1. Định lý Stokes tổng quát liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân mặt
B. Tích phân mặt và tích phân khối
C. Tích phân đường và tích phân khối
D. Tích phân bội hai và tích phân bội ba
2. Công thức nào sau đây là công thức khai triển Taylor bậc nhất của hàm số f(x) tại điểm x = a?
A. f(x) ≈ f(a) + f`(a)(x - a)
B. f(x) ≈ f(a) + f`(a)(x - a) + f``(a)(x - a)^2 / 2!
C. f(x) ≈ f(a)
D. f(x) ≈ f`(a)(x - a)
3. Tích phân đường loại 1 ∫_C f(x, y) ds tính:
A. Diện tích dưới đường cong C
B. Thể tích dưới bề mặt z = f(x, y) trên miền C
C. Khối lượng của dây C với mật độ tuyến tính f(x, y)
D. Công của trường vector dọc theo đường cong C
4. Định lý Green liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân mặt
B. Tích phân đường và tích phân bội hai
C. Tích phân mặt và tích phân bội ba
D. Tích phân bội hai và tích phân bội ba
5. Trong không gian vector R^n, cơ sở của không gian vector là:
A. Tập hợp sinh và phụ thuộc tuyến tính
B. Tập hợp sinh và độc lập tuyến tính
C. Tập hợp không sinh và độc lập tuyến tính
D. Tập hợp không sinh và phụ thuộc tuyến tính
6. Trong tối ưu hóa, phương pháp Gradient Descent (hạ gradient) là một phương pháp:
A. Tìm nghiệm chính xác của bài toán tối ưu
B. Tìm nghiệm gần đúng của bài toán tối ưu bằng cách di chuyển ngược hướng gradient
C. Tìm nghiệm gần đúng của bài toán tối ưu bằng cách di chuyển theo hướng gradient
D. Giải bài toán tối ưu tuyến tính
7. Hàm số nào sau đây là hàm số giải tích?
A. f(z) = |z|^2
B. f(z) = z^2
C. f(z) = Re(z)
D. f(z) = Im(z)
8. Điều kiện cần để hàm số f(x, y) đạt cực đại địa phương tại (x0, y0) là:
A. f_x(x0, y0) = 0 và f_y(x0, y0) = 0
B. f_xx(x0, y0) > 0 và f_yy(x0, y0) > 0
C. f_xx(x0, y0) < 0 và f_yy(x0, y0) < 0
D. f_xy(x0, y0) = 0
9. Phương trình vi phân y`` + 4y = 0 có nghiệm tổng quát dạng:
A. y(x) = C1*e^(2x) + C2*e^(-2x)
B. y(x) = C1*cos(2x) + C2*sin(2x)
C. y(x) = C1*x + C2
D. y(x) = C1*e^(4x) + C2*e^(-4x)
10. Giá trị riêng của ma trận đường chéo là:
A. Các phần tử trên đường chéo chính
B. Tổng các phần tử trên đường chéo chính
C. Tích các phần tử trên đường chéo chính
D. Luôn bằng 0
11. Cho hàm số hai biến f(x, y) = x^2 + y^2. Điểm dừng của hàm số này là:
A. (1, 1)
B. (0, 0)
C. (1, 0)
D. (0, 1)
12. Điều kiện nào sau đây là điều kiện đủ để hàm số f(x, y) đạt cực tiểu địa phương tại (x0, y0) dựa trên tiêu chuẩn đạo hàm bậc hai?
A. f_x(x0, y0) = 0, f_y(x0, y0) = 0 và D = f_xx*f_yy - (f_xy)^2 < 0
B. f_x(x0, y0) = 0, f_y(x0, y0) = 0 và D = f_xx*f_yy - (f_xy)^2 > 0 và f_xx(x0, y0) > 0
C. f_x(x0, y0) = 0, f_y(x0, y0) = 0 và D = f_xx*f_yy - (f_xy)^2 > 0 và f_xx(x0, y0) < 0
D. f_x(x0, y0) = 0, f_y(x0, y0) = 0 và D = f_xx*f_yy - (f_xy)^2 = 0
13. Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi:
A. det(A) = 0
B. det(A) ≠ 0
C. A là ma trận đường chéo
D. A là ma trận đơn vị
14. Hạng của ma trận là gì?
A. Số chiều của không gian cột (hoặc không gian hàng)
B. Số cột của ma trận
C. Số hàng của ma trận
D. Định thức của ma trận
15. Điều kiện nào sau đây là điều kiện đủ để chuỗi số dương ∑ a_n hội tụ theo tiêu chuẩn D`Alembert (tỷ số)?
