1. Cho hệ phương trình tuyến tính AX = b. Hệ này vô nghiệm khi nào?
A. Khi hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận mở rộng [A|b].
B. Khi hạng của ma trận A nhỏ hơn hạng của ma trận mở rộng [A|b].
C. Khi định thức của ma trận A khác 0.
D. Hệ AX = b luôn có nghiệm.
2. Không gian sinh bởi một tập hợp các vectơ S = {v1, v2, ..., vk} trong không gian vectơ V ký hiệu là span(S) là:
A. Tập hợp hữu hạn các vectơ.
B. Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong S.
C. Một vectơ duy nhất.
D. Tập hợp rỗng.
3. Trong phép phân tích LU của ma trận A, L là ma trận:
A. Ma trận đường chéo.
B. Ma trận tam giác trên.
C. Ma trận tam giác dưới.
D. Ma trận trực giao.
4. Trong không gian vectơ R^3, tập hợp các vectơ {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1)} là:
A. Cơ sở của R^3.
B. Độc lập tuyến tính.
C. Phụ thuộc tuyến tính.
D. Sinh ra R^3 nhưng không độc lập tuyến tính.
5. Nếu ma trận A và B là khả nghịch, thì ma trận (AB)^(-1) bằng:
A. A^(-1)B^(-1).
B. B^(-1)A^(-1).
C. AB.
D. BA.
6. Định thức được sử dụng để:
A. Giải hệ phương trình tuyến tính duy nhất.
B. Xác định ma trận khả nghịch.
C. Tính diện tích và thể tích trong hình học.
D. Tất cả các ứng dụng trên.
7. Ma trận vuông khả nghịch khi và chỉ khi:
A. Định thức của nó bằng 0.
B. Định thức của nó khác 0.
C. Tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều khác 0.
D. Tất cả các phần tử của nó đều khác 0.
8. Cho phép biến đổi tuyến tính T: R^2 -> R^2 được xác định bởi T(x, y) = (2x + y, x - y). Ma trận biểu diễn của T đối với cơ sở chính tắc là:
A. [[2, 1], [1, -1]]
B. [[2, -1], [1, 1]]
C. [[1, 2], [-1, 1]]
D. [[1, 1], [2, -1]]
9. Cho ma trận A và B cùng cấp. Phát biểu nào sau đây SAI?
A. det(AB) = det(A)det(B).
B. det(A+B) = det(A) + det(B).
C. det(kA) = k^n det(A) với k là hằng số và A là ma trận vuông cấp n.
D. det(A^T) = det(A), với A^T là ma trận chuyển vị của A.
10. Phương pháp khử Gauss được sử dụng để:
A. Tính định thức của ma trận.
B. Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận.
C. Giải hệ phương trình tuyến tính.
D. Tính ma trận nghịch đảo.
11. Hạng của ma trận là:
A. Số cột của ma trận.
B. Số dòng của ma trận.
C. Số chiều của không gian dòng (hoặc không gian cột) của ma trận.
D. Định thức của ma trận.
12. Cho không gian vectơ V có cơ sở B = {v1, v2, ..., vn}. Tọa độ của vectơ x trong V đối với cơ sở B là:
A. Một vectơ trong V.
B. Một tập hợp các hệ số biểu diễn x qua tổ hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở.
C. Một ma trận vuông.
D. Một không gian con của V.
13. Cho ma trận A cấp n x m. Số chiều của không gian cột của A cộng với số chiều của không gian hạt nhân (null space) của A bằng:
