1. Đạo hàm của hàm số f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 7 là:
A. 3x^2 - 4x + 5
B. x^2 - 4x + 5
C. 3x^2 - 2x + 5
D. 3x^3 - 4x^2 + 5x
2. Phương pháp Lagrange multipliers được sử dụng để:
A. Giải phương trình vi phân.
B. Tìm cực trị có điều kiện của hàm số nhiều biến.
C. Tính tích phân đường.
D. Phân tích chuỗi Fourier.
3. Tích phân bất định của hàm số f(x) = 2x + 3 là:
A. x^2 + 3x + C
B. 2x^2 + 3x + C
C. x^2 + C
D. 2x + 3x^2 + C
4. Sai phân hữu hạn được sử dụng chủ yếu trong:
A. Giải tích phức.
B. Giải số phương trình vi phân.
C. Lý thuyết xác suất.
D. Đại số tuyến tính.
5. Trong không gian vector, cơ sở (basis) là gì?
A. Một tập hợp các vector sinh ra không gian vector.
B. Một tập hợp các vector độc lập tuyến tính.
C. Một tập hợp các vector sinh ra không gian vector và độc lập tuyến tính.
D. Một tập hợp các vector trực giao.
6. Đạo hàm riêng của hàm số f(x, y) = x^2y + sin(xy) theo biến x là:
A. 2xy + ycos(xy)
B. x^2 + ycos(xy)
C. 2xy + cos(xy)
D. 2x + ycos(xy)
7. Tích phân đường loại 1 được sử dụng để tính:
A. Diện tích bề mặt.
B. Thể tích khối.
C. Độ dài đường cong và khối lượng dây.
D. Công của lực.
8. Trong lý thuyết xác suất, biến ngẫu nhiên rời rạc là:
A. Biến có thể nhận bất kỳ giá trị nào trong một khoảng.
B. Biến chỉ nhận một số hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các giá trị.
C. Biến luôn nhận giá trị dương.
D. Biến có phân phối xác suất liên tục.
9. Định thức của ma trận vuông cấp 2, A = [[a, b], [c, d]], được tính bằng công thức nào?
A. ad + bc
B. ac - bd
C. ad - bc
D. ab - cd
10. Định lý Green liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân mặt.
B. Tích phân đường và tích phân kép.
C. Tích phân mặt và tích phân khối.
D. Tích phân bội và đạo hàm riêng.
11. Điều kiện cần và đủ để một hàm số f(x) khả vi tại x = a là:
A. Hàm số f(x) liên tục tại x = a.
B. Giới hạn lim (x→a) [f(x) - f(a)] / (x - a) tồn tại.
C. f(a) = 0.
D. Đạo hàm cấp hai của f(x) tồn tại tại x = a.
12. Điều kiện Cauchy-Riemann liên quan đến:
A. Sự hội tụ của chuỗi Fourier.
B. Tính giải tích của hàm phức.
C. Sự tồn tại của giới hạn của hàm số nhiều biến.
D. Tính liên tục của hàm số.
13. Phân phối chuẩn (Gaussian) là một ví dụ về phân phối xác suất:
A. Rời rạc.
B. Liên tục.
C. Nhị thức.
D. Poisson.
14. Biến đổi Laplace được sử dụng để:
A. Giải phương trình đạo hàm riêng.
B. Chuyển đổi hàm số từ miền thời gian sang miền tần số phức.
C. Tính tích phân bội.
D. Tìm cực trị của hàm số nhiều biến.
15. Chuỗi số nào sau đây là chuỗi hội tụ?
A. ∑ (1/n) từ n=1 đến vô cùng
B. ∑ (1/n^2) từ n=1 đến vô cùng
C. ∑ (n) từ n=1 đến vô cùng
D. ∑ (2^n) từ n=1 đến vô cùng
16. Phương pháp lặp Newton-Raphson được sử dụng để:
A. Tính tích phân xác định.
B. Giải gần đúng phương trình f(x) = 0.
C. Tìm đạo hàm của hàm số.
D. Phân tích ma trận thành các ma trận đơn giản hơn.
17. Phương trình vi phân y`` + 4y` + 4y = 0 là phương trình vi phân tuyến tính:
A. Cấp 1, hệ số hằng.
B. Cấp 2, hệ số hằng, thuần nhất.
C. Cấp 2, hệ số thay đổi, thuần nhất.
D. Cấp 2, hệ số hằng, không thuần nhất.
18. Giới hạn của dãy số a_n = (n^2 + 1) / (2n^2 - 3) khi n tiến tới vô cùng là:
A. 1
B. 1/2
C. 0
D. Vô cùng
19. Trong giải tích vector, toán tử nabla (∇) được sử dụng để biểu diễn:
A. Tích phân đường.
B. Gradient, divergence và curl.
C. Phương trình vi phân.
D. Ma trận Jacobian.
20. Tích phân bội hai ∫∫_R f(x, y) dA biểu diễn:
A. Thể tích dưới bề mặt z = f(x, y) trên miền R.
B. Diện tích miền R.
C. Độ dài đường biên của miền R.
D. Gradient của hàm f(x, y).
21. Công thức Euler liên hệ giữa hàm số mũ phức và hàm lượng giác là:
A. e^(ix) = cos(x) - isin(x)
B. e^(ix) = sin(x) + icos(x)
C. e^(ix) = cos(x) + isin(x)
D. e^(ix) = -cos(x) - isin(x)
22. Tích chập (convolution) của hai hàm số f(t) và g(t) được định nghĩa là:
A. Tích của hai hàm số: f(t) * g(t).
B. Tích phân của tích hai hàm số, trong đó một hàm số bị dịch chuyển: ∫ f(τ)g(t-τ) dτ.
C. Thương của hai hàm số: f(t) / g(t).
D. Tổng của hai hàm số: f(t) + g(t).
23. Ma trận đơn vị (ma trận đồng nhất) có tính chất nào sau đây?
A. Mọi phần tử trên đường chéo chính bằng 0.
B. Mọi phần tử trên đường chéo chính bằng 1 và các phần tử khác bằng 0.
C. Mọi phần tử đều bằng 1.
D. Tổng các phần tử trên mỗi hàng bằng 1.
24. Gradient của một trường vô hướng f(x, y, z) là:
A. Một trường vô hướng.
B. Một trường vector.
C. Một số vô hướng.
D. Một ma trận.
25. Curl của một trường vector F(x, y, z) là:
A. Một trường vô hướng.
B. Một trường vector.
C. Một số vô hướng.
D. Một ma trận.
26. Hạng của ma trận là gì?
A. Kích thước lớn nhất của ma trận.
B. Số chiều của không gian cột (hoặc không gian hàng) của ma trận.
C. Tổng các phần tử trên đường chéo chính.
D. Định thức của ma trận.
27. Vector nào sau đây là vector pháp tuyến của mặt phẳng 2x - y + 3z = 5?
A. (2, -1, 3)
B. (2, 1, 3)
C. (2, -1, -3)
D. (-2, 1, -3)
28. Phương trình nào sau đây là phương trình của một đường thẳng trong không gian 3 chiều?
A. x^2 + y^2 + z^2 = 1
B. x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t
C. z = x^2 + y^2
D. x + y + z = 1
29. Giá trị riêng của ma trận A là gì?
A. Vector mà khi nhân với ma trận cho ra vector không đổi.
B. Số λ sao cho tồn tại vector khác không v thỏa mãn Av = λv.
C. Định thức của ma trận A.
D. Vết của ma trận A.
30. Divergence của một trường vector F(x, y, z) là:
A. Một trường vector.
B. Một trường vô hướng.
C. Một số vô hướng.
D. Một ma trận.