A. lim (a_(n+1) / a_n) < 1
B. lim (a_(n+1) / a_n) > 1
C. lim (a_(n+1) / a_n) = 1
D. lim (n * a_n) < 1
16. Chuỗi số ∑ (1/n^p) hội tụ khi:
A. p ≤ 1
B. p < 1
C. p > 1
D. p ≥ 0
17. Phương trình nào sau đây là phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai?
A. ∂u/∂t + u ∂u/∂x = 0
B. ∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 = f(x, y)
C. (∂u/∂x)^2 + (∂u/∂y)^2 = 1
D. ∂u/∂t = u^2
18. Sai phân hữu hạn lùi cho đạo hàm bậc nhất f`(x) được xấp xỉ bằng:
A. (f(x+h) - f(x)) / h
B. (f(x) - f(x-h)) / h
C. (f(x+h) - f(x-h)) / (2h)
D. (f(x) - 2f(x-h) + f(x-2h)) / h^2
19. Biến đổi Fourier của hàm số f(t) là gì?
A. Phân tích hàm số thành tổng của các hàm đa thức.
B. Phân tích hàm số thành tổng của các hàm sin và cosin (hoặc hàm số mũ phức).
C. Phân tích hàm số thành tích của các hàm tuyến tính.
D. Tính đạo hàm của hàm số.
20. Trong không gian vector R^3, tích có hướng của hai vector u = (1, 0, 0) và v = (0, 1, 0) là:
A. (0, 0, 1)
B. (0, 0, -1)
C. (1, 1, 0)
D. Không xác định
21. Đạo hàm của hàm số f(x) = sin(2x) là:
A. 2cos(2x)
B. cos(2x)
C. -2cos(2x)
D. -cos(2x)
22. Tích phân bất định của hàm số f(x) = e^(3x) là:
A. 3e^(3x) + C
B. (1/3)e^(3x) + C
C. e^(3x) + C
D. -e^(3x) + C
23. Giới hạn của dãy số a_n = (n^2 + 1) / (2n^2 - 3) khi n → ∞ là:
24. Phép biến đổi Laplace của hàm số f(t) = 1 là:
A. 1/s
B. s
C. 1
D. Không xác định
25. Phương pháp Newton-Raphson được sử dụng để:
A. Tính tích phân xác định
B. Giải phương trình vi phân
C. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến
D. Tìm cực trị của hàm số
26. Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ax = 0 luôn là:
A. Một vector
B. Một không gian con
C. Toàn bộ không gian R^n
D. Tập hợp rỗng
27. Trong lý thuyết đồ thị, ma trận Laplace của đồ thị được định nghĩa là:
A. Ma trận kề trừ ma trận đơn vị
B. Ma trận bậc trừ ma trận kề
C. Ma trận kề cộng ma trận bậc
D. Ma trận đơn vị trừ ma trận kề
28. Định nghĩa nào sau đây là đúng về tích phân suy rộng loại 1?
A. Tích phân trên khoảng hữu hạn của hàm số không bị chặn.
B. Tích phân trên khoảng vô hạn của hàm số bị chặn hoặc không bị chặn.
C. Tích phân của hàm số liên tục trên khoảng đóng.
D. Tích phân của hàm số khả vi trên khoảng mở.
29. Định nghĩa nào sau đây là đúng về không gian vector con?
A. Không gian vector con là một tập con đóng với phép cộng vector nhưng không đóng với phép nhân vô hướng.
B. Không gian vector con là một tập con đóng với phép nhân vô hướng nhưng không đóng với phép cộng vector.
C. Không gian vector con là một tập con đóng với cả phép cộng vector và phép nhân vô hướng, và chứa vector không.
D. Không gian vector con là một tập con bất kỳ của không gian vector.
30. Trong giải tích vector, div(grad(f)) là toán tử nào?
A. Gradient
B. Divergence
C. Curl
D. Laplacian