A. n.
B. m.
C. n + m.
D. min(n, m).
14. Trong không gian vectơ R^n, một tập hợp các vectơ {v1, v2, ..., vk} được gọi là độc lập tuyến tính nếu:
A. Tồn tại các hệ số c1, c2, ..., ck không đồng thời bằng 0 sao cho c1v1 + c2v2 + ... + ckvk = 0.
B. Phương trình c1v1 + c2v2 + ... + ckvk = 0 chỉ có nghiệm tầm thường c1 = c2 = ... = ck = 0.
C. Tất cả các vectơ vi, v2, ..., vk đều khác vectơ không.
D. k = n.
15. Phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận KHÔNG bao gồm phép nào sau đây?
A. Hoán đổi vị trí hai dòng.
B. Nhân một dòng với một số khác 0.
C. Cộng một bội số của một dòng vào một dòng khác.
D. Hoán đổi vị trí hai cột.
16. Định thức của ma trận đơn vị luôn bằng:
A. 0.
B. 1.
C. -1.
D. Bằng cấp của ma trận.
17. Giá trị riêng của ma trận tam giác là:
A. Các phần tử trên đường chéo chính.
B. Tổng các phần tử trên đường chéo chính.
C. Tích các phần tử trên đường chéo chính.
D. Các phần tử nằm ngoài đường chéo chính.
18. Vectơ riêng của ma trận vuông A là vectơ khác vectơ không v thỏa mãn điều kiện nào?
A. Av = 0.
B. Av = λv, với λ là một số vô hướng.
C. Av = v.
D. Av = λI, với λ là một số vô hướng và I là ma trận đơn vị.
19. Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0 luôn là:
A. Tập hợp rỗng.
B. Một điểm duy nhất.
C. Một không gian con.
D. Toàn bộ không gian vectơ.
20. Ma trận vuông A được gọi là ma trận trực giao nếu:
A. A = A^T.
B. A = -A^T.
C. AA^T = I.
D. A^2 = I.
21. Trong không gian R^3, tích có hướng của hai vectơ u và v là một vectơ:
A. Cùng phương với u và v.
B. Nằm trong mặt phẳng chứa u và v.
C. Vuông góc với cả u và v.
D. Là một số vô hướng.
22. Cho không gian vectơ V và không gian con W của V. Số chiều của W luôn:
A. Lớn hơn số chiều của V.
B. Bằng số chiều của V.
C. Nhỏ hơn hoặc bằng số chiều của V.
D. Không liên quan đến số chiều của V.
23. Tích vô hướng của hai vectơ u và v trong R^n được ký hiệu là u.v. Nếu u.v = 0 thì u và v:
A. Cùng phương.
B. Ngược hướng.
C. Vuông góc.
D. Song song.
24. Trong không gian R^2, phép quay quanh gốc tọa độ một góc θ được biểu diễn bằng ma trận:
A. [[cos(θ), -sin(θ)], [sin(θ), cos(θ)]]
B. [[cos(θ), sin(θ)], [-sin(θ), cos(θ)]]
C. [[sin(θ), cos(θ)], [cos(θ), -sin(θ)]]
D. [[sin(θ), -cos(θ)], [cos(θ), sin(θ)]]
25. Phép biến đổi tuyến tính bảo toàn:
A. Độ dài của vectơ.
B. Góc giữa hai vectơ.
C. Phép cộng vectơ và phép nhân với số vô hướng.
D. Diện tích và thể tích.
26. Một hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm khi:
A. Hạng của ma trận hệ số bằng số ẩn.
B. Hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn và hệ có nghiệm.
C. Hệ phương trình là hệ thuần nhất.
D. Hệ phương trình là hệ không thuần nhất.
27. Trong không gian vectơ, tập hợp các vectơ con W của V được gọi là không gian con của V nếu:
A. W đóng kín với phép cộng vectơ.
B. W đóng kín với phép nhân với một số vô hướng.
C. W chứa vectơ không và đóng kín với cả phép cộng vectơ và phép nhân với một số vô hướng.
D. W khác rỗng.
28. Phép biến đổi tuyến tính nào sau đây là một phép chiếu vuông góc lên một đường thẳng trong không gian R^2?
A. Phép quay quanh gốc tọa độ.
B. Phép tỷ lệ với tỷ số âm.
C. Phép đối xứng qua gốc tọa độ.
D. Phép chiếu lên trục x.
29. Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0, với A là ma trận vuông cấp n. Hệ có nghiệm không tầm thường khi nào?
A. Khi hạng của ma trận A bằng n.
B. Khi hạng của ma trận A nhỏ hơn n.
C. Khi định thức của ma trận A khác 0.
D. Hệ thuần nhất luôn có nghiệm không tầm thường.
30. Cho ma trận A vuông cấp n. Nếu det(A) = 0, thì:
A. A khả nghịch.
B. A không khả nghịch.
C. A là ma trận đơn vị.
D. A là ma trận đường chéo.
