1. Điều kiện cần và đủ để một hàm số f(z) phức khả vi tại một điểm z0 là gì?
A. Hàm số f(z) liên tục tại z0.
B. Các đạo hàm riêng thực và ảo của f(z) tồn tại tại z0.
C. Phương trình Cauchy-Riemann thỏa mãn tại z0.
D. Cả ba điều kiện trên.
2. Giá trị của tích phân suy rộng ∫_0^∞ e^(-x) dx là:
3. Trong không gian vectơ R^3, vectơ nào sau đây độc lập tuyến tính với vectơ (1, 0, 0)?
A. (2, 0, 0)
B. (0, 1, 0)
C. (-1, 0, 0)
D. (3, 0, 0)
4. Tích phân đường loại 1 ∫_C f(x, y) ds được sử dụng để tính:
A. Diện tích bề mặt.
B. Khối lượng của dây.
C. Công của lực dọc theo đường cong.
D. Thông lượng của trường vectơ.
5. Cho hàm số f(x) = |x|. Hàm số này:
A. khả vi tại mọi điểm.
B. không khả vi tại x = 0.
C. khả vi tại x = 0 nhưng không liên tục tại x = 0.
D. không liên tục tại x = 0.
6. Phép biến đổi Fourier được sử dụng rộng rãi trong:
A. giải phương trình vi phân thường.
B. phân tích tín hiệu và xử lý ảnh.
C. tối ưu hóa hàm số.
D. tính tích phân suy rộng.
7. Trong thống kê, kiểm định giả thuyết được sử dụng để:
A. chấp nhận giả thuyết null.
B. bác bỏ giả thuyết null hoặc không bác bỏ giả thuyết null.
C. chứng minh giả thuyết null là đúng.
D. tính toán xác suất của giả thuyết đối.
8. Điều kiện hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ c_n (x - a)^n được xác định bởi:
A. bán kính hội tụ R.
B. tâm hội tụ a.
C. các hệ số c_n.
D. cả ba yếu tố trên.
9. Đạo hàm của hàm số f(x) = ln(x^2 + 1) là:
A. 1/(x^2 + 1)
B. 2x/(x^2 + 1)
C. 2x * ln(x^2 + 1)
D. (2x + 1)/(x^2 + 1)
10. Trong không gian R^2, tích vô hướng của hai vectơ u = (u1, u2) và v = (v1, v2) được định nghĩa là:
A. u1*v1 + u2*v2.
B. u1*v2 - u2*v1.
C. √(u1^2 + u2^2) * √(v1^2 + v2^2).
D. |u| * |v| / cos(θ).
11. Tích phân bất định của hàm số f(x) = cos(2x) là:
A. -sin(2x)/2 + C
B. sin(2x)/2 + C
C. sin(2x) + C
D. -sin(2x) + C
12. Phương trình vi phân y`` + 4y` + 4y = 0 là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai:
A. thuần nhất, hệ số hằng số.
B. không thuần nhất, hệ số hằng số.
C. thuần nhất, hệ số biến đổi.
D. không thuần nhất, hệ số biến đổi.
13. Trong lý thuyết đồ thị, bậc của một đỉnh là:
A. số đỉnh trong đồ thị.
B. số cạnh trong đồ thị.
C. số cạnh liên thuộc với đỉnh đó.
D. đường đi ngắn nhất từ đỉnh đó đến đỉnh khác.
14. Phép biến đổi Laplace của hàm số f(t) = 1 là:
A. 1/s
B. s
C. 1/s^2
D. s^2
15. Ma trận vuông A được gọi là khả nghịch khi nào?
A. Khi định thức của A bằng 0.
B. Khi định thức của A khác 0.
C. Khi tất cả các phần tử trên đường chéo chính khác 0.
D. Khi tất cả các hàng của A độc lập tuyến tính.
16. Cho hàm số hai biến f(x, y) = x^2 + y^2. Điểm dừng của hàm số này là:
A. (1, 1)
B. (0, 0)
C. (1, 0)
D. (0, 1)
17. Trong lý thuyết xác suất, biến cố A và B được gọi là độc lập nếu:
A. P(A ∩ B) = P(A) + P(B).
B. P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
C. P(A ∩ B) = P(A) * P(B).
D. P(A ∪ B) = P(A) * P(B).
18. Phương pháp Newton-Raphson là một phương pháp:
A. tính tích phân xác định.
B. giải hệ phương trình tuyến tính.
C. tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến.
D. tìm giá trị riêng của ma trận.
19. Hạng của ma trận là gì?
A. Số hàng của ma trận.
B. Số cột của ma trận.
C. Số chiều của không gian sinh bởi các hàng (hoặc cột) của ma trận.
D. Định thức của ma trận.
20. Trong giải tích phức, tích phân Cauchy cho phép tính:
A. tích phân thực.
B. tích phân đường trong miền phức.
C. giá trị của hàm giải tích tại một điểm bên trong đường cong kín.
D. tích phân suy rộng.
21. Trong tối ưu hóa, hàm Lagrange được sử dụng để:
A. tìm cực trị tự do của hàm số.
B. tìm cực trị có điều kiện của hàm số.
C. kiểm tra tính liên tục của hàm số.
D. tính đạo hàm của hàm số.
22. Công thức nào sau đây là khai triển Taylor của hàm số e^x xung quanh x = 0?
A. ∑ (x^n)/n! từ n = 0 đến ∞.
B. ∑ (-1)^n * (x^n)/n! từ n = 0 đến ∞.
C. ∑ (x^n)/n từ n = 1 đến ∞.
D. ∑ (-1)^n * (x^n)/n từ n = 1 đến ∞.
23. Phân phối chuẩn (Gaussian) là một phân phối xác suất:
A. rời rạc.
B. liên tục.
C. vừa rời rạc vừa liên tục.
D. không rời rạc và không liên tục.
24. Trong giải tích vectơ, toán tử ∇ (nabla) được gọi là:
A. Toán tử Laplace.
B. Toán tử Gradient.
C. Toán tử Divergence.
D. Toán tử Curl.
25. Hàm số f(x) liên tục tại x = a nếu:
A. lim (f(x)) = f(a) khi x → a.
B. f(a) tồn tại.
C. lim (f(x)) tồn tại khi x → a.
D. Cả ba điều kiện trên.
26. Chuỗi số ∑ (1/n^p) hội tụ khi và chỉ khi:
A. p < 1
B. p ≤ 1
C. p > 1
D. p ≥ 1
27. Định nghĩa giới hạn của dãy số (a_n): lim (a_n) = L khi n → ∞ nghĩa là:
A. Với mọi ε > 0, tồn tại N sao cho với mọi n > N, |a_n - L| < ε.
B. Với mọi N, tồn tại ε > 0 sao cho với mọi n > N, |a_n - L| < ε.
C. Tồn tại ε > 0 sao cho với mọi N, với mọi n > N, |a_n - L| < ε.
D. Tồn tại N sao cho với mọi ε > 0, với mọi n > N, |a_n - L| < ε.
28. Sai số cắt cụt trong phương pháp số là loại sai số do:
A. làm tròn số trong quá trình tính toán.
B. sử dụng phép tính gần đúng thay vì phép tính chính xác.
C. dữ liệu đầu vào không chính xác.
D. lỗi lập trình.
29. Giá trị riêng của ma trận đường chéo là:
A. tích các phần tử trên đường chéo chính.
B. tổng các phần tử trên đường chéo chính.
C. các phần tử trên đường chéo chính.
D. nghịch đảo của các phần tử trên đường chéo chính.
30. Đạo hàm của hàm vectơ r(t) = (x(t), y(t), z(t)) biểu diễn:
A. vận tốc của chất điểm tại thời điểm t.
B. gia tốc của chất điểm tại thời điểm t.
C. độ dài đường cong.
D. tiếp tuyến của đường cong tại thời điểm t.
