1. Cho hệ phương trình tuyến tính Ax = b. Hệ này vô nghiệm khi nào?
A. rank(A) < rank([A|b])
B. rank(A) = rank([A|b])
C. det(A) = 0
D. det(A) ≠ 0
2. Phép biến đổi tuyến tính có bảo toàn phép cộng vectơ và phép nhân скаляр KHÔNG?
A. Không bao giờ
B. Có, đó là định nghĩa của phép biến đổi tuyến tính
C. Chỉ trong một số trường hợp đặc biệt
D. Chỉ khi không gian vectơ là hữu hạn chiều
3. Ma trận đường chéo là ma trận:
A. Có tất cả các phần tử khác 0
B. Có tất cả các phần tử trên đường chéo chính bằng 1
C. Có tất cả các phần tử ngoài đường chéo chính bằng 0
D. Có định thức bằng 0
4. Cơ sở của không gian vectơ là gì?
A. Tập hợp sinh không gian đó
B. Tập hợp độc lập tuyến tính
C. Tập hợp vừa sinh không gian đó vừa độc lập tuyến tính
D. Tập hợp chứa vectơ không
5. Số chiều của không gian vectơ R^n là bao nhiêu?
A. 0
B. 1
C. n
D. Vô cùng
6. Trong R^3, tích có hướng (vectơ) của hai vectơ u và v là một vectơ:
A. Cùng phương với u và v
B. Trực giao với cả u và v
C. Nằm trong mặt phẳng sinh bởi u và v
D. Có độ dài bằng tích độ dài của u và v
7. Vectơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng λ là vectơ:
A. x sao cho Ax = 0
B. x khác không sao cho Ax = λx
C. x sao cho Ax = x
D. x sao cho A^2x = λx
8. Phép biến đổi tuyến tính nào sau đây là phép chiếu vuông góc lên trục Ox trong không gian R^2?
A. T(x, y) = (x, y)
B. T(x, y) = (x, 0)
C. T(x, y) = (0, y)
D. T(x, y) = (y, x)
9. Cho ma trận A vuông cấp n. Định thức của ma trận 2A bằng bao nhiêu?
A. 2det(A)
B. 2^n det(A)
C. 4det(A)
D. det(A)
10. Định thức của ma trận tam giác (trên hoặc dưới) bằng:
A. Tổng các phần tử trên đường chéo chính
B. Tích các phần tử trên đường chéo chính
C. Tổng tất cả các phần tử của ma trận
D. Tích tất cả các phần tử của ma trận
11. Nếu các dòng của ma trận vuông A phụ thuộc tuyến tính, thì định thức của A bằng:
A. 1
B. Một số khác 0
C. 0
D. Không xác định
12. Giá trị riêng của ma trận A là gì?
A. Các vectơ x khác không thỏa mãn Ax = λx
B. Các скаляр λ sao cho tồn tại vectơ x khác không thỏa mãn Ax = λx
C. Các vectơ x thỏa mãn Ax = 0
D. Các скаляр λ sao cho Ax = λx với mọi vectơ x
13. Phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận KHÔNG bao gồm phép nào sau đây?
A. Hoán đổi hai dòng
B. Nhân một dòng với một số khác 0
C. Cộng một bội của một dòng vào dòng khác
D. Hoán đổi hai cột
14. Không gian nghiệm (null space) của ma trận A là gì?
A. Tập hợp tất cả các vectơ b sao cho hệ Ax = b có nghiệm
B. Tập hợp tất cả các vectơ x sao cho Ax = 0
C. Tập hợp tất cả các vectơ x sao cho Ax = b với b cố định
D. Không gian sinh bởi các cột của A
15. Cho biến đổi tuyến tính T: R^2 -> R^2 xác định bởi T(x, y) = (x + 2y, 3x - y). Ma trận biểu diễn của T đối với cơ sở chính tắc là:
A. [[1, 2], [3, -1]]
B. [[1, 3], [2, -1]]
C. [[2, 1], [-1, 3]]
D. [[-1, 2], [3, 1]]
16. Hạng của ma trận A là gì?
A. Số cột của ma trận
B. Số dòng của ma trận
C. Số chiều của không gian cột của ma trận
D. Số chiều của không gian nghiệm của hệ Ax = 0
17. Phương pháp khử Gauss được sử dụng để làm gì?
A. Tính định thức của ma trận
B. Tìm ma trận nghịch đảo
C. Giải hệ phương trình tuyến tính
D. Tìm giá trị riêng và vectơ riêng
18. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn có ít nhất bao nhiêu nghiệm?
