Đề thi, bài tập trắc nghiệm online Toán cao cấp – Đề 4

Đây là chuỗi p (p-series). Chuỗi p ∑(1/n^p) hội tụ khi và chỉ khi p > 1. Đây là một kết quả cơ bản trong lý thuyết chuỗi số, thường được chứng minh bằng tiêu chuẩn tích phân hoặc so sánh với tích phân suy rộng.

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng có dạng ay'' + by' + cy = f(x), trong đó a, b, c là các hằng số. Phương án 2, y'' + 2y' + 3y = sin(x), thỏa mãn dạng này với a=1, b=2, c=3 và f(x) = sin(x).

Phương trình Laplace là một phương trình đạo hàm riêng elliptic bậc hai, có dạng trong hai chiều là ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0, và tổng quát trong n chiều là ∇²u = 0 (Laplacian của u bằng 0). Phương trình nhiệt (1) và phương trình sóng (2) là phương trình parabolic và hyperbolic tương ứng. Phương trình (4) là phương trình Burgers, một phương trình phi tuyến.

Phép biến đổi Z là một công cụ toán học quan trọng trong xử lý tín hiệu số và phân tích hệ thống rời rạc thời gian. Nó tương tự như phép biến đổi Laplace cho hệ thống liên tục thời gian, nhưng áp dụng cho tín hiệu và hệ thống rời rạc.

Tích vô hướng (tích trong) của hai vectơ trong R³ được tính bằng tổng của tích các thành phần tương ứng của chúng. Công thức đúng là u⋅v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃.

Phương trình x² + y² - z² = 1 có dạng của hyperboloid một tầng. Dấu trừ trước z² và dấu cộng trước x² và y² cho thấy mặt này mở rộng theo phương z và có dạng 'một tầng', tức là nó liên thông và không bị chia thành hai phần riêng biệt.

Phép quay, phép tịnh tiến, và phép phản xạ là các phép biến đổi isometry, tức là chúng bảo toàn khoảng cách giữa các điểm. Phép co giãn (scaling) làm thay đổi kích thước của vật thể, do đó khoảng cách giữa các điểm bị thay đổi (trừ khi tỷ lệ co giãn là 1, khi đó nó là phép đồng nhất).

Một ma trận vuông là khả nghịch (hay có ma trận nghịch đảo) khi và chỉ khi định thức của nó khác 0. Định thức khác 0 đảm bảo rằng các hàng (hoặc cột) của ma trận là độc lập tuyến tính, và do đó tồn tại ma trận nghịch đảo.

Tích phân đường loại hai phụ thuộc vào hướng của đường cong C (tham số hóa đường cong) và dạng của các hàm P(x, y) và Q(x, y). Không giống như tích phân đường loại một (chỉ phụ thuộc vào độ dài đường cong), tích phân đường loại hai xét đến 'công' thực hiện dọc theo đường cong, do đó hướng là quan trọng.

Giá trị riêng (eigenvalue) của ma trận A là các giá trị λ thỏa mãn phương trình đặc trưng det(A - λI) = 0, trong đó I là ma trận đơn vị cùng kích thước với A. Các giá trị riêng này liên quan đến các vectơ riêng và thể hiện sự biến đổi của ma trận lên các vectơ đó.

Điểm dừng được định nghĩa là điểm mà tại đó các đạo hàm riêng cấp nhất bằng không. Điều kiện điểm dừng nằm trong miền xác định là điều kiện tiên quyết để xét cực trị, nhưng không phải là điều kiện *để trở thành* cực trị. Các điều kiện 1, 2, 3 liên quan đến việc xác định loại điểm dừng (cực đại, cực tiểu, hay điểm yên ngựa).

Điều kiện Cauchy-Riemann là một cặp phương trình đạo hàm riêng cần thiết (và trong một số điều kiện đủ) để hàm phức f(z) = u(x, y) + iv(x, y) khả vi phức tại một điểm. Các phương trình là ∂u/∂x = ∂v/∂y và ∂u/∂y = -∂v/∂x.

Công thức Euler là một công thức cơ bản và quan trọng trong số phức, liên hệ giữa hàm mũ phức và các hàm lượng giác: e^(ix) = cos(x) + i sin(x). Công thức này là nền tảng cho nhiều kết quả trong toán học và vật lý, đặc biệt trong phân tích Fourier và lý thuyết mạch điện.

Chuỗi Fourier là một công cụ quan trọng trong phân tích Fourier, dùng để biểu diễn (hoặc xấp xỉ) một hàm tuần hoàn bất kỳ thành tổng vô hạn của các hàm sin và cosin với các tần số khác nhau. Điều này cho phép phân tích hàm tuần hoàn thành các thành phần tần số của nó.

Các phép toán cơ bản trên ma trận bao gồm phép cộng, phép nhân (với số vô hướng và với ma trận khác), phép chuyển vị, và các phép biến đổi sơ cấp trên hàng/cột. Phép 'chia ma trận' không được định nghĩa trực tiếp; thay vào đó, ta sử dụng phép nhân với ma trận nghịch đảo (nếu tồn tại).

