Đề thi, bài tập trắc nghiệm online Toán cao cấp – Đề 1

1. Hạng của ma trận là gì?

A. Số chiều của không gian cột (hoặc không gian hàng) của ma trận.

B. Số lượng hàng của ma trận.

C. Số lượng cột của ma trận.

D. Định thức của ma trận.

2. Trong lý thuyết đồ thị, bậc của một đỉnh là gì?

A. Số cạnh liên thuộc với đỉnh đó.

B. Số đỉnh kề với đỉnh đó.

C. Tổng trọng số của các cạnh liên thuộc với đỉnh đó.

D. Cả Answer 1 và Answer 2.

3. Khai triển Fourier của một hàm số tuần hoàn f(x) biểu diễn hàm số đó dưới dạng:

A. Tổng của chuỗi lượng giác (sin và cosin).

B. Tổng của chuỗi lũy thừa.

C. Tích của các hàm đa thức.

D. Tích của các hàm mũ.

4. Chuỗi Taylor của hàm số e^x tại x = 0 là:

A. ∑ (từ n=0 đến ∞) (x^n / n!)

B. ∑ (từ n=0 đến ∞) ((-1)^n * x^n / n!)

C. ∑ (từ n=0 đến ∞) (x^n / n)

D. ∑ (từ n=1 đến ∞) (x^n / n!)

5. Trong phân tích số, phương pháp Runge-Kutta được sử dụng để:

A. Giải phương trình vi phân thường.

B. Giải phương trình đại số tuyến tính.

C. Tính tích phân xác định.

D. Tìm cực trị của hàm số.

6. Trong giải tích vector, gradient của một trường vô hướng f là:

A. Một trường vector chỉ hướng tăng nhanh nhất của f và độ lớn bằng tốc độ tăng đó.

B. Một trường vô hướng chỉ giá trị lớn nhất của f.

C. Một đường cong biểu diễn sự thay đổi của f.

D. Một số vô hướng.

7. Phép biến đổi Laplace biến một hàm số thời gian t thành hàm số theo biến:

A. s (biến tần số phức)

B. x (biến không gian)

C. y (biến phụ thuộc)

D. z (biến phức)

8. Đạo hàm của hàm số ngược của y = f(x) là:

A. 1 / f'(f^(-1)(y))

B. f'(f^(-1)(y))

C. -f'(f^(-1)(y))

D. -1 / f'(f^(-1)(y))

9. Trong không gian vector R^3, tích có hướng của hai vector u = (1, 2, 3) và v = (4, 5, 6) là:

A. (-3, 6, -3)

B. (3, -6, 3)

C. ( -3, -6, -3)

D. (3, 6, 3)

10. Trong lý thuyết xác suất, biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên mà:

A. Tập giá trị có thể đếm được.

B. Tập giá trị là một khoảng trên trục số thực.

C. Giá trị luôn là số nguyên.

D. Giá trị luôn là số hữu tỷ.

11. Tích phân suy rộng ∫ (từ 1 đến ∞) (1/x^2) dx hội tụ hay phân kỳ?

A. Hội tụ

B. Phân kỳ

C. Không xác định

D. Vừa hội tụ vừa phân kỳ

12. Cho hàm số hai biến z = f(x, y) = x^2y + xy^2. Đạo hàm riêng cấp một của z theo x là:

A. 2xy + y^2

B. x^2 + 2xy

C. 2x + 2y

D. 2y + 2x

13. Phương pháp lặp Newton-Raphson được sử dụng để:

A. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0.

B. Tính đạo hàm của hàm số.

C. Tính tích phân của hàm số.

D. Tìm cực trị của hàm số.

14. Đạo hàm của hàm số f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 7 là:

A. 3x^2 - 4x + 5

B. x^2 - 4x + 5

C. 3x^2 - 2x + 5

D. 3x^3 - 4x^2 + 5x

15. Định nghĩa nào sau đây là đúng về ma trận khả nghịch?