19. Ma trận nào sau đây KHÔNG khả nghịch?
A. [[1, 2], [3, 4]]
B. [[1, 0], [0, 1]]
C. [[2, 4], [1, 2]]
D. [[1, 2], [2, 1]]
20. Cho ma trận vuông A. Khi nào thì phương trình Ax = b có nghiệm duy nhất?
A. Khi det(A) = 0
B. Khi det(A) ≠ 0
C. Khi b = 0
D. Khi A là ma trận đơn vị
21. Định thức của tích hai ma trận vuông det(AB) bằng:
A. det(A) + det(B)
B. det(A) - det(B)
C. det(A) * det(B)
D. det(A) / det(B)
22. Hai vectơ u và v được gọi là trực giao (vuông góc) với nhau khi nào?
A. Tích vô hướng của chúng bằng 1
B. Tích vô hướng của chúng bằng 0
C. Chúng cùng phương
D. Chúng ngược hướng
23. Ma trận chuyển vị của ma trận A, ký hiệu A^T, được tạo ra bằng cách nào?
A. Đảo các phần tử trên đường chéo chính
B. Hoán đổi các dòng và cột của A
C. Nhân tất cả các phần tử của A với -1
D. Chia tất cả các phần tử của A cho định thức của A
24. Nếu ma trận A khả nghịch, thì ma trận nghịch đảo của nó, ký hiệu A^(-1), thỏa mãn điều kiện nào?
A. A^(-1) = -A
B. AA^(-1) = A + A^(-1)
C. AA^(-1) = I (ma trận đơn vị)
D. det(A^(-1)) = det(A)
25. Trong không gian vectơ R^3, vectơ nào sau đây KHÔNG phải là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u = (1, 2, 1) và v = (2, 5, 3)?
A. (3, 7, 4)
B. (0, 1, 1)
C. (1, 1, 0)
D. (4, 9, 5)
26. Cho không gian vectơ con W của V. Số chiều của W luôn:
A. Lớn hơn số chiều của V
B. Bằng số chiều của V
C. Nhỏ hơn hoặc bằng số chiều của V
D. Không liên quan đến số chiều của V
27. Trong không gian vectơ, tập hợp các vectơ nào sau đây KHÔNG phải là không gian con?
A. Tập hợp tất cả các vectơ có tọa độ thứ nhất bằng 0
B. Tập hợp tất cả các vectơ có tổng các tọa độ bằng 0
C. Tập hợp tất cả các vectơ có độ dài bằng 1
D. Tập hợp chỉ chứa vectơ không
28. Tích vô hướng của hai vectơ u = (u1, u2, ..., un) và v = (v1, v2, ..., vn) trong R^n được tính như thế nào?
A. u1*v1 + u2*v2 + ... + un*vn
B. √(u1^2 + u2^2 + ... + un^2) * √(v1^2 + v2^2 + ... + vn^2)
C. (u1*v1, u2*v2, ..., un*vn)
D. u1 + v1 + u2 + v2 + ... + un + vn
29. Trong không gian R^3, phương trình x + 2y - z = 5 biểu diễn hình học gì?
A. Một đường thẳng
B. Một mặt phẳng
C. Một điểm
D. Một vectơ
30. Không gian sinh (span) của một tập hợp các vectơ {v1, v2, ..., vk} là gì?
A. Tập hợp chính các vectơ {v1, v2, ..., vk}
B. Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của {v1, v2, ..., vk}
C. Tập hợp các vectơ trực giao với {v1, v2, ..., vk}
D. Tập hợp các vectơ có độ dài bằng 1 và là tổ hợp tuyến tính của {v1, v2, ..., vk}
