1. Trong giải tích phức, điểm kỳ dị cô lập của hàm số f(z) = 1/(z(z-2)^2) là:
A. z = 0 là cực đơn, z = 2 là cực đơn
B. z = 0 là cực đơn, z = 2 là cực cấp hai
C. z = 0 là điểm gián đoạn bỏ được, z = 2 là cực cấp hai
D. z = 0 và z = 2 đều là điểm gián đoạn bỏ được
2. Trong lý thuyết đồ thị, bậc của một đỉnh là:
A. Số đỉnh kề với nó.
B. Số cạnh liên thuộc với nó.
C. Tổng số đỉnh và cạnh trong đồ thị.
D. Số thành phần liên thông của đồ thị.
3. Trong không gian metric, một tập hợp được gọi là compact nếu:
A. Nó đóng và bị chặn.
B. Mọi dãy trong tập hợp đó có dãy con hội tụ về một điểm trong tập hợp.
C. Nó mở và bị chặn.
D. Mọi tập phủ mở của nó có tập phủ con hữu hạn.
4. Cho ma trận A = [[2, 1], [1, 2]]. Giá trị riêng lớn nhất của ma trận A là bao nhiêu?
5. Trong không gian tô pô, một không gian Hausdorff là không gian tô pô trong đó:
A. Mọi tập con đều mở.
B. Mọi dãy đều hội tụ.
C. Với mọi hai điểm phân biệt, tồn tại hai tập mở rời nhau chứa mỗi điểm.
D. Mọi tập mở đều là hợp của các tập cơ sở.
6. Phép biến đổi Laplace của hàm số f(t) = t^2 là:
A. 1/s^3
B. 2/s^3
C. 2/s^2
D. 1/s^2
7. Chuỗi số ∑ (1/n^p) hội tụ khi và chỉ khi:
A. p ≤ 1
B. p < 1
C. p > 1
D. p ≥ 1
8. Trong không gian vector R^3, cho hai vector u = (1, 2, -1) và v = (0, 1, 3). Tích có hướng của u và v là vector nào?
A. (7, -3, 1)
B. (-7, 3, -1)
C. (5, -3, 1)
D. (7, 3, -1)
9. Mệnh đề nào sau đây là đúng về tích phân Lebesgue so với tích phân Riemann?
A. Tích phân Riemann tổng quát hơn tích phân Lebesgue.
B. Tích phân Lebesgue tổng quát hơn tích phân Riemann.
C. Tích phân Riemann và Lebesgue luôn cho cùng một giá trị.
D. Tích phân Riemann dễ tính toán hơn tích phân Lebesgue.
10. Trong đại số tuyến tính, định lý Cayley-Hamilton phát biểu rằng:
A. Mọi ma trận vuông đều khả nghịch.
B. Mọi ma trận vuông đều thỏa mãn phương trình đặc trưng của chính nó.
C. Mọi ma trận vuông đều có giá trị riêng thực.
D. Mọi ma trận vuông đều chéo hóa được.
11. Hàm số f(x) = |x| có đạo hàm tại x = 0 không?
A. Có, và đạo hàm bằng 0.
B. Có, và đạo hàm bằng 1.
C. Có, và đạo hàm bằng -1.
D. Không có đạo hàm.
12. Định nghĩa nào sau đây là đúng về không gian vector?
A. Một tập hợp các đối tượng với phép cộng và phép nhân vô hướng thỏa mãn một số tiên đề.
B. Một tập hợp các vector trong không gian Euclide.
C. Một tập hợp các ma trận vuông.
D. Một tập hợp các hàm số liên tục.
13. Trong hình học vi phân, độ cong Gaussian của mặt cầu có bán kính R là:
A. R
B. 1/R
C. R^2
D. 1/R^2
14. Cho ánh xạ tuyến tính T: R^2 → R^2 được xác định bởi T(x, y) = (2x + y, x - y). Ma trận biểu diễn của T đối với cơ sở chính tắc là:
A. [[2, 1], [1, -1]]
B. [[-1, 1], [1, 2]]
C. [[2, 1], [-1, 1]]
D. [[1, -1], [2, 1]]
15. Cho hàm số f(x, y) = x^2 + y^2. Tìm gradient của f tại điểm (1, 2).
A. (2, 4)
B. (4, 2)
C. (1, 2)
D. (2, 2)
16. Phép biến đổi Fourier của hàm số f(t) = e^(-|t|) là:
A. 2 / (1 + ω^2)
B. 1 / (1 + ω^2)
C. 2 / (1 - ω^2)
D. 1 / (1 - ω^2)
17. Công thức nào sau đây là công thức Taylor khai triển hàm số f(x) tại điểm a?
A. f(x) = ∑ [f^(n)(a)/n!] (x-a)^n
B. f(x) = ∑ [f^(n)(0)/n!] x^n
C. f(x) = ∑ [f^(n)(a)/n!] x^n
D. f(x) = ∑ [f(n)(x)/n!] (x-a)^n
18. Trong lý thuyết xác suất, biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên:
A. Nhận giá trị trong một khoảng số thực.
B. Nhận một số hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các giá trị.
C. Có hàm mật độ xác suất liên tục.
D. Luôn nhận giá trị nguyên dương.
19. Trong không gian vector R^n, số chiều của không gian con sinh bởi các vector độc lập tuyến tính là:
A. Lớn hơn số vector.
B. Nhỏ hơn số vector.
C. Bằng số vector.
D. Có thể lớn hơn hoặc bằng số vector.
20. Trong lý thuyết nhóm, nhóm cyclic là nhóm như thế nào?
A. Nhóm có số phần tử hữu hạn.
B. Nhóm có mọi phần tử giao hoán với nhau.
C. Nhóm được sinh ra bởi một phần tử.
D. Nhóm con của một nhóm giao hoán.
21. Điều kiện nào sau đây là cần và đủ để một hàm số f(x) khả tích Riemann trên đoạn [a, b]?
A. f(x) liên tục trên [a, b].
B. f(x) bị chặn trên [a, b].
C. f(x) đơn điệu trên [a, b].
D. f(x) bị chặn và tập các điểm gián đoạn của f(x) có độ đo Lebesgue bằng 0.
22. Tích phân đường của trường vector F(x, y) = (y, x) dọc theo đường cong C tham số hóa bởi r(t) = (cos(t), sin(t)), 0 ≤ t ≤ 2π là bao nhiêu?
23. Cho hàm số f(x) = {x^2 sin(1/x) nếu x ≠ 0; 0 nếu x = 0}. Hàm số này:
A. Liên tục nhưng không khả vi tại x = 0.
B. Khả vi tại x = 0 nhưng đạo hàm không liên tục tại x = 0.
C. Khả vi và đạo hàm liên tục tại x = 0.
D. Không liên tục tại x = 0.
24. Phương pháp Newton-Raphson là phương pháp численное để:
A. Tính đạo hàm của hàm số.
B. Tìm cực trị của hàm số.
C. Giải phương trình f(x) = 0.
D. Tính tích phân xác định.
25. Hàm số nào sau đây là nghiệm của phương trình vi phân y`` - 4y` + 4y = 0?
A. y = e^(2x)
B. y = xe^(2x)
C. y = e^(-2x)
D. Cả Answer 1 và Answer 2
26. Định lý Stokes liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân mặt.
B. Tích phân mặt và tích phân khối.
C. Tích phân đường và tích phân khối.
D. Đạo hàm và tích phân.
27. Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b). Mệnh đề nào sau đây là đúng theo định lý Lagrange (định lý giá trị trung bình)?
A. Tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f`(c) = 0.
B. Tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f`(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).
C. Với mọi c ∈ (a, b), f`(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).
D. f(b) - f(a) = 0.
28. Trong tối ưu hóa, điều kiện Karush-Kuhn-Tucker (KKT) là điều kiện cần cho:
A. Bài toán tối ưu hóa không ràng buộc.
B. Bài toán tối ưu hóa tuyến tính.
C. Bài toán tối ưu hóa có ràng buộc bất đẳng thức.
D. Bài toán quy hoạch động.
29. Điều kiện nào sau đây là điều kiện cần để chuỗi số ∑ a_n hội tụ?
A. lim (n→∞) a_n = 0.
B. a_n > 0 với mọi n.
C. Chuỗi ∑ |a_n| hội tụ.
D. Chuỗi ∑ (a_n)^2 hội tụ.
30. Đạo hàm riêng cấp hai của hàm số f(x, y) = x^3y^2 + sin(xy) theo biến x hai lần là gì?
A. 6xy^2 - y^2sin(xy)
B. 6xy^2 - y^2cos(xy)
C. 6xy^2 - y^2sin(xy) - y^2cos(xy)
D. 6xy^2 + y^2sin(xy) - y^2cos(xy)