A. Ma trận vuông A được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận B sao cho A + B = I, với I là ma trận đơn vị.

B. Ma trận vuông A được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận B sao cho AB = BA = I, với I là ma trận đơn vị.

C. Ma trận vuông A được gọi là khả nghịch nếu định thức của A khác 0.

D. Cả Answer 2 và Answer 3 đều đúng.

16. Trong không gian vector, một tập hợp các vector được gọi là độc lập tuyến tính nếu:

A. Tổ hợp tuyến tính của chúng bằng vector không chỉ khi tất cả các hệ số đều bằng 0.

B. Tồn tại một tổ hợp tuyến tính của chúng bằng vector không với ít nhất một hệ số khác 0.

C. Chúng trực giao với nhau.

D. Chúng có độ dài bằng 1.

17. Công thức Green liên hệ giữa:

A. Tích phân đường dọc theo biên của một miền phẳng và tích phân kép trên miền đó.

B. Tích phân mặt và tích phân khối.

C. Gradient và divergence.

D. Curl và divergence.

18. Tích phân đường loại 1 dùng để tính:

A. Tích phân của một hàm vô hướng dọc theo một đường cong.

B. Tích phân của một trường vector dọc theo một đường cong.

C. Diện tích bề mặt.

D. Thể tích khối.

19. Giới hạn của dãy số (1 + 1/n)^n khi n tiến tới vô cùng là:

A. e

B. 1

C. 0

D. ∞

20. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng?

A. y'' + 3y' + 2y = sin(x)

B. y'' + 3y'y = x

C. y''^2 + 3y' + 2y = 0

D. y'' + 3y' + 2y = y^2

21. Vector riêng của ma trận vuông A là gì?

A. Vector v khác vector không sao cho Av = λv, với λ là một số vô hướng.

B. Vector v bất kỳ sao cho Av = λv, với λ là một số vô hướng.

C. Vector v sao cho Av = 0.

D. Vector v sao cho Av = v.

22. Trong số phức, đơn vị ảo i được định nghĩa là:

A. √(-1)

B. -1

C. 1

D. 0

23. Định thức của ma trận đường chéo là:

A. Tích của các phần tử trên đường chéo chính.

B. Tổng của các phần tử trên đường chéo chính.

C. Bằng 0.

D. Bằng 1.

24. Điều kiện cần để hàm số f(x) đạt cực trị tại x_0 (trong trường hợp đạo hàm tồn tại) là:

A. f'(x_0) = 0

B. f''(x_0) > 0

C. f''(x_0) < 0

D. f'(x_0) ≠ 0

25. Phép toán nào sau đây không phải là phép toán cơ bản trên ma trận?

A. Phép chia ma trận

B. Phép cộng ma trận

C. Phép nhân ma trận

D. Phép nhân ma trận với một số vô hướng

26. Chuỗi số ∑ (1/n^p) hội tụ khi nào?

A. p > 1

B. p ≥ 1

C. p < 1

D. p ≤ 1

27. Tích phân bất định của hàm số f(x) = 2x + 3 là:

A. x^2 + 3x + C

B. 2x^2 + 3x + C

C. x^2 + C

D. 2x + C

28. Trong không gian metric, một dãy điểm được gọi là dãy Cauchy nếu:

A. Với mọi ε > 0, tồn tại N sao cho với mọi m, n > N, khoảng cách d(x_m, x_n) < ε.

B. Dãy hội tụ về một điểm trong không gian metric.

C. Dãy bị chặn.

D. Dãy đơn điệu.

29. Trong tối ưu hóa, điểm dừng (stationary point) của hàm số nhiều biến là điểm mà tại đó:

A. Gradient của hàm số bằng vector không.

B. Hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.

C. Hàm số không xác định.

D. Hàm số liên tục.

30. Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x_0 nếu:

A. lim (x→x_0) f(x) = f(x_0)

B. f(x_0) tồn tại.

C. lim (x→x_0) f(x) tồn tại.

D. Cả Answer 2 và Answer 3.