến tính của chúng bằng vector không chỉ khi tất cả các hệ số đều bằng 0.
B. Tổ hợp tuyến tính của chúng luôn bằng vector không.
C. Tồn tại một tổ hợp tuyến tính của chúng bằng vector không với ít nhất một hệ số khác 0.
D. Chúng có cùng độ dài.
15. Một hệ vector được gọi là trực giao nếu:
A. Tích vô hướng của bất kỳ hai vector phân biệt nào trong hệ bằng 0.
B. Tất cả các vector trong hệ có độ dài bằng 1.
C. Tất cả các vector trong hệ đều cùng phương.
D. Tích vô hướng của tất cả các cặp vector trong hệ khác 0.
16. Phép biến đổi tuyến tính T: V → W là một ánh xạ tuyến tính nếu nó bảo toàn phép cộng vector và phép nhân với vô hướng, tức là với mọi u, v thuộc V và mọi скаляр c:
A. T(u + v) = T(u) + T(v) và T(cu) = cT(u).
B. T(u + v) = T(u) - T(v) và T(cu) = T(c)u.
C. T(u + v) = T(u)T(v) và T(cu) = c + T(u).
D. T(u + v) = T(vu) và T(cu) = (cu)T.
17. Ma trận đường chéo là ma trận vuông có tính chất:
A. Tất cả các phần tử ngoài đường chéo chính đều bằng 0.
B. Tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 0.
C. Tất cả các phần tử đều bằng nhau.
D. Tất cả các phần tử đều khác 0.
18. Tích có hướng của hai vector trong R^3 là một:
A. Vector vuông góc với cả hai vector ban đầu.
B. Số vô hướng (scalar).
C. Ma trận.
D. Điểm trong không gian R^3.
19. Định thức của tích hai ma trận vuông A và B (cùng cấp) bằng:
A. det(A) * det(B).
B. det(A) + det(B).
C. det(A) - det(B).
D. det(A) / det(B).
20. Cho hệ phương trình tuyến tính Ax = b. Hệ phương trình này vô nghiệm khi nào?
A. Khi hạng(A) < hạng([A|b]).
B. Khi hạng(A) = hạng([A|b]) = số ẩn.
C. Khi hạng(A) = hạng([A|b]) < số ẩn.
D. Khi det(A) khác 0.
21. Hạng của ma trận là gì?
A. Số chiều của không gian cột hoặc không gian hàng của ma trận.
B. Định thức của ma trận.
C. Tổng các phần tử trên đường chéo chính.
D. Số cột của ma trận.
22. Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ax = 0 luôn là một:
A. Không gian con của không gian vector các ẩn.
B. Tập hợp rỗng.
C. Toàn bộ không gian vector các ẩn.
D. Một đường thẳng.
23. Phân tích LU của ma trận vuông A là phân tích A thành tích của hai ma trận:
A. Ma trận tam giác dưới L (Lower triangular) và ma trận tam giác trên U (Upper triangular).
B. Ma trận trực giao Q và ma trận tam giác trên R.
C. Ma trận đường chéo D và ma trận các vector riêng P.
D. Ma trận đơn vị I và ma trận A.
24. Phép chiếu trực giao của vector u lên vector v (khác vector không) được tính bằng công thức nào?
A. proj_v(u) = ((u.v) / (v.v)) * v.
B. proj_v(u) = ((u.v) / (u.u)) * u.
C. proj_v(u) = (u.v) * v.
D. proj_v(u) = (u.v) * u.
25. Không gian con của một không gian vector V là:
A. Một tập con của V đóng kín đối với phép cộng vector và phép nhân với vô hướng.
B. Bất kỳ tập con nào của V.
C. Chỉ có thể là chính V hoặc vector không.
D. Một tập con của V không chứa vector không.
26. Để giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử Gauss, ma trận hệ số mở rộng được biến đổi về dạng:
A. Ma trận bậc thang.
B. Ma trận đường chéo.
C. Ma trận đơn vị.
D. Ma trận tam giác dưới.
27. Cho ma trận A vuông cấp n. Định thức của ma trận A chuyển vị (A^T) bằng:
A. det(A)
B. -det(A)
C. det(A)^T
D. 1/det(A)
28. Trong không gian vector R^3, cho vector u = (1, 2, 3) và v = (4, 5, 6). Tích vô hướng của u và v là:
29. Số chiều của không gian vector V là:
A. Số lượng vector trong cơ sở của V.
B. Tổng các phần tử của tất cả các vector trong V.
C. Số lượng không gian con của V.
D. Định thức của ma trận biểu diễn V.
30. Phép biến đổi sơ cấp trên hàng của ma trận KHÔNG bao gồm phép biến đổi nào sau đây?
A. Nhân một hàng với một số vô hướng khác 0.
B. Đổi chỗ hai hàng cho nhau.
C. Cộng một hàng với một bội số của hàng khác.
D. Nhân một cột với một số vô hướng khác 0.