Ta có f(x, y) = (x+y)² + 1. Đặt u = x+y, thì f = u² + 1. Hàm này đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi u = 0, tức x + y = 0 hay y = -x. Tuy nhiên, không có điểm cực tiểu *duy nhất*. Thực tế, dọc theo đường thẳng y = -x, hàm số nhận giá trị cực tiểu là 1. Nhưng theo nghĩa chặt chẽ của 'điểm cực tiểu', thường ám chỉ điểm cục bộ mà tại đó hàm số nhỏ hơn ở lân cận, trong trường hợp này, không có điểm cực tiểu cục bộ *riêng biệt* mà là một đường thẳng các điểm cực tiểu. Tuy nhiên, trong các lựa chọn, 'Hàm số không có cực tiểu' là đáp án phù hợp nhất nếu hiểu theo nghĩa không có điểm cực tiểu *cô lập* hoặc nếu câu hỏi đang kiểm tra sự tinh tế về định nghĩa cực tiểu trong trường hợp này. Nếu đề muốn hỏi điểm mà tại đó hàm số ĐẠT CỰC TIỂU, thì mọi điểm trên đường y = -x đều là đáp án, nhưng không có trong lựa chọn. Do đó, 'Hàm số không có cực tiểu' là lựa chọn tốt nhất trong các đáp án đã cho, có thể hiểu là không có điểm cực tiểu *cô lập* hoặc theo cách hiểu nào đó mà các lựa chọn A, B, C đều sai.

Trong lý thuyết đồ thị, bậc (degree) của một đỉnh là số cạnh liên thuộc (incident) với đỉnh đó. Nói cách khác, là số cạnh 'đi ra' hoặc 'đi vào' (trong đồ thị vô hướng) từ đỉnh đó. Nó đo lường 'mức độ kết nối' của một đỉnh.

Phương pháp nhân tử Lagrange là một kỹ thuật trong tối ưu hóa để tìm cực trị có điều kiện (cực đại hoặc cực tiểu) của hàm số nhiều biến khi có các ràng buộc (dưới dạng phương trình). Nó chuyển bài toán cực trị có điều kiện thành bài toán cực trị tự do của hàm Lagrange.

Tích phân suy rộng loại 1 ∫₁^∞ (1/x^α) dx hội tụ khi và chỉ khi α > 1. Đây là một kết quả cơ bản về tích phân suy rộng, thường được chứng minh bằng cách tính tích phân xác định ∫₁^b (1/x^α) dx và xét giới hạn khi b → ∞.

Toán tử nabla (∇) là một toán tử vectơ vi phân. Nó được sử dụng để định nghĩa gradient của một trường vô hướng, divergence và curl của một trường vectơ. Đây là những khái niệm cơ bản trong giải tích vectơ.

Biến ngẫu nhiên rời rạc là biến mà tập hợp các giá trị có thể nhận được là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được. Ví dụ: số lần tung được mặt ngửa khi tung đồng xu 10 lần, số khách hàng đến cửa hàng trong một giờ. Ngược lại, biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị trong một khoảng liên tục.

Phương trình vi phân y' = y là một phương trình vi phân tuyến tính cấp nhất tách biến được. Nghiệm tổng quát của nó có dạng y = Ce^x, với C là hằng số tùy ý. Khi đạo hàm y = Ce^x, ta được y' = Ce^x = y, thỏa mãn phương trình.

Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền giới hạn bởi y = f(x), trục Ox, x = a, x = b quanh trục Ox sử dụng phương pháp đĩa (hoặc vòng đệm) là V = ∫a^b π[f(x)]² dx. Phương án 4 là công thức phương pháp vỏ trụ khi quay quanh trục Oy.

Định lý Green (trong mặt phẳng) thiết lập mối quan hệ giữa tích phân đường dọc theo một đường cong kín phẳng C và tích phân kép trên miền D phẳng giới hạn bởi C. Nó là trường hợp đặc biệt (2D) của định lý Stokes tổng quát.

Một cơ sở của không gian vectơ là một tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính vừa đủ để sinh ra toàn bộ không gian đó. Tính 'tối đa' của độc lập tuyến tính và khả năng 'sinh' ra không gian là định nghĩa của cơ sở.

Có hai điều kiện tương đương (điều kiện cần và đủ) để một trường vectơ F là trường gradient (hay trường thế, trường bảo toàn) trong một miền D liên thông đơn: 1) Curl của F bằng 0 (∇ × F = 0). 2) Tích phân đường của F dọc theo mọi đường cong kín trong D bằng 0 (∮C F⋅dr = 0). Do đó, cả phương án 2 và 3 đều đúng, và phương án 4 là đáp án chính xác nhất.

Biến đổi Laplace của hàm f(t) = 1 được tính bằng tích phân ∫₀^∞ e^(-st) * 1 dt. Khi tính tích phân này, ta được [-1/s * e^(-st)] từ 0 đến ∞. Giới hạn khi t → ∞ của e^(-st) là 0 (với Re(s) > 0), và tại t=0 là e⁰ = 1. Do đó, kết quả là 0 - (-1/s) = 1/s.

Bán kính hội tụ R của chuỗi lũy thừa xác định khoảng (-R+a, R+a) là miền hội tụ (ít nhất là hội tụ tuyệt đối). Khi |x-a| < R, chuỗi hội tụ. Khi |x-a| > R, chuỗi phân kỳ. Khi |x-a| = R (tại biên của khoảng hội tụ), chuỗi có thể hội tụ hoặc phân kỳ, tùy thuộc vào chuỗi cụ thể. Cần phải kiểm tra sự hội tụ tại các điểm biên x = a + R và x = a - R một cách riêng biệt.

Hàm số f(x) = |x| có dạng khác nhau khi x ≥ 0 (f(x) = x) và x < 0 (f(x) = -x). Đạo hàm của nó là f'(x) = 1 khi x > 0 và f'(x) = -1 khi x < 0. Tại x = 0, giới hạn của đạo hàm từ bên trái (-1) khác với giới hạn từ bên phải (1), do đó hàm số không khả vi tại x = 0.

Đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp là đạo hàm riêng được lấy theo các biến khác nhau, ví dụ ∂²f/∂x∂y (lấy đạo hàm theo y trước, sau đó theo x) và ∂²f/∂y∂x (lấy đạo hàm theo x trước, sau đó theo y). Với hàm khả vi hai lần liên tục, theo định lý Clairaut, ∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x.